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1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，则$\frac{a+b}{b}=$
$\frac{3}{2}$
。答案
1. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题已知两个量的比例关系，求分式的值，有两种符合学段要求的常用解题思路：思路一，先将所求分式拆分变形，转化为含已知条件$\frac{a}{b}$的形式，再直接代入已知条件求值；思路二，采用设参数法，根据已知比例设参数表示a和b，再代入所求分式约分计算即可，两种方法计算难度都较低。
【解析】
方法一：分式拆分法
将所求分式拆分变形可得：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，代入上式得：
原式$=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$
方法二：设参数法
由$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，可设$a=k$，$b=2k$（$k≠0$）
将$a=k$、$b=2k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
原式$=\frac{k+2k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
比例的性质、分式运算
【点评】
本题是比例运算的基础题型，主要考查对比例变形和分式化简的掌握程度，两种解题方法都是代数式求值的常用技巧，需要熟练运用。
【难度系数】
0.9
本题已知两个量的比例关系，求分式的值，有两种符合学段要求的常用解题思路：思路一，先将所求分式拆分变形，转化为含已知条件$\frac{a}{b}$的形式，再直接代入已知条件求值；思路二，采用设参数法，根据已知比例设参数表示a和b，再代入所求分式约分计算即可，两种方法计算难度都较低。
【解析】
方法一：分式拆分法
将所求分式拆分变形可得：$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，代入上式得：
原式$=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$
方法二：设参数法
由$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，可设$a=k$，$b=2k$（$k≠0$）
将$a=k$、$b=2k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
原式$=\frac{k+2k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
比例的性质、分式运算
【点评】
本题是比例运算的基础题型，主要考查对比例变形和分式化简的掌握程度，两种解题方法都是代数式求值的常用技巧，需要熟练运用。
【难度系数】
0.9
2. 黄金分割被视为“最美丽”的几何比率，在建筑与艺术中应用广泛。数学兴趣小组在探究中发现：如果将一根笛子抽象为线段AB，笛膜（贴在左侧第二孔上的薄膜，与音色有关）的位置点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP）。已知笛子全长AB=50 cm，则AP的长为（
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
C.$25(\sqrt{5}-1)$ cm
D.$25(3-\sqrt{5})$ cm
D
）。A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm
C.$25(\sqrt{5}-1)$ cm
D.$25(3-\sqrt{5})$ cm
答案
2. D
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点将一条线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点是该线段的黄金分割点。本题中P是AB的黄金分割点且$AP＜BP$，说明BP是较长的线段，先根据黄金分割比求出BP的长度，再用AB的总长减去BP的长度即可得到AP的长度。
【解析】
解：$\because$点P是线段AB的黄金分割点，且$AP ＜ BP$
$\therefore$较长线段$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
将$AB=50\mathrm{cm}$代入得：
$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×50=25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
$\therefore AP=AB-BP=50-25(\sqrt{5}-1)=50-25\sqrt{5}+25=25(3-\sqrt{5})\mathrm{cm}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题关键是明确黄金分割的比例关系，准确区分较长线段和较短线段，避免因线段对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：若点将一条线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点是该线段的黄金分割点。本题中P是AB的黄金分割点且$AP＜BP$，说明BP是较长的线段，先根据黄金分割比求出BP的长度，再用AB的总长减去BP的长度即可得到AP的长度。
【解析】
解：$\because$点P是线段AB的黄金分割点，且$AP ＜ BP$
$\therefore$较长线段$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
将$AB=50\mathrm{cm}$代入得：
$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×50=25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
$\therefore AP=AB-BP=50-25(\sqrt{5}-1)=50-25\sqrt{5}+25=25(3-\sqrt{5})\mathrm{cm}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题关键是明确黄金分割的比例关系，准确区分较长线段和较短线段，避免因线段对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图。下列条件中，不能判定$△ AOB$和$△ DOC$相似的是（
A.$OA · OC = OD · OB$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$∠ A = ∠ D$
D.$\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OD}$
