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3. 如图①，这是由8个同样大小的小正方体组成的魔方，体积为64。
(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出正方形ABCD的面积及其边长；
(3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使点A与－1对应的点重合，那么点D在数轴上表示的数为
(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出正方形ABCD的面积及其边长；
(3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使点A与－1对应的点重合，那么点D在数轴上表示的数为
$-1-2\sqrt{2}$
。答案
3. 解:(1)因为魔方的体积为64,所以魔方的棱长为4。
(2)因为魔方的棱长为4,所以小正方体的棱长为2。
所以正方形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×2×2×4=8$,
所以正方形ABCD的边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,
所以正方形ABCD的面积为8,边长为$2\sqrt{2}$。
(3)$-1-2\sqrt{2}$
(2)因为魔方的棱长为4,所以小正方体的棱长为2。
所以正方形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×2×2×4=8$,
所以正方形ABCD的边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,
所以正方形ABCD的面积为8,边长为$2\sqrt{2}$。
(3)$-1-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
1. 第(1)问：魔方是正方体，正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），已知体积为64，对64开立方即可求出棱长。
2. 第(2)问：先根据大魔方棱长和小正方体的总数量，算出单个小正方体的棱长；阴影正方形可拆分为4个直角边等于小正方体棱长的等腰直角三角形，计算4个三角形的面积和即可得到阴影正方形的面积，再对面积开算术平方根就能得到正方形的边长。
3. 第(3)问：数轴上点的平移遵循“左减右加”的规律，点D在点A左侧，两点距离等于正方形ABCD的边长，已知点A对应-1，用-1减去边长即可得到点D对应的数。
【解析】
(1) 设魔方的棱长为$a$，由正方体体积公式可得$a^3=64$，解得$a=\sqrt[3]{64}=4$。
(2) 因为魔方由8个同样大小的小正方体组成，大棱长为4，所以每个小正方体的棱长为$4÷2=2$。
阴影正方形ABCD由4个直角边为2的等腰直角三角形组成，因此面积为$4×\frac{1}{2}×2×2=8$。
设正方形ABCD的边长为$b$，可得$b^2=8$，因边长为正数，故$b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(3) 点A对应数轴上的-1，点D在点A左侧，两点距离为正方形边长$2\sqrt{2}$，因此点D对应的数为$-1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 4；
(2) 面积为8，边长为$2\sqrt{2}$；
(3) $-1-2\sqrt{2}$
【知识点】
正方体体积，算术平方根，数轴的应用
【点评】
本题结合了立体图形、实数运算和数轴的相关知识，综合性不强，解题时要逐步拆解问题，重点注意数轴上点的移动规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：魔方是正方体，正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），已知体积为64，对64开立方即可求出棱长。
2. 第(2)问：先根据大魔方棱长和小正方体的总数量，算出单个小正方体的棱长；阴影正方形可拆分为4个直角边等于小正方体棱长的等腰直角三角形，计算4个三角形的面积和即可得到阴影正方形的面积，再对面积开算术平方根就能得到正方形的边长。
3. 第(3)问：数轴上点的平移遵循“左减右加”的规律，点D在点A左侧，两点距离等于正方形ABCD的边长，已知点A对应-1，用-1减去边长即可得到点D对应的数。
【解析】
(1) 设魔方的棱长为$a$，由正方体体积公式可得$a^3=64$，解得$a=\sqrt[3]{64}=4$。
(2) 因为魔方由8个同样大小的小正方体组成，大棱长为4，所以每个小正方体的棱长为$4÷2=2$。
阴影正方形ABCD由4个直角边为2的等腰直角三角形组成，因此面积为$4×\frac{1}{2}×2×2=8$。
设正方形ABCD的边长为$b$，可得$b^2=8$，因边长为正数，故$b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(3) 点A对应数轴上的-1，点D在点A左侧，两点距离为正方形边长$2\sqrt{2}$，因此点D对应的数为$-1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 4；
(2) 面积为8，边长为$2\sqrt{2}$；
(3) $-1-2\sqrt{2}$
【知识点】
正方体体积，算术平方根，数轴的应用
【点评】
本题结合了立体图形、实数运算和数轴的相关知识，综合性不强，解题时要逐步拆解问题，重点注意数轴上点的移动规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知正方体纸盒的表面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$。
(1)求正方体纸盒的棱长。
(2)如图，拿掉盒盖后，插入一根长5 cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
(3)一只蚂蚁在纸盒的表面由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长。
(1)求正方体纸盒的棱长。
(2)如图，拿掉盒盖后，插入一根长5 cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
(3)一只蚂蚁在纸盒的表面由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长。
答案
4. 解:(1)正方体有六个面,每个面的面积为2 $\mathrm{cm}^2$,则正方体纸盒的棱长为$\sqrt{2}$ cm。
(2)如图,插入细木棒后,当看不见的部分恰好是正方体的对角线CE时,细木棒露在外面的长度最短。
$CD=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2(\mathrm{cm})$,
$CE=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}(\mathrm{cm})$,
则细木棒露在外面的最短长度为$(5-\sqrt{6})\mathrm{cm}$。
