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7.如图，D是$△ ABC$的边AB上的一点，$BD=\frac{4}{3},AB=3,BC=2$。
（1）$△ BCD$与$△ BAC$相似吗？请说明理由。
（2）若$CD=\frac{5}{3}$，求AC的长。
（1）$△ BCD$与$△ BAC$相似吗？请说明理由。
（2）若$CD=\frac{5}{3}$，求AC的长。
答案
7.(1)$△BCD∽△BAC$。理由略。
(2)$AC=\frac{5}{2}$。
(2)$AC=\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
（1）要判断△BCD与△BAC是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠B，因此可尝试用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理证明，只需验证夹∠B的两组对应边的比值相等即可；（2）在证明两个三角形相似的基础上，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边的长度即可求出AC的长。
【解析】
（1）$△ BCD ∽ △ BAC$，理由如下：
已知$BD=\frac{4}{3}$，$BC=2$，$AB=3$，
∴ $\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，
可得$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
又
∵ ∠B是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，即$∠ B=∠ B$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此$△ BCD ∽ △ BAC$。
（2）
∵ $△ BCD ∽ △ BAC$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，
将$CD=\frac{5}{3}$，$BC=2$，$AB=3$代入比例式：
$\frac{\frac{5}{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得$2AC=5$，
解得$AC=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）$△ BCD ∽ △ BAC$，理由见解析；
（2）$AC=\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题的关键是先通过公共角确定相似判定的方向，验证边的比例关系完成相似证明，再利用相似的性质求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）要判断△BCD与△BAC是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠B，因此可尝试用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理证明，只需验证夹∠B的两组对应边的比值相等即可；（2）在证明两个三角形相似的基础上，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边的长度即可求出AC的长。
【解析】
（1）$△ BCD ∽ △ BAC$，理由如下：
已知$BD=\frac{4}{3}$，$BC=2$，$AB=3$，
∴ $\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，
可得$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
又
∵ ∠B是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，即$∠ B=∠ B$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，因此$△ BCD ∽ △ BAC$。
（2）
∵ $△ BCD ∽ △ BAC$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，
将$CD=\frac{5}{3}$，$BC=2$，$AB=3$代入比例式：
$\frac{\frac{5}{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得$2AC=5$，
解得$AC=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）$△ BCD ∽ △ BAC$，理由见解析；
（2）$AC=\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题的关键是先通过公共角确定相似判定的方向，验证边的比例关系完成相似证明，再利用相似的性质求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且$AC^2=AB· AD$。若$∠BCD=150°$,则$∠BAC=$
$30°$
。答案
8.$30°$
解析
【分析】
首先根据角平分线的定义可得∠BAC=∠CAD，再将乘积式$AC^2=AB·AD$转化为比例式，结合得到的等角可判定△ABC和△ACD相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠BCD的两个组成角转化为△ACD的两个内角，最后结合三角形内角和定理即可求出∠CAD的度数，也就是∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵$AC^2=AB·AD$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}\\∠ BAC=∠ CAD\end{cases}$
∴△ABC∽△ACD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴∠ACB=∠D，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，
∴∠D+∠ACD=150°，
在△ACD中，由三角形内角和为180°得：
$∠ CAD=180°-(∠ D+∠ ACD)=180°-150°=30°$，
∴∠BAC=∠CAD=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是将乘积式变形为比例式，结合角平分线条件证明三角形相似，再通过角的代换结合内角和定理求解，解题时需注意相似三角形对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.65
首先根据角平分线的定义可得∠BAC=∠CAD，再将乘积式$AC^2=AB·AD$转化为比例式，结合得到的等角可判定△ABC和△ACD相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠BCD的两个组成角转化为△ACD的两个内角，最后结合三角形内角和定理即可求出∠CAD的度数，也就是∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵$AC^2=AB·AD$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}\\∠ BAC=∠ CAD\end{cases}$
∴△ABC∽△ACD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴∠ACB=∠D，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，
∴∠D+∠ACD=150°，
在△ACD中，由三角形内角和为180°得：
$∠ CAD=180°-(∠ D+∠ ACD)=180°-150°=30°$，
∴∠BAC=∠CAD=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是将乘积式变形为比例式，结合角平分线条件证明三角形相似，再通过角的代换结合内角和定理求解，解题时需注意相似三角形对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.65
9. 如图,在矩形ABCD中,AB:BC=1:2,点E在AD上,且ED=3AE。判断△ABC与△EAB是否相似,并说明理由。
第9题图
第9题图答案
9.$△ABC∽△EAB$。理由略。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，首先观察角的特征：矩形内角均为直角，因此△ABC和△EAB都有90°角，已经满足一组角相等，接下来只需验证夹这组等角的两组边是否对应成比例即可。由于题目给出的是边的比例关系，可通过设参数的方式表示出各相关边的长度，计算对应边的比值后结合相似三角形判定定理就能得出结论。