D
）。A.$OA · OC = OD · OB$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$∠ A = ∠ D$
D.$\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OD}$
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察△AOB和△DOC，可发现二者存在一组隐含的等角：对顶角∠AOB=∠DOC。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能和这组等角搭配，满足相似三角形的判定条件，即可选出不能判定相似的选项。
【解析】
由图可得，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。
选项A：将$OA · OC = OD · OB$变形得$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，此时两组对应边成比例，且夹角∠AOB=∠DOC，符合“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项B：已知∠B=∠C，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角分别相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项C：已知∠A=∠D，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角分别相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项D：$\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OD}$中，AB、CD不是∠AOB和∠DOC的夹边，仅该组比例和对顶角相等，不满足相似三角形的判定条件，不能判定两三角形相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题时要先挖掘图形中的隐含条件，使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，需注意相等的角必须是两组对应边的夹角，避免误用判定定理。
【难度系数】
0.7
首先观察△AOB和△DOC，可发现二者存在一组隐含的等角：对顶角∠AOB=∠DOC。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能和这组等角搭配，满足相似三角形的判定条件，即可选出不能判定相似的选项。
【解析】
由图可得，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC。
选项A：将$OA · OC = OD · OB$变形得$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，此时两组对应边成比例，且夹角∠AOB=∠DOC，符合“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项B：已知∠B=∠C，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角分别相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项C：已知∠A=∠D，结合∠AOB=∠DOC，满足“两角分别相等，两三角形相似”的判定定理，可判定△AOB∽△DOC。
选项D：$\frac{AB}{CD} = \frac{OA}{OD}$中，AB、CD不是∠AOB和∠DOC的夹边，仅该组比例和对顶角相等，不满足相似三角形的判定条件，不能判定两三角形相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，对顶角的性质，比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定应用，解题时要先挖掘图形中的隐含条件，使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，需注意相等的角必须是两组对应边的夹角，避免误用判定定理。
【难度系数】
0.7
4. 两个相似三角形的一组对应边分别是5 cm和3 cm，若它们的面积之和为136 cm²，则较大三角形的面积是
$100\ \mathrm{cm}^2$
。答案
4. $100\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先结合已知的相似三角形一组对应边的长度，先求出两个三角形的相似比；再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；最后结合两者的面积和为136cm²，按比例分配即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，
∴两个相似三角形的相似比为 $ 5:3 $，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个三角形的面积比为 $ 5^2:3^2 = 25:9 $，
设较大三角形的面积为$ 25x\ \mathrm{cm}^2 $，较小三角形的面积为$ 9x\ \mathrm{cm}^2 $，
根据面积之和为136cm²，列方程得：
$ 25x + 9x = 136 $
合并同类项得：$ 34x = 136 $
解得：$ x = 4 $
∴较大三角形的面积为 $ 25 × 4 = 100\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 100\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 相似三角形性质
2. 相似比定义
3. 比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的对应关系，结合已知的面积和通过按比例分配或列方程即可快速求解，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的相似三角形一组对应边的长度，先求出两个三角形的相似比；再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；最后结合两者的面积和为136cm²，按比例分配即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，
∴两个相似三角形的相似比为 $ 5:3 $，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个三角形的面积比为 $ 5^2:3^2 = 25:9 $，
设较大三角形的面积为$ 25x\ \mathrm{cm}^2 $，较小三角形的面积为$ 9x\ \mathrm{cm}^2 $，
根据面积之和为136cm²，列方程得：
$ 25x + 9x = 136 $
合并同类项得：$ 34x = 136 $
解得：$ x = 4 $
