1.下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是()

A
B
C
D

D

【分析】
要判断是否为相似图形，需依据相似图形的定义：对应角相等，且对应边成比例的两个图形是相似图形，两个条件需同时满足。我们逐个分析选项：正方形、正三角形的内角固定，边长比例天然统一，圆的形状仅由半径决定，这三类的内外图形必然满足相似的条件；而矩形仅保证内角都是90°，对应边的比例不一定相等，因此不一定相似。
【解析】
相似图形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，二者需同时满足。
1. 选项A：两个正方形的内角均为90°，对应角相等；正方形所有边长相等，因此内外正方形的对应边比值一定相等，是相似图形。
2. 选项B：任意两个圆都是相似图形，圆的形状仅和半径相关，内外两个圆的半径对应成比例，是相似图形。
3. 选项C：两个正三角形的内角均为60°，对应角相等；正三角形所有边长相等，因此内外正三角形的对应边比值一定相等，是相似图形。
4. 选项D：两个矩形的内角均为90°，对应角相等，但内外矩形的长的比值和宽的比值不一定相等，即对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似图形判定、矩形的性质、特殊多边形性质
【点评】
本题核心考查相似图形的判定，易错点是容易忽略矩形仅满足对应角相等，对应边比例不一定相等的特点，误将矩形判定为一定相似的图形，解题时要同时验证相似的两个判定条件。
【难度系数】
0.7

2.若$3x=4y(y≠0)$，则下列比例式成立的是()

A.$\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$
B.$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$
C.$\frac{y}{x}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{y}{3}=\frac{4}{x}$

B

【分析】
本题考查比例的基本性质应用，解题核心思路是利用“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，再和题干给出的$3x=4y$对比，一致的即为正确选项；也可以直接对已知等积式进行变形得到对应比例式后匹配选项。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，我们逐一验证选项：
已知题干条件为$3x=4y(y≠0)$
A选项：$\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$，交叉相乘得$xy=12$，与$3x=4y$不符，排除；
B选项：$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=4y$，与题干条件完全一致，符合要求；
C选项：$\frac{y}{x}=\frac{4}{3}$，交叉相乘得$4x=3y$，与$3x=4y$不符，排除；
D选项：$\frac{y}{3}=\frac{4}{x}$，交叉相乘得$xy=12$，与$3x=4y$不符，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、等积式与比例式互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握比例交叉相乘的运算规则，通过验证法即可快速得出答案，是比例章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85

3.下列各组的四条线段是成比例线段的是（）

A.$a=2,b=3,c=4,d=1$
B.$a=2,b=\sqrt{5},c=2\sqrt{3},d=\sqrt{15}$
C.$a=4,b=6,c=5,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=3,c=2,d=\sqrt{3}$

B

【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先明确判断方法：先将四条线段的长度按从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段（该方法由比例的基本性质“内项积等于外项积”推导而来，比直接计算比值更简便）。接下来我们按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】
我们先将每个选项的线段长度从小到大排序，再验证等积关系：
A选项：排序后为1,2,3,4，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不是成比例线段；
B选项：排序后为$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算得$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{5×3}=2\sqrt{15}$，二者相等，是成比例线段；
C选项：排序后为4,5,6,10，计算得$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，不是成比例线段；
D选项：排序后为$\sqrt{2},\sqrt{3},2,3$，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，不是成比例线段。
综上，只有B选项的四条线段是成比例线段。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段判定、二次根式乘法运算
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，采用“等积验证法”可以简化计算过程，解题时注意要先将线段长度排序再验证，避免因顺序混乱导致判断错误。
【难度系数】
0.8

4.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个与它相似的多边形的最长边的长为24，则这个多边形的最短边的长为。

$\boldsymbol{8}$

【分析】
遇到相似多边形的相关计算问题，首先回忆相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先从已知多边形的边长中确定最长边为6、最短边为2，另一个相似多边形的最长边24与原多边形最长边6是对应边，可先通过这组对应边得到相似比，再结合最短边的对应关系列比例式，即可求解所求多边形的最短边长。
【解析】
解：
∵两个多边形相似，
∴相似多边形的对应边成比例。
原多边形的最长边长为6，最短边长为2，设所求相似多边形的最短边长为$x$。
根据对应边成比例可列方程：
$\frac{6}{24}=\frac{2}{x}$
交叉相乘得：$6x=2×24$
计算得：$6x=48$
解得：$x=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.解比例方程
【点评】
本题考查相似多边形性质的基础应用，解题的关键是找准对应边，利用对应边成比例的性质列方程求解，只要熟练掌握相似多边形的性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8

