登录
9. 已知:如图,在$△ ABC$中,F是AB的中点,$DF// AC$,交BC于点D。G为BD上一点,连结AG,交FD于点E。
(1) 求证:$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$。
(2) 若$BG=GD$,$AC=6$,求$DE$的长。
(1) 求证:$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$。
(2) 若$BG=GD$,$AC=6$,求$DE$的长。
答案
9. (1) 由 $DE// AC$,得$\frac{CD}{GD}=\frac{AE}{EG}$。易证 $BD=CD$,所以$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$。
(2) 由 $BG=DG$,$\frac{AE}{EG}=\frac{BD}{GD}$,得$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$。由 $DE// AC$,得$△ GDE∽△ GCA$,则$\frac{DE}{CA}=\frac{GE}{GA}$,得 $DE=2$。
(2) 由 $BG=DG$,$\frac{AE}{EG}=\frac{BD}{GD}$,得$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$。由 $DE// AC$,得$△ GDE∽△ GCA$,则$\frac{DE}{CA}=\frac{GE}{GA}$,得 $DE=2$。
解析
【分析】
(1) 要证明$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，首先利用$DF//AC$的条件，结合平行线分线段成比例定理可得到含CD、GD、AE、EG的比例关系；再根据F是AB中点、$DF//AC$，可推出D为BC中点，即$BD=CD$，通过等量代换即可完成证明。
(2) 先根据$BG=GD$结合第一问的结论，求出GE与GA的比值；再由$DE//AC$证明$△GDE$与$△GCA$相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入AC的长度即可求出DE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵F是AB的中点，$DF//AC$，
∴根据三角形中位线的推论，D为BC的中点，即$BD=CD$。
∵$DE//AC$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{CD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，
将$CD=BD$代入上式，得$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，得证。
(2) 解：
∵$BG=GD$，
∴$BD=BG+GD=2GD$，即$\frac{BD}{GD}=2$，
结合(1)的结论$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，可得$\frac{AE}{EG}=2$，即$AE=2EG$。
∴$AG=AE+EG=3EG$，即$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$。
∵$DE//AC$，
∴$∠GDE=∠C$，$∠GED=∠GAC$，
∴$△GDE∽△GCA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{GE}{GA}$，
代入$AC=6$，$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$，得$DE=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $DE=2$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 三角形中位线推论
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是几何比例证明与线段求值的典型题型，核心考查平行线的性质和相似三角形的判定与应用，解题的关键是利用中点条件推导线段间的比例关系，对基础定理的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，首先利用$DF//AC$的条件，结合平行线分线段成比例定理可得到含CD、GD、AE、EG的比例关系；再根据F是AB中点、$DF//AC$，可推出D为BC中点，即$BD=CD$，通过等量代换即可完成证明。
(2) 先根据$BG=GD$结合第一问的结论，求出GE与GA的比值；再由$DE//AC$证明$△GDE$与$△GCA$相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入AC的长度即可求出DE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵F是AB的中点，$DF//AC$，
∴根据三角形中位线的推论，D为BC的中点，即$BD=CD$。
∵$DE//AC$，
由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{CD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，
将$CD=BD$代入上式，得$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，得证。
(2) 解：
∵$BG=GD$，
∴$BD=BG+GD=2GD$，即$\frac{BD}{GD}=2$，
结合(1)的结论$\frac{BD}{GD}=\frac{AE}{EG}$，可得$\frac{AE}{EG}=2$，即$AE=2EG$。
∴$AG=AE+EG=3EG$，即$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$。
∵$DE//AC$，
∴$∠GDE=∠C$，$∠GED=∠GAC$，
∴$△GDE∽△GCA$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{GE}{GA}$，
代入$AC=6$，$\frac{GE}{GA}=\frac{1}{3}$，得$DE=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $DE=2$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 三角形中位线推论
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是几何比例证明与线段求值的典型题型，核心考查平行线的性质和相似三角形的判定与应用，解题的关键是利用中点条件推导线段间的比例关系，对基础定理的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.7
10. 已知:如图,$AC⊥BF$于点C,$DF⊥AB$于点D,且D是AB的中点。
求证:$CD^2=DE· DF$。
求证:$CD^2=DE· DF$。
答案
10. 易知$∠ F=∠ A=∠ ACD$,所以$△ CDE∽△ FDC$,所以$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DF}$,所以 $CD^2=DE· DF$。
解析
【分析】
要证明等积式$CD^2=DE· DF$，可先将其转化为比例式$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DF}$，只需证明线段所在的$△ CDE$与$△ FDC$相似即可。首先利用直角三角形两锐角互余推导角的等量关系，再结合直角三角形斜边中线的性质得到相等的角，最后通过"两角对应相等的两个三角形相似"证明两个三角形相似，即可推出结论。
【解析】
证明：
$\because AC⊥ BF$，$DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ FDB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ F+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ F$（同角的余角相等）。
又$\because D$是$AB$的中点，$△ ACB$为直角三角形，
$\therefore CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ A=∠ ACD$，
$\therefore ∠ F=∠ ACD$。
在$△ CDE$和$△ FDC$中：
$\begin{cases}∠ DCE=∠ F \\∠ CDE=∠ FDC \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
$\therefore △ CDE ∽ △ FDC$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DF}$，
$\therefore CD^2=DE· DF$。
【答案】
$CD^2=DE· DF$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，同角的余角相等
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过推导角的等量关系证明三角形相似，同时需要结合直角三角形的性质找角的关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$CD^2=DE· DF$，可先将其转化为比例式$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DF}$，只需证明线段所在的$△ CDE$与$△ FDC$相似即可。首先利用直角三角形两锐角互余推导角的等量关系，再结合直角三角形斜边中线的性质得到相等的角，最后通过"两角对应相等的两个三角形相似"证明两个三角形相似，即可推出结论。
【解析】
证明：
$\because AC⊥ BF$，$DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACB=∠ FDB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ F+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ F$（同角的余角相等）。
又$\because D$是$AB$的中点，$△ ACB$为直角三角形，
$\therefore CD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ A=∠ ACD$，
$\therefore ∠ F=∠ ACD$。
在$△ CDE$和$△ FDC$中：
$\begin{cases}∠ DCE=∠ F \\∠ CDE=∠ FDC \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
$\therefore △ CDE ∽ △ FDC$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DF}$，
$\therefore CD^2=DE· DF$。
【答案】
$CD^2=DE· DF$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，同角的余角相等
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过推导角的等量关系证明三角形相似，同时需要结合直角三角形的性质找角的关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
