知识梳理
实数
相关概念
实数和①是一一对应的。
②
整数
分数 有限小数和无限循环小数
无理数 ③小数
如果一个数x的④等于a，那么这个数x就叫作a的平方根(或二次方根)。记作⑤。
一个正数有⑥个平方根，它们互为⑦；0的平方根是⑧；负数⑨平方根
正数a的⑩的平方根叫作a的算术平方根。记作⑪。
开方
开平方
引申
二次根式 形如⑫的式子
当被开方数中既⑬，也⑭时，叫作最简二次根式。
重要性质 $\sqrt{a^2} = ⑮$；$\sqrt{ab} = ⑯$；$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = ⑰$。
乘除法则 $\sqrt{a} · \sqrt{b} = ⑱$；$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = ⑲$。
开立方
如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫作a的⑳(或㉑)。记作㉒。
一个正数有㉓个㉔的立方根；一个负数有㉕个㉖的立方根；0的立方根是㉗。
运算
运算法则 加、减、乘、除、乘方、开方
运算律 与有理数范围内的相关内容通用
运算顺序 加法㉘、㉙；乘法㉚、㉛、㉜。先算㉝，再算㉞，最后算㉟，有括号的要先算㊱。
专题探究

①数轴上的点 ②有理数 ③无限不循环 ④平方 ⑤$\pm\sqrt{a}(a≥0)$ ⑥两 ⑦相反数 ⑧0 ⑨没有 ⑩正 ⑪$\sqrt{a}$ ⑫$\sqrt{a}(a≥0)$ ⑬不含分母 ⑭不含能开得尽方的因数或因式 ⑮$|a|$ ⑯$\sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0,b≥0)$ ⑰$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$ ⑱$\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$ ⑲$\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$ ⑳立方根 ㉑三次方根 ㉒$\sqrt[3]{a}$ ㉓一 ㉔正 ㉕一 ㉖负 ㉗0 ㉘交换律 ㉙结合律 ㉚交换律 ㉛结合律 ㉜乘法对加法的分配律 ㉝乘方与开方 ㉞乘除 ㉟加减 ㊱括号里面的

【分析】
本题是对实数章节核心基础知识点的梳理考查，所有考查内容均为课本要求掌握的识记类基础内容，解题时只需对应回忆实数的分类、平方根/立方根的定义与性质、二次根式的相关概念与运算规则、实数的运算律与运算顺序等知识点，逐一匹配填空即可。
【解析】
1. ①根据实数与数轴的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的，故填数轴上的点；
2. ②实数分为有理数和无理数两类，有理数包含整数和分数，对应有限小数和无限循环小数，故填有理数；
3. ③无理数的定义为无限不循环小数，故填无限不循环；
4. ④平方根的定义为如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，故填平方；
5. ⑤平方根的记法为$\pm\sqrt{a}(a≥0)$，故填该式；
6. ⑥正数有2个平方根，故填两；
7. ⑦正数的两个平方根互为相反数，故填相反数；
8. ⑧0的平方根是0，故填0；
9. ⑨负数没有平方根，故填没有；
10. ⑩正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，故填正；
11. ⑪算术平方根记为$\sqrt{a}$，故填该式；
12. ⑫二次根式的定义为形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子，故填该式；
13. ⑬⑭最简二次根式的判定要求：被开方数中既不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，故分别填不含分母、不含能开得尽方的因数或因式；
14. ⑮二次根式性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，故填$|a|$；
15. ⑯积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，故填该式；
16. ⑰商的算术平方根性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，故填该式；
17. ⑱二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，故填该式；
18. ⑲二次根式除法法则：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，故填该式；
19. ⑳㉑立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根（或三次方根），故分别填立方根、三次方根；
20. ㉒立方根记为$\sqrt[3]{a}$，故填该式；
21. ㉓㉔正数有1个正的立方根，故分别填一、正；
22. ㉕㉖负数有1个负的立方根，故分别填一、负；
23. ㉗0的立方根是0，故填0；
24. ㉘㉙加法运算律包括交换律、结合律，故分别填交换律、结合律；
25. ㉚㉛㉜乘法运算律包括交换律、结合律、乘法对加法的分配律，故分别填交换律、结合律、乘法对加法的分配律；
26. ㉝㉞㉟㊱实数运算顺序：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，故分别填乘方与开方、乘除、加减、括号里面的。
【答案】
①数轴上的点 ②有理数 ③无限不循环 ④平方 ⑤$\pm\sqrt{a}(a≥0)$ ⑥两 ⑦相反数 ⑧0 ⑨没有 ⑩正 ⑪$\sqrt{a}$ ⑫$\sqrt{a}(a≥0)$ ⑬不含分母 ⑭不含能开得尽方的因数或因式 ⑮$|a|$ ⑯$\sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0,b≥0)$ ⑰$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$ ⑱$\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$ ⑲$\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$ ⑳立方根 ㉑三次方根 ㉒$\sqrt[3]{a}$ ㉓一 ㉔正 ㉕一 ㉖负 ㉗0 ㉘交换律 ㉙结合律 ㉚交换律 ㉛结合律 ㉜乘法对加法的分配律 ㉝乘方与开方 ㉞乘除 ㉟加减 ㊱括号里面的
【知识点】
实数的相关概念，平方根与立方根的性质，二次根式的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，覆盖了实数章节的核心识记知识点，是后续进行实数混合运算、解决根式相关题型的基础，需要学生熟练记忆、准确区分易混淆概念。
【难度系数】
0.85

