3. 如图，在$△ ABC$中，D是AC边上的一点，$AD=3$，$CD=1$，$AB=2\sqrt{3}$，则$∽$。

3.$△ADB∽△ABC$

【分析】
要判断哪两个三角形相似，首先观察图形可知△ADB与△ABC有公共角∠A，接下来只需验证夹∠A的两组对应边是否成比例即可。第一步先计算AC的总长度，第二步分别计算两组边的比值，若比值相等，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似。
【解析】
首先计算AC的长度：
∵AD=3，CD=1，
∴$AC = AD + CD = 3 + 1 = 4$。
再计算夹公共角∠A的两组边的比值：
$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$。
又
∵∠A是△ADB和△ABC的公共角，即$∠ A=∠ A$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADB ∽ △ ABC$。
【答案】
$△ ADB$；$△ ABC$
【知识点】
相似三角形判定、比例线段计算、公共角性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是先找到两个三角形的公共角，再通过计算验证夹角的两边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.8

1. 如图,添加下列一个条件,不一定能使$△ ACD ∽ △ ABC$的是()。

A.$∠ B=∠ ACD$
B.$∠ ADC=∠ ACB$
C.$AC^2 = AD · AB$
D.$\frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}$

1.D

【分析】
已知△ACD和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，在已有一组公共角相等的前提下，要么补充另一组角相等，要么补充公共角的两组夹边对应成比例，即可判定两个三角形相似，我们据此逐一分析各选项即可。
【解析】
在△ACD和△ABC中，∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A：
选项A：添加∠B=∠ACD，此时满足两角分别相等（∠A=∠A，∠ACD=∠B），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
选项B：添加∠ADC=∠ACB，此时满足两角分别相等（∠A=∠A，∠ADC=∠ACB），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
选项C：添加$AC^2 = AD · AB$，变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即公共角∠A的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
选项D：添加$\frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}$，此时成比例的两组边的夹角并非公共角∠A，不满足相似三角形的判定条件，不一定能判定△ACD∽△ABC，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先确定两个三角形的公共角，再结合判定定理逐一验证选项，尤其要注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，夹角必须是成比例的两条边的夹角，不可随意替换边对应的角。
【难度系数】
0.7

2.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$,AE=BE,则有()。

A.$△ AED ∽ △ ABC$
B.$△ ADB ∽ △ BED$
C.$△ BCD ∽ △ ABC$
D.$△ AED ∽ △ CBD$

2.D

【分析】
本题考查相似三角形的判定，结合等边三角形的性质解题。首先我们可以设等边三角形的边长为参数，方便计算各线段的长度，再根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐一验证各选项中两个三角形的对应边比例和夹角是否满足判定条件，即可得出正确答案。
【解析】
设等边$△ ABC$的边长为$3k$（$k＞0$），则$AB=BC=AC=3k$，$∠ A=∠ C=60°$。
由$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，得$AD=\frac{1}{3}AC=k$，因此$CD=AC-AD=3k-k=2k$。
由$AE=BE$，得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}k$。
逐一分析选项：
选项A：$△ AED$和$△ ABC$中，$∠ A$为公共角，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，两组对应边比值不相等，不相似，A错误。
选项B：$△ ADB$和$△ BED$中，对应边比值不相等，不满足相似判定条件，B错误。
选项C：$△ BCD$和$△ ABC$中，$∠ C$为公共角，$\frac{CD}{BC}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{AC}=1$，两组对应边比值不相等，不相似，C错误。
选项D：$△ AED$和$△ CBD$中，$\frac{AD}{CD}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{BC}=\frac{\frac{3}{2}k}{3k}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{BC}$，且夹角$∠ A=∠ C=60°$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ AED ∽ △ CBD$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
解题的关键是合理设参数表示各边长度，准确找到对应边和对应角，利用相似三角形的SAS判定定理验证即可，注意对应边的比例关系要匹配，避免对应错误。
【难度系数】
0.7

3.如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为()。

A.$P_1$
B.$P_2$
C.$P_3$
D.$P_4$

3.C

【分析】首先观察△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，先计算出它两条直角边的比值；△EPD中∠PED=90°，与∠BAC是相等的夹角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需让两个三角形夹直角的边对应成比例，就能算出EP的长度，再结合网格找到对应P点即可。
【解析】设每个小方格的边长为1。
在△ABC中，∠BAC=90°，数格得AB=3，AC=2，因此直角边的比为$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$。
要使△ABC∽△EPD，已知∠PED=∠BAC=90°，根据相似三角形判定定理，需满足夹直角的边对应成比例：$\frac{EP}{ED}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$。
数格得ED的长度为4，代入比例式得：$\frac{EP}{4}=\frac{3}{2}$，解得$EP=6$。
观察四个格点$P_1、P_2、P_3、P_4$，只有$P_3$到点E的竖直距离为6，满足要求。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；网格线段长度计算
【点评】本题考查相似三角形判定在网格问题中的应用，解题的关键是先确定相等的夹角，再结合边的比例关系计算对应边的长度，解题时要注意相似三角形顶点的对应关系，避免边的比例对应错误。
【难度系数】0.7