5.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'。

(1)求∠B的度数。
(2)求边x,y的长。

解：
(1) ∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ ∠A = ∠A' = 60°，∠D = ∠D' = 96°，∠C = ∠C' = 135°。
∵ 四边形内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠A - ∠D - ∠C = 360° - 60° - 96° - 135° = 69°。
(2) ∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ 对应边成比例，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，
即 $\frac{6}{x}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{12}=\frac{3}{2}$，
解得 $x=4$，$y=18$。
答：∠B的度数为69°，x的长为4，y的长为18。

【分析】
本题考查相似多边形的性质应用，解题思路如下：1. 求∠B的度数：首先根据相似四边形对应角相等，得到∠A、∠D、∠C的度数，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去其余三个角的度数即可求出∠B；2. 求x、y的长度：先根据已知的一组对应边AD和A'D'算出相似比，再根据相似四边形对应边成比例，分别列出关于x、y的比例式，解方程即可求出边长。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ 对应角相等，即∠A=∠A'=60°，∠D=∠D'=96°，∠C=∠C'=135°，
又
∵ 四边形内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠A - ∠D - ∠C = 360° - 60° - 96° - 135° = 69°。
(2)
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ 对应边成比例，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，
代入边长得：$\frac{6}{x}=\frac{3}{2}$，$\frac{y}{12}=\frac{3}{2}$，
分别解得：$x=4$，$y=18$。
【答案】
(1) ∠B的度数为69°；(2) x=4，y=18
【知识点】
相似多边形性质、四边形内角和定理、解比例
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题，重点考查对相似多边形对应角相等、对应边成比例性质的理解与运用，解题时需要准确找到对应角和对应边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8

6. 提升题 观察下列两组多边形。

(1)图①中的矩形ABCD和矩形$A_1B_1C_1D_1$相似吗？为什么？
(2)图②中的多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$都是正六边形，它们是相似图形吗？为什么？

解：
(1) 不相似，理由如下：
∵ 矩形的所有内角都是90°，
∴ 两个矩形的对应角都相等。
由图可知，$AB=CD=1$，$BC=AD=2$，$A_1B_1=C_1D_1=2$，$B_1C_1=A_1D_1=3$，
∴ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{2}{3}$，
∵ $\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}$，即两个矩形的对应边不成比例，
∴ 矩形$ABCD$和矩形$A_1B_1C_1D_1$不相似。
(2) 它们是相似图形，理由如下：
∵ 两个多边形都是正六边形，
∴ 正六边形的每个内角都为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即两个正六边形的对应角都相等。
又∵ 正六边形的各边长度相等，
∴ 它们的对应边的比都为$\frac{a}{b}$，即对应边成比例。
根据相似多边形的定义，两个多边形对应角相等、对应边成比例，
∴ 多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$是相似图形。

【分析】
判断两个多边形是否相似，需同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例，二者缺一不可。
(1)对于两个矩形，首先矩形内角均为直角，可先确定对应角相等，接下来只需计算两组对应边的比值，判断比值是否相等，若不相等则不满足相似条件。
(2)对于两个正六边形，首先根据正多边形内角公式计算内角，判断对应角是否相等；再结合正多边形各边相等的性质，判断对应边是否成比例，两个条件都满足则为相似图形。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
∵ 矩形的所有内角都是90°，
∴ 两个矩形的对应角都相等。
由图可知，$AB=CD=1$，$BC=AD=2$，$A_1B_1=C_1D_1=2$，$B_1C_1=A_1D_1=3$，
∴ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{2}{3}$，
∵ $\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}$，即两个矩形的对应边不成比例，
∴ 矩形$ABCD$和矩形$A_1B_1C_1D_1$不相似。
(2) 它们是相似图形，理由如下：
∵ 两个多边形都是正六边形，
∴ 正六边形的每个内角都为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即两个正六边形的对应角都相等。
又
∵ 正六边形的各边长度相等，
∴ 它们的对应边的比都为$\frac{a}{b}$，即对应边成比例。
根据相似多边形的定义，两个多边形对应角相等、对应边成比例，
∴ 多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$是相似图形。
【答案】
(1) 矩形$ABCD$和矩形$A_1B_1C_1D_1$不相似；
(2) 多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$是相似图形。
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质、正多边形的性质
【点评】
本题核心考查相似多边形的判定，需注意相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可。不要误认为所有矩形都相似，只有角相等但对应边不成比例时仍不相似；所有边数相同的正多边形都满足两个相似条件，因此都相似。
【难度系数】
0.7