1. 将下列各数填在相应的集合里。
3.030 030 003…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)，$\sqrt[3]{64}$，$π$，3.141 592 6，$-0.456$，$0$，$\frac{5}{11}$，$-\sqrt[3]{9}$，$\sqrt{(-7)^2}$，$\sqrt{0.1}$。
(1)有理数集合：$\{ \dots \}$；
(2)无理数集合：$\{ \dots \}$；
(3)正实数集合：$\{ \dots \}$；
(4)负实数集合：$\{ \dots \}$。

1. (1)$\sqrt[3]{64},3.141\ 592\ 6,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2}$
(2)$3.030\ 030\ 003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1),$π$,$-\sqrt[3]{9}$,$\sqrt{0.1}$
(3)$3.030\ 030\ 003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1),$\sqrt[3]{64}$,$π$,$3.141\ 592\ 6$,$\frac{5}{11}$,$\sqrt{(-7)^2}$,$\sqrt{0.1}$
(4)$-0.456$,$-\sqrt[3]{9}$

【分析】
解题时首先回忆各类实数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数；③正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。解题步骤：第一步先将题中能化简的数进行化简（如$\sqrt[3]{64}$、$\sqrt{(-7)^2}$），第二步逐个判断每个数的属性，再对应填入相应集合，注意不要漏填、错填。
【解析】
先化简题中特殊形式的数：
$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$。
(1) 有理数是整数、分数（有限小数、无限循环小数），筛选出符合定义的数即可；
(2) 无理数是无限不循环小数，筛选出符合定义的数即可；
(3) 正实数是大于0的实数，排除负数和0，筛选剩余大于0的数即可；
(4) 负实数是小于0的实数，筛选出所有小于0的数即可。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{64},3.141\ 592\ 6,-0.456,0,\frac{5}{11},\sqrt{(-7)^2}$
(2)$3.030\ 030\ 003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1),$π$,$-\sqrt[3]{9}$,$\sqrt{0.1}$
(3)$3.030\ 030\ 003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1),$\sqrt[3]{64}$,$π$,$3.141\ 592\ 6$,$\frac{5}{11}$,$\sqrt{(-7)^2}$,$\sqrt{0.1}$
(4)$-0.456$,$-\sqrt[3]{9}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题属于实数分类的基础题，解题的核心是先化简带根号的数，再结合定义判断数的属性，要注意不要误认为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，只有不循环的无限小数才属于无理数。
【难度系数】
0.8

2. 如图,每个小正方形的边长均为1。
(1)图中阴影部分的面积为 ,阴影部分的边长a为 ;
(2)估计边长a在相邻两个整数 与 之间;
(3)设边长a的整数部分为x,小数部分为y,求$x-y$的相反数。

2. 解:(1)13 $\sqrt{13}$
(2)3 4
(3)$x=3,y=\sqrt{13}-3,x-y=6-\sqrt{13}$,
所以$x-y$的相反数为$\sqrt{13}-6$。

【分析】
(1) 求阴影正方形的面积可采用割补法：先计算外围大正方形的面积，再减去四周4个全等的直角三角形的面积；也可先利用勾股定理计算阴影正方形的边长，再通过边长求面积。(2) 估算边长a的范围，只需找到与13相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断a所在的整数区间。(3) 先根据a的范围确定其整数部分x，再用a减去整数部分得到小数部分y，代入计算x-y后，根据相反数的定义求出结果即可。
【解析】
(1) 用割补法计算：外围大正方形边长为$2+3=5$，面积为$5×5=25$；四周每个直角三角形的直角边长为2和3，单个面积为$\frac{1}{2}×2×3=3$，4个总面积为$4×3=12$，因此阴影部分面积为$25-12=13$。
因为阴影部分是正方形，设边长为a，则$a^2=13$，又a为正数，故$a=\sqrt{13}$。
(2) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此a在整数3与4之间。
(3) 由(2)可知$\sqrt{13}$的整数部分$x=3$，小数部分$y=\sqrt{13}-3$。
计算得：$x-y=3-(\sqrt{13}-3)=6-\sqrt{13}$。
根据相反数的定义，$x-y$的相反数为$-(6-\sqrt{13})=\sqrt{13}-6$。
【答案】
(1)13；$\sqrt{13}$
(2)3；4
(3)$\sqrt{13}-6$
【知识点】
勾股定理，无理数的估算，相反数的定义
【点评】
本题综合考查了网格图形面积计算、勾股定理应用、无理数估算及实数运算，解题核心是熟练运用割补法和无理数大小判断方法，整体难度较低，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7