4.如图,已知点E和点D分别是△ABC的边CA和边BA的延长线上的点,连接ED,则添加下列条件:①$∠ B = ∠ D$;②$∠ C = ∠ E$;③$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$;④$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$。能够判定$△ ABC ∽ △ ADE$的有()。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4.C

【分析】
首先我们先找到图中隐含的相等角：因为点D在BA的延长线上，点E在CA的延长线上，所以∠DAE和∠BAC是对顶角，可得∠DAE=∠BAC，这是已经具备的条件。接下来我们结合相似三角形的判定定理，逐个验证4个添加条件是否能判定两三角形相似：如果有另一个角对应相等，就符合“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”；如果是夹这个相等角的两边对应成比例，就符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）”，如果不符合这两类情况就不能判定。
【解析】
已知∠DAE=∠BAC（对顶角相等），逐个分析条件：
1. 添加①∠B=∠D：此时△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，满足两角分别相等，根据AA判定定理，可证△ABC∽△ADE，故①符合要求；
2. 添加②∠C=∠E：此时△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，满足两角分别相等，根据AA判定定理，可证△ABC∽△ADE，故②符合要求；
3. 添加③$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$：此时相等的∠BAC和∠DAE不是AB与BC、AD与DE的夹角，属于“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，不符合相似三角形的判定定理，不能判定△ABC∽△ADE，故③不符合要求；
4. 添加④$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$：此时△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且夹角∠BAC=∠DAE，满足两边对应成比例且夹角相等，根据SAS判定定理，可证△ABC∽△ADE，故④符合要求。
综上，能判定相似的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先找到图中隐含的对顶角相等的条件，再结合判定定理逐一验证给出的条件，要特别注意：两边对应成比例时，必须是夹角相等才能判定相似，“SSA”不能作为相似三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7

5.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=8，CB=2，当BD=时，△ACB∽△CBD。

5.$\frac{1}{2}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理：已知△ACB和△CBD都有直角，∠ACB=∠CBD=90°，两个直角是对应夹角，只要夹直角的两组对应边成比例，即可判定两个三角形相似。根据题目给出的△ACB∽△CBD，按对应顶点顺序确定对应边：AC对应CB，CB对应BD，列出比例后代入已知数值即可求解BD的长度。
【解析】
解：已知$∠ ACB=∠ CBD=90°$，
若$△ ACB ∽ △ CBD$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可得夹直角的对应边成比例：
$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$
将$AC=8$，$CB=2$代入比例式：
$\frac{8}{2}=\frac{2}{BD}$
化简得$4=\frac{2}{BD}$，解得$BD=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，比例计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题关键是根据相似三角形的顶点对应顺序找准对应边，正确列比例式，避免因对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7

6.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE。求证：
(1)AB·AE=AC·AD；
(2)△ADE∽△ABC。

证明：
(1) ∵ ∠BAD = ∠CAE，∠ABD = ∠ACE，
∴ △ABD ∽ △ACE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$，
交叉相乘得 $AB · AE = AC · AD$。
(2) 由(1)得 $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$，变形可得 $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE，
∴ △ADE ∽ △ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

【分析】
(1)对于等积式的证明，通常先将其转化为比例式，本题要证$AB·AE=AC·AD$，可转化为证明$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。观察已知条件，给出了$∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$，刚好符合两角分别相等的相似判定条件，可先证$△ ABD ∽ △ ACE$，再利用相似三角形对应边成比例得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
(2)要证$△ ADE ∽ △ ABC$，先从(1)得到的比例式变形，得到两组对应边成比例，再结合已知的$∠ BAD=∠ CAE$，两边同时加上公共角$∠ DAC$，即可得到两组边的夹角$∠ BAC=∠ DAE$，利用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理即可完成证明。
【解析】
(1)证明：
∵ $∠ BAD = ∠ CAE$，$∠ ABD = ∠ ACE$，
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$，
交叉相乘得 $AB · AE = AC · AD$。
(2)证明：
由(1)得 $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$，变形可得 $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，
∵ $∠ BAD = ∠ CAE$，
∴ $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，
即 $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1)$AB·AE=AC·AD$得证；(2)$△ ADE ∽ △ ABC$得证，证明过程见上述解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础证明题，重点考查相似判定定理和性质的应用，解题时要熟练掌握等积式与比例式的互化技巧，学会通过已知角的关系推导待证的角相等，这类题型是相似章节的核心基础题型，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.75