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8. 如图,图中的小方格都是边长为1的正方形,$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形,位似中心是点$O$,它们的顶点都在格点上。
（1）在图中画出位似中心点$O$。
（2）求$△ ABC$与$△ A'B'C'$的位似比。
（3）以点$O$为位似中心,再画一个$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,使它与$△ ABC$的位似比等于$\frac{3}{2}$。
（1）在图中画出位似中心点$O$。
（2）求$△ ABC$与$△ A'B'C'$的位似比。
（3）以点$O$为位似中心,再画一个$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,使它与$△ ABC$的位似比等于$\frac{3}{2}$。
答案
8. （1）略 （2）$1:2$ （3）略
解析
【分析】
解决位似相关问题需紧扣位似的基本性质：①位似图形的对应点连线都经过位似中心；②位似比等于对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离比。
（1）找位似中心时，利用“对应点连线的交点为位似中心”的性质，连接两组及以上对应点并延长，交点即为所求。
（2）求位似比时，要注意位似比是前一个图形与后一个图形的对应边之比，可通过数网格计算对应边长度，或计算对应点到位似中心的距离比得到结果。
（3）作位似图形时，先明确位似比的含义，再在对应点与位似中心的连线上按比例截取新的对应点，顺次连接即可得到所求图形。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，延长三条线段，三线的公共交点即为位似中心$O$，在图中标出即可。
（2）位似比等于两个位似图形的对应边长度之比，观察网格可得，$△ ABC$的任意一条边与$△ A'B'C'$的对应边的长度比为$1:2$，因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的位似比为$1:2$。
（3）分别在射线$OA$、$OB$、$OC$上取点$A_1$、$B_1$、$C_1$，使$OA_1:OA=OB_1:OB=OC_1:OC=\frac{3}{2}$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为符合要求的图形。
【答案】
（1）略
（2）$1:2$
（3）略
【知识点】
位似图形的性质、位似比计算、位似作图
【点评】
本题考查位似图形的相关知识，涵盖概念理解、计算和作图三类考点，难度适中，解题的核心是准确把握位似的性质，明确位似比的对应关系，作图时要注意比例的准确性和对应点的位置。
【难度系数】
0.7
解决位似相关问题需紧扣位似的基本性质：①位似图形的对应点连线都经过位似中心；②位似比等于对应边的长度比，也等于对应点到位似中心的距离比。
（1）找位似中心时，利用“对应点连线的交点为位似中心”的性质，连接两组及以上对应点并延长，交点即为所求。
（2）求位似比时，要注意位似比是前一个图形与后一个图形的对应边之比，可通过数网格计算对应边长度，或计算对应点到位似中心的距离比得到结果。
（3）作位似图形时，先明确位似比的含义，再在对应点与位似中心的连线上按比例截取新的对应点，顺次连接即可得到所求图形。
【解析】
（1）分别连接$A'A$、$B'B$、$C'C$，延长三条线段，三线的公共交点即为位似中心$O$，在图中标出即可。
（2）位似比等于两个位似图形的对应边长度之比，观察网格可得，$△ ABC$的任意一条边与$△ A'B'C'$的对应边的长度比为$1:2$，因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的位似比为$1:2$。
（3）分别在射线$OA$、$OB$、$OC$上取点$A_1$、$B_1$、$C_1$，使$OA_1:OA=OB_1:OB=OC_1:OC=\frac{3}{2}$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为符合要求的图形。
【答案】
（1）略
（2）$1:2$
（3）略
【知识点】
位似图形的性质、位似比计算、位似作图
【点评】
本题考查位似图形的相关知识，涵盖概念理解、计算和作图三类考点，难度适中，解题的核心是准确把握位似的性质，明确位似比的对应关系，作图时要注意比例的准确性和对应点的位置。
【难度系数】
0.7
9. 在直角坐标系中，正方形ABCD和正方形OEFG的位置如图所示，点A和点F的坐标分别为$(3,2),(-1,-1)$，求这两个正方形的位似中心的坐标。
答案
9. 经过位似图形对应点的直线相交于位似中心,若点 A 与点 E 为对应点,易得$B(3,0),D(5,2)$,直线 OD 的函数表达式为$y=\frac{2}{5}x$,直线 BF 的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}$,它们的交点为位似中心$(-5,-2)$。若点 A 与点 G 为对应点,易得$G(0,-1),F(-1,-1)$,直线 AG 函数表达式为$y=x-1$,直线 DF 的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$,它们的交点为位似中心$(1,0)$。
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，解题思路如下：第一步，先根据已知点坐标求出两个正方形其余顶点的坐标；第二步，明确两个正方形的对应顶点有两种不同的对应关系，需分类讨论：① 对应顶点为A→E、B→F、C→G、D→O；② 对应顶点为A→G、B→O、C→E、D→F；第三步，针对每种情况，用待定系数法求出两组对应点连线的一次函数解析式，联立解析式求解交点，即位似中心坐标。
【解析】
1. 求两个正方形的各顶点坐标：
已知正方形ABCD中点A(3,2)，AB垂直x轴于B，可得B(3,0)，正方形边长AB=2，因此C(5,0)，D(5,2)；