(3)如图,要算立体图形上两点之间的最短路径问题,首先需要将其转化成平面图形,将EB所在的面绕DE顺时针旋转90°,使其所在平面与AD所在平面恰好为同一平面,点B转到点$B'$处,则可计算点A,$B'$之间的距离,即$AB'=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}(\mathrm{cm})$,因此蚂蚁爬行的最短路线长为$\sqrt{10}$ cm。
解析
【分析】
(1) 求正方体棱长可结合正方体表面积公式推导：正方体表面积是6个相同正方形面的面积和，先算出单个面的面积，再对面积开平方即可得到棱长。
(2) 要让细木棒露在外面的长度最短，就需要细木棒在盒内的长度最长，正方体内部最长的线段是体对角线，因此先算出正方体的体对角线长度，再用木棒总长度减去体对角线长度，即可得到露在外面的最短长度。
(3) 立体图形表面的最短路径问题，需将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的结论，把A、B两点放到同一平面内，构造直角三角形后用勾股定理计算两点间的线段长，就是蚂蚁爬行的最短路线长。
【解析】
(1) 设正方体纸盒的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，
根据正方体表面积公式可得：$6a^2 = 12$，
化简得$a^2=2$，由于棱长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2) 当细木棒在盒内的部分为正方体的体对角线时，盒内长度最长，露在外面的长度最短。
先计算正方体底面的面对角线长度：底面是边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的正方形，由勾股定理得，底面对角线长$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$；
再计算正方体的体对角线长度：体对角线可看作以底面对角线和正方体棱长为直角边的直角三角形的斜边，因此体对角线长$=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$；
因此细木棒露在外面的最短长度为$5-\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
(3) 将EB所在的面绕DE顺时针旋转90°，使该面与AD所在的面处于同一平面，此时点B旋转到点$B'$的位置，连接$AB'$，$AB'$的长度就是蚂蚁爬行的最短路线长。
展开后，$AB'$为直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为：水平边长$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，竖直边长$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB'=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 正方体纸盒的棱长为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 细木棒露在外面的最短长度是$(5-\sqrt{6})\ \mathrm{cm}$；
(3) 蚂蚁爬行的最短路线长为$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
正方体的性质，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题综合考查了正方体的相关计算和勾股定理的实际应用，解题核心是将空间问题、立体表面路径问题转化为平面问题求解，能有效锻炼空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求正方体棱长可结合正方体表面积公式推导：正方体表面积是6个相同正方形面的面积和，先算出单个面的面积，再对面积开平方即可得到棱长。
(2) 要让细木棒露在外面的长度最短，就需要细木棒在盒内的长度最长，正方体内部最长的线段是体对角线，因此先算出正方体的体对角线长度，再用木棒总长度减去体对角线长度，即可得到露在外面的最短长度。
(3) 立体图形表面的最短路径问题，需将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的结论，把A、B两点放到同一平面内，构造直角三角形后用勾股定理计算两点间的线段长，就是蚂蚁爬行的最短路线长。
【解析】
(1) 设正方体纸盒的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，
根据正方体表面积公式可得：$6a^2 = 12$，
化简得$a^2=2$，由于棱长为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2) 当细木棒在盒内的部分为正方体的体对角线时，盒内长度最长，露在外面的长度最短。
先计算正方体底面的面对角线长度：底面是边长为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的正方形，由勾股定理得，底面对角线长$=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$；
再计算正方体的体对角线长度：体对角线可看作以底面对角线和正方体棱长为直角边的直角三角形的斜边，因此体对角线长$=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$；
因此细木棒露在外面的最短长度为$5-\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
(3) 将EB所在的面绕DE顺时针旋转90°，使该面与AD所在的面处于同一平面，此时点B旋转到点$B'$的位置，连接$AB'$，$AB'$的长度就是蚂蚁爬行的最短路线长。
展开后，$AB'$为直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为：水平边长$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，竖直边长$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB'=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 正方体纸盒的棱长为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
(2) 细木棒露在外面的最短长度是$(5-\sqrt{6})\ \mathrm{cm}$；
(3) 蚂蚁爬行的最短路线长为$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
正方体的性质，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题综合考查了正方体的相关计算和勾股定理的实际应用，解题核心是将空间问题、立体表面路径问题转化为平面问题求解，能有效锻炼空间想象能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
