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7. 如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,点B,C的坐标分别为B(3,-1),C(2,1)。
(1) 以O为位似中心,在y轴的左侧作△OBC的位似图形△O'B'C',使△O'B'C'与△OBC的位似比为2。
(2) 写出点B,C的对应点B',C'的坐标。
(3) 若M(x,y)为△OBC上一点,写出其对应点M'的坐标。
(1) 以O为位似中心,在y轴的左侧作△OBC的位似图形△O'B'C',使△O'B'C'与△OBC的位似比为2。
(2) 写出点B,C的对应点B',C'的坐标。
(3) 若M(x,y)为△OBC上一点,写出其对应点M'的坐标。
答案
7. (1) 略 (2) $B'(-6,2),C'(-4,-2)$ (3) $M'(-2x,-2y)$
解析
【分析】
本题考查位似变换的相关知识，解题思路如下：1. 位似中心为原点O时，若位似比为k，且两个位似图形分别在原点两侧，则对应点的坐标为原坐标乘以-k；2. 题目要求位似图形在y轴左侧，原图形的点B、C都在y轴右侧，因此坐标变换时需乘以-2（位似比为2，异侧加负号）；3. 作图时结合位似图形的性质：对应点连线过位似中心，对应线段的比等于位似比，再结合坐标规律即可求解对应点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别作射线BO、CO，并向y轴左侧反向延长；
② 在射线BO的反向延长线上取点B'，使$OB'=2OB$；在射线CO的反向延长线上取点C'，使$OC'=2OC$；
③ 依次连接O、B'、C'，所得$△ OB'C'$即为所求的位似图形。
(2) 已知位似中心为原点O，位似比为2，且新图形在y轴左侧，与原图形位于原点异侧，因此对应点的坐标为原坐标乘以-2：
点B坐标为$(3,-1)$，则$B'$的坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
点C坐标为$(2,1)$，则$C'$的坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$。
(3) 若$M(x,y)$为$△ OBC$上任意一点，按照上述坐标变换规律，其对应点$M'$的坐标为$(x×(-2),y×(-2))$，即$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 略
(2) $B'(-6,2),C'(-4,-2)$
(3) $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
位似图形的性质，位似的坐标变换，位似作图
【点评】
本题是位似变换的基础题型，既考查了位似作图的方法，也考查了位似变换对应的坐标变化规律，解题的关键是明确位似图形与原图形的位置关系，确定坐标变换时的系数符号。
【难度系数】
0.7
本题考查位似变换的相关知识，解题思路如下：1. 位似中心为原点O时，若位似比为k，且两个位似图形分别在原点两侧，则对应点的坐标为原坐标乘以-k；2. 题目要求位似图形在y轴左侧，原图形的点B、C都在y轴右侧，因此坐标变换时需乘以-2（位似比为2，异侧加负号）；3. 作图时结合位似图形的性质：对应点连线过位似中心，对应线段的比等于位似比，再结合坐标规律即可求解对应点坐标。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别作射线BO、CO，并向y轴左侧反向延长；
② 在射线BO的反向延长线上取点B'，使$OB'=2OB$；在射线CO的反向延长线上取点C'，使$OC'=2OC$；
③ 依次连接O、B'、C'，所得$△ OB'C'$即为所求的位似图形。
(2) 已知位似中心为原点O，位似比为2，且新图形在y轴左侧，与原图形位于原点异侧，因此对应点的坐标为原坐标乘以-2：
点B坐标为$(3,-1)$，则$B'$的坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
点C坐标为$(2,1)$，则$C'$的坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$。
(3) 若$M(x,y)$为$△ OBC$上任意一点，按照上述坐标变换规律，其对应点$M'$的坐标为$(x×(-2),y×(-2))$，即$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 略
(2) $B'(-6,2),C'(-4,-2)$
(3) $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
位似图形的性质，位似的坐标变换，位似作图
【点评】
本题是位似变换的基础题型，既考查了位似作图的方法，也考查了位似变换对应的坐标变化规律，解题的关键是明确位似图形与原图形的位置关系，确定坐标变换时的系数符号。
【难度系数】
0.7
8. 已知:如图,在$□ ABCD$中,E是CD延长线上一点,BE与AD交于点F, $DE=\frac{1}{2}CD$。
（1）求证:$△ ABF ∽ △ CEB$。
（2）若$△ DEF$的面积为2,求$□ ABCD$的面积。
（1）求证:$△ ABF ∽ △ CEB$。
（2）若$△ DEF$的面积为2,求$□ ABCD$的面积。
答案
8. (1) 略 (2) $24$
解析
【分析】
（1）要证明△ABF∽△CEB，结合平行四边形的性质可得对角相等、对边平行，进而得到两组对应角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明。
（2）要求平行四边形的面积，先根据平行四边形对边平行的性质，得到△DEF分别与△CEB、△ABF相似，结合已知的DE和CD的数量关系求出两组相似三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出△CEB和△ABF的面积，最后通过面积的和差关系求出平行四边形的面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ ∠ ABF=∠ E\end{array} $，
∴△ABF∽△CEB。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵$DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DE}{DE+CD}=\frac{DE}{DE+2DE}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{AB}=\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CEB}}=(\frac{DE}{CE})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=(\frac{DE}{AB})^2=\frac{1}{4}$，
已知$S_{△ DEF}=2$，代入得：
$S_{△ CEB}=2×9=18$，$S_{△ ABF}=2×4=8$，
∴$S_{四边形BCDF}=S_{△ CEB}-S_{△ DEF}=18-2=16$，
∴$S_{□ ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_{△ ABF}=16+8=24$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{24}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质结合考查，解题时要注意准确找出对应相似三角形，明确相似比和面积比的关系，此类题型是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABF∽△CEB，结合平行四边形的性质可得对角相等、对边平行，进而得到两组对应角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明。
（2）要求平行四边形的面积，先根据平行四边形对边平行的性质，得到△DEF分别与△CEB、△ABF相似，结合已知的DE和CD的数量关系求出两组相似三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出△CEB和△ABF的面积，最后通过面积的和差关系求出平行四边形的面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△CEB中，$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ ∠ ABF=∠ E\end{array} $，
∴△ABF∽△CEB。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵$DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DE}{DE+CD}=\frac{DE}{DE+2DE}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{AB}=\frac{DE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CEB}}=(\frac{DE}{CE})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=(\frac{DE}{AB})^2=\frac{1}{4}$，
已知$S_{△ DEF}=2$，代入得：
$S_{△ CEB}=2×9=18$，$S_{△ ABF}=2×4=8$，
∴$S_{四边形BCDF}=S_{△ CEB}-S_{△ DEF}=18-2=16$，
∴$S_{□ ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_{△ ABF}=16+8=24$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{24}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行四边形的性质和相似三角形的判定、性质结合考查，解题时要注意准确找出对应相似三角形，明确相似比和面积比的关系，此类题型是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