已知正方形OEFG中点F(-1,-1)，可得E(-1,0)，O(0,0)，G(0,-1)。
2. 分情况求位似中心：
情况1：A对应E、D对应O、B对应F、C对应G
设直线OD的解析式为$y=k_1x$，代入D(5,2)得$k_1=\frac{2}{5}$，即$y=\frac{2}{5}x$；
设直线BF的解析式为$y=k_2x+b$，代入B(3,0)、F(-1,-1)，得方程组$\begin{cases}0=3k_2+b\\-1=-k_2+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{4}\\b=-\frac{3}{4}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}$；
联立两个解析式$\begin{cases}y=\frac{2}{5}x\\y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-5\\y=-2\end{cases}$，即位似中心为$(-5,-2)$。
情况2：A对应G、D对应F、B对应O、C对应E
设直线AG的解析式为$y=k_3x+c$，代入A(3,2)、G(0,-1)，得方程组$\begin{cases}2=3k_3+c\\-1=c\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3=1\\c=-1\end{cases}$，即$y=x-1$；
设直线DF的解析式为$y=k_4x+d$，代入D(5,2)、F(-1,-1)，得方程组$\begin{cases}2=5k_4+d\\-1=-k_4+d\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_4=\frac{1}{2}\\d=-\frac{1}{2}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$；
联立两个解析式$\begin{cases}y=x-1\\y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$，即位似中心为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$或$(-5,-2)$
【知识点】
位似图形性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点求解
【点评】
本题核心考查位似图形的性质，解题时要注意位似图形的对应点存在两种不同的对应关系，容易漏解，解题过程需要结合一次函数的相关知识求解，体现了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，解题思路如下：第一步，先根据已知点坐标求出两个正方形其余顶点的坐标；第二步，明确两个正方形的对应顶点有两种不同的对应关系，需分类讨论：① 对应顶点为A→E、B→F、C→G、D→O；② 对应顶点为A→G、B→O、C→E、D→F；第三步，针对每种情况，用待定系数法求出两组对应点连线的一次函数解析式，联立解析式求解交点，即位似中心坐标。
【解析】
1. 求两个正方形的各顶点坐标：
已知正方形ABCD中点A(3,2)，AB垂直x轴于B，可得B(3,0)，正方形边长AB=2，因此C(5,0)，D(5,2)；
已知正方形OEFG中点F(-1,-1)，可得E(-1,0)，O(0,0)，G(0,-1)。
2. 分情况求位似中心：
情况1：A对应E、D对应O、B对应F、C对应G
设直线OD的解析式为$y=k_1x$，代入D(5,2)得$k_1=\frac{2}{5}$，即$y=\frac{2}{5}x$；
设直线BF的解析式为$y=k_2x+b$，代入B(3,0)、F(-1,-1)，得方程组$\begin{cases}0=3k_2+b\\-1=-k_2+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=\frac{1}{4}\\b=-\frac{3}{4}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}$；
联立两个解析式$\begin{cases}y=\frac{2}{5}x\\y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-5\\y=-2\end{cases}$，即位似中心为$(-5,-2)$。
情况2：A对应G、D对应F、B对应O、C对应E
设直线AG的解析式为$y=k_3x+c$，代入A(3,2)、G(0,-1)，得方程组$\begin{cases}2=3k_3+c\\-1=c\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3=1\\c=-1\end{cases}$，即$y=x-1$；
设直线DF的解析式为$y=k_4x+d$，代入D(5,2)、F(-1,-1)，得方程组$\begin{cases}2=5k_4+d\\-1=-k_4+d\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_4=\frac{1}{2}\\d=-\frac{1}{2}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$；
联立两个解析式$\begin{cases}y=x-1\\y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$，即位似中心为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$或$(-5,-2)$
【知识点】
位似图形性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点求解
【点评】
本题核心考查位似图形的性质，解题时要注意位似图形的对应点存在两种不同的对应关系，容易漏解，解题过程需要结合一次函数的相关知识求解，体现了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
