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1. (2025·福建)若式子$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义，则实数$x$的值可以是(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
D
)A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
1. D
解析
要使式子$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义，则被开方数必须是非负数，即$x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ 1$。
选项中只有$2$满足$x ≥ 1$。
D
选项中只有$2$满足$x ≥ 1$。
D
2. 下列式子一定是二次根式的为(
A.$\sqrt{-a}$
B.$\sqrt[3]{8}$
C.$\sqrt{x^{2} + 7}$
D.$\sqrt{a - 3}$
C
)A.$\sqrt{-a}$
B.$\sqrt[3]{8}$
C.$\sqrt{x^{2} + 7}$
D.$\sqrt{a - 3}$
答案
2. C
3. (2025·北京)若式子$\sqrt{3x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是
$ x ≥ 1 $
.答案
3. $ x ≥ 1 $
解析
要使式子$\sqrt{3x - 3}$在实数范围内有意义，则被开方数必须是非负数，即：
$3x - 3 ≥ 0$
解这个不等式：
$3x ≥ 3$
$x ≥ 1$
$x ≥ 1$
$3x - 3 ≥ 0$
解这个不等式：
$3x ≥ 3$
$x ≥ 1$
$x ≥ 1$
4. (2024·沭阳段考)若实数$x$，$y$满足$\vert x - 2\vert + \sqrt{x + y} = 0$，则$-\frac{1}{2}xy =$
2
.答案
4. 2
解析
因为$\vert x - 2\vert ≥ 0$，$\sqrt{x + y} ≥ 0$，且$\vert x - 2\vert + \sqrt{x + y} = 0$，所以$\vert x - 2\vert = 0$，$\sqrt{x + y} = 0$。
由$\vert x - 2\vert = 0$，得$x = 2$。
由$\sqrt{x + y} = 0$，得$x + y = 0$，将$x = 2$代入，得$2 + y = 0$，解得$y = -2$。
则$-\frac{1}{2}xy = -\frac{1}{2} × 2 × (-2) = 2$。
2
由$\vert x - 2\vert = 0$，得$x = 2$。
由$\sqrt{x + y} = 0$，得$x + y = 0$，将$x = 2$代入，得$2 + y = 0$，解得$y = -2$。
则$-\frac{1}{2}xy = -\frac{1}{2} × 2 × (-2) = 2$。
2
5. 计算：
(1) $(\sqrt{8})^{2}$；
(2) $(\sqrt{0.2})^{2}$；
(3) $\frac{(\sqrt{10})^{2}}{5}$；
(4) $(\sqrt{\frac{8}{5}})^{2}$；
(5) $(-4\sqrt{3})^{2}$；
(6) $(\sqrt{24})^{2} - (\sqrt{6})^{2}$.
(1) $(\sqrt{8})^{2}$；
(2) $(\sqrt{0.2})^{2}$；
(3) $\frac{(\sqrt{10})^{2}}{5}$；
(4) $(\sqrt{\frac{8}{5}})^{2}$；
(5) $(-4\sqrt{3})^{2}$；
(6) $(\sqrt{24})^{2} - (\sqrt{6})^{2}$.
答案
5. (1) 8 (2) 0.2 (3) 2 (4) $ \frac{8}{5} $ (5) 48 (6) 18
6. 有下列各式：$\sqrt{3}$，$\sqrt{m}$，$\sqrt{x^{2} + 4}$，$\sqrt[3]{4}$，$\sqrt{-m^{2} - 1}$，$\frac{\sqrt{a}}{3}(a ≥ 0)$，$\sqrt{2a + 1}(a ＜ \frac{1}{2})$.其中，一定是二次根式的个数为(
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A
)A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
6. A
解析
$\sqrt{3}$：被开方数$3＞0$，是二次根式；
$\sqrt{m}$：当$m＜0$时，无意义，不一定是二次根式；
$\sqrt{x^{2}+4}$：$x^{2}≥0$，则$x^{2}+4≥4＞0$，是二次根式；
$\sqrt[3]{4}$：根指数是3，不是二次根式；
$\sqrt{-m^{2}-1}$：$-m^{2}-1=-(m^{2}+1)≤-1＜0$，无意义，不是二次根式；
$\frac{\sqrt{a}}{3}(a≥0)$：被开方数$a≥0$，是二次根式；
$\sqrt{2a+1}(a＜\frac{1}{2})$：当$a＜-\frac{1}{2}$时，$2a+1＜0$，无意义，不一定是二次根式。
一定是二次根式的有$\sqrt{3}$，$\sqrt{x^{2}+4}$，$\frac{\sqrt{a}}{3}(a≥0)$，共3个。
A
$\sqrt{m}$：当$m＜0$时，无意义，不一定是二次根式；
$\sqrt{x^{2}+4}$：$x^{2}≥0$，则$x^{2}+4≥4＞0$，是二次根式；
$\sqrt[3]{4}$：根指数是3，不是二次根式；
$\sqrt{-m^{2}-1}$：$-m^{2}-1=-(m^{2}+1)≤-1＜0$，无意义，不是二次根式；
$\frac{\sqrt{a}}{3}(a≥0)$：被开方数$a≥0$，是二次根式；
$\sqrt{2a+1}(a＜\frac{1}{2})$：当$a＜-\frac{1}{2}$时，$2a+1＜0$，无意义，不一定是二次根式。
一定是二次根式的有$\sqrt{3}$，$\sqrt{x^{2}+4}$，$\frac{\sqrt{a}}{3}(a≥0)$，共3个。
A
7. 若式子$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + 1$在实数范围内有意义，则实数$x$应满足的条件是(
A.$x ≥ \frac{1}{2}$
B.$x ≤ \frac{1}{2}$
C.$x = \frac{1}{2}$
DD.x≠$\frac{1}{2}$
C
)A.$x ≥ \frac{1}{2}$
B.$x ≤ \frac{1}{2}$
C.$x = \frac{1}{2}$
DD.x≠$\frac{1}{2}$
答案
7. C
解析
要使式子$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + 1$在实数范围内有意义，需满足：
$\begin{cases}2x - 1 ≥ 0 \\1 - 2x ≥ 0\end{cases}$
解$2x - 1 ≥ 0$得$x ≥ \frac{1}{2}$；解$1 - 2x ≥ 0$得$x ≤ \frac{1}{2}$。所以$x = \frac{1}{2}$。
C
$\begin{cases}2x - 1 ≥ 0 \\1 - 2x ≥ 0\end{cases}$
解$2x - 1 ≥ 0$得$x ≥ \frac{1}{2}$；解$1 - 2x ≥ 0$得$x ≤ \frac{1}{2}$。所以$x = \frac{1}{2}$。
C
8. (易错题)已知实数$x$，$y$满足$\vert x - 4\vert + \sqrt{y - 8} = 0$，则以$x$，$y$的值为两边长的等腰三角形的周长是(
A.$20$或$16$
B.$20$
C.$16$
D.$12$
B
)A.$20$或$16$
B.$20$
C.$16$
D.$12$
答案
8. B [易错分析]易忽视三角形两边之和大于第三边而错选A.