∴较大三角形的面积为 $ 25 × 4 = 100\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 100\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 相似三角形性质
2. 相似比定义
3. 比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的对应关系，结合已知的面积和通过按比例分配或列方程即可快速求解，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点G是$△ ABC$的重心。
(1) $\dfrac{AD}{AB}=$
(2) 若$DG=2$，则$CD=$
(1) $\dfrac{AD}{AB}=$
$\frac{1}{2}$
。(2) 若$DG=2$，则$CD=$
$6$
。答案
5. (1) $\frac{1}{2}$ (2) $6$
解析
【分析】
本题考查三角形重心的相关知识，解题思路如下：①先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此过重心与顶点的连线是对应对边的中线，可得D是AB中点，即可求解第一问；②再回忆重心的性质：重心分中线为2:1的两段（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍），结合已知DG的长度，先求CG的长度，再加和得到CD的总长。
【解析】
(1)
∵点G是$△ ABC$的重心，
∴CD是$△ ABC$中AB边上的中线，即D为AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍，
∴$CG=2DG$，
已知$DG=2$，
∴$CG=2×2=4$，
∴$CD=CG+DG=4+2=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $6$
【知识点】
三角形重心定义，三角形重心性质
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形重心的定义与性质，解题的关键是熟练掌握重心的相关特征，直接代入性质计算即可。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形重心的相关知识，解题思路如下：①先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此过重心与顶点的连线是对应对边的中线，可得D是AB中点，即可求解第一问；②再回忆重心的性质：重心分中线为2:1的两段（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍），结合已知DG的长度，先求CG的长度，再加和得到CD的总长。
【解析】
(1)
∵点G是$△ ABC$的重心，
∴CD是$△ ABC$中AB边上的中线，即D为AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍，
∴$CG=2DG$，
已知$DG=2$，
∴$CG=2×2=4$，
∴$CD=CG+DG=4+2=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $6$
【知识点】
三角形重心定义，三角形重心性质
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形重心的定义与性质，解题的关键是熟练掌握重心的相关特征，直接代入性质计算即可。
【难度系数】
0.8
6. 下列各组图形中，一定相似的是（
A.所有矩形
B.所有正方形
C.所有菱形
D.所有平行四边形
B
）。A.所有矩形
B.所有正方形
C.所有菱形
D.所有平行四边形
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先要明确相似多边形的判定条件：需同时满足对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。接下来结合各选项中特殊四边形的性质，逐一验证是否同时满足上述两个条件，即可判断是否一定相似。
【解析】
根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，对各选项逐一分析：
A. 所有矩形的四个角均为直角，满足对应角相等，但矩形相邻边的长度比不一定相等，例如长为3、宽为1的矩形和长为4、宽为2的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误；
B. 所有正方形的四个角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值一定相等，同时满足相似的两个判定条件，因此一定相似，故B正确；
C. 所有菱形的四条边长度相等，满足对应边成比例，但菱形的内角不一定对应相等，例如内角为60°的菱形和内角为90°的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故C错误；
D. 所有平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，因此不一定相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题核心考查相似图形的判定规则，需要熟练掌握各类特殊四边形的性质，判断时需注意相似的两个必要条件必须同时满足，不可遗漏其中任意一个。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确相似多边形的判定条件：需同时满足对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。接下来结合各选项中特殊四边形的性质，逐一验证是否同时满足上述两个条件，即可判断是否一定相似。
【解析】
根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，对各选项逐一分析：
A. 所有矩形的四个角均为直角，满足对应角相等，但矩形相邻边的长度比不一定相等，例如长为3、宽为1的矩形和长为4、宽为2的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误；
B. 所有正方形的四个角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值一定相等，同时满足相似的两个判定条件，因此一定相似，故B正确；
C. 所有菱形的四条边长度相等，满足对应边成比例，但菱形的内角不一定对应相等，例如内角为60°的菱形和内角为90°的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故C错误；
D. 所有平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，因此不一定相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、特殊四边形的性质
【点评】
本题核心考查相似图形的判定规则，需要熟练掌握各类特殊四边形的性质，判断时需注意相似的两个必要条件必须同时满足，不可遗漏其中任意一个。
【难度系数】
0.8