【解析】
△ABC∽△EAB，理由如下：
设AB的长度为$x$，
∵$AB:BC=1:2$，
∴$BC=2x$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ABC=∠ EAB=90°$，$AD=BC=2x$，
∵$ED=3AE$，且$AE+ED=AD=2x$，
∴$AE = 2x÷(1+3) = \frac{x}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，$\frac{EA}{AB}=\frac{\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{EA}{AB}$，
又
∵$∠ ABC=∠ EAB=90°$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ EAB$。
【答案】
$△ ABC ∽ △ EAB$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是通过设参数将线段的比例关系转化为可计算的边长比值，结合矩形的直角特征，用“两边成比例且夹角相等”的判定定理即可证明，需熟练掌握处理比例关系的设参方法。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，首先观察角的特征：矩形内角均为直角，因此△ABC和△EAB都有90°角，已经满足一组角相等，接下来只需验证夹这组等角的两组边是否对应成比例即可。由于题目给出的是边的比例关系，可通过设参数的方式表示出各相关边的长度，计算对应边的比值后结合相似三角形判定定理就能得出结论。
【解析】
△ABC∽△EAB，理由如下：
设AB的长度为$x$，
∵$AB:BC=1:2$，
∴$BC=2x$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ABC=∠ EAB=90°$，$AD=BC=2x$，
∵$ED=3AE$，且$AE+ED=AD=2x$，
∴$AE = 2x÷(1+3) = \frac{x}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，$\frac{EA}{AB}=\frac{\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{EA}{AB}$，
又
∵$∠ ABC=∠ EAB=90°$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ EAB$。
【答案】
$△ ABC ∽ △ EAB$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是通过设参数将线段的比例关系转化为可计算的边长比值，结合矩形的直角特征，用“两边成比例且夹角相等”的判定定理即可证明，需熟练掌握处理比例关系的设参方法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，矩形ABCD中，AB = 20 cm，BC=40 cm，点E在线段DA上运动，方向由D向A每秒走4 cm，点F在线段CD上运动，方向由C向D每秒走2 cm，当两点中任一点到达终点则停止运动。请问它们同时出发多少秒时，以D，E，F为顶点的三角形与△ABC相似？
答案
解:设点 E,F 运动时间为 t s,由题意得，
$DE=4t\ \mathrm{cm},CF=2t\ \mathrm{cm}$，
则 $DF=(20-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 $AB=CD=20\ \mathrm{cm},BC=AD=40\ \mathrm{cm}$，
$∠B=∠D=90°$。
当$△EDF∽△ABC$ 时，
$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BC}$,即$\frac{4t}{20}=\frac{20-2t}{40}$，
解得 $t=2$；
当$△FDE∽△ABC$ 时，
$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{20-2t}{20}=\frac{4t}{40}$，
解得 $t=5$。
所以当 D,E 同时出发 2 s 或 5 s 时,以 D,E,F 为顶点的三角形与$△ABC$ 相似。
$DE=4t\ \mathrm{cm},CF=2t\ \mathrm{cm}$，
则 $DF=(20-2t)\ \mathrm{cm}$。
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 $AB=CD=20\ \mathrm{cm},BC=AD=40\ \mathrm{cm}$，
$∠B=∠D=90°$。
当$△EDF∽△ABC$ 时，
$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BC}$,即$\frac{4t}{20}=\frac{20-2t}{40}$，
解得 $t=2$；
当$△FDE∽△ABC$ 时，
$\frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{20-2t}{20}=\frac{4t}{40}$，
解得 $t=5$。
所以当 D,E 同时出发 2 s 或 5 s 时,以 D,E,F 为顶点的三角形与$△ABC$ 相似。
解析
【分析】
本题是动点结合相似三角形判定的题型，解题思路如下：①首先设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出△EDF中DE、DF的长度，△ABC的各边长度可由矩形性质直接得到；②因为两个三角形都是直角三角形，直角为固定对应角，相似时两条直角边的对应关系有两种情况，需要分类讨论；③针对每种相似的对应情况，列出对应边成比例的方程，求解t后验证t是否符合运动的时间限制即可。
【解析】
设点E、F的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ DE = 4t \, \mathrm{cm} $，$ CF = 2t \, \mathrm{cm} $，则$ DF = (20 - 2t) \, \mathrm{cm} $。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$ AB = CD = 20 \, \mathrm{cm} $，$ BC = AD = 40 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ B = ∠ D = 90° $。
分两种情况讨论：
1. 当$ △ EDF ∼ △ ABC $时，$ \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BC} $，即$ \frac{4t}{20}=\frac{20-2t}{40} $，解得 $ t=2 $；
2. 当$ △ FDE ∼ △ ABC $时，$ \frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BC} $，即$ \frac{20-2t}{20}=\frac{4t}{40} $，解得 $ t=5 $。
验证可知$ t=2 $、$ t=5 $均小于两点运动的最长时间10s，符合题意。
【答案】
2s或5s
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是动点与相似三角形结合的典型考题，解题的易错点是容易遗漏相似三角形直角边的两种对应情况，求解后还要注意验证解是否符合动点运动的实际范围，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合相似三角形判定的题型，解题思路如下：①首先设运动时间为t，用含t的代数式分别表示出△EDF中DE、DF的长度，△ABC的各边长度可由矩形性质直接得到；②因为两个三角形都是直角三角形，直角为固定对应角，相似时两条直角边的对应关系有两种情况，需要分类讨论；③针对每种相似的对应情况，列出对应边成比例的方程，求解t后验证t是否符合运动的时间限制即可。
【解析】
设点E、F的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ DE = 4t \, \mathrm{cm} $，$ CF = 2t \, \mathrm{cm} $，则$ DF = (20 - 2t) \, \mathrm{cm} $。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$ AB = CD = 20 \, \mathrm{cm} $，$ BC = AD = 40 \, \mathrm{cm} $，$ ∠ B = ∠ D = 90° $。
分两种情况讨论：
1. 当$ △ EDF ∼ △ ABC $时，$ \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BC} $，即$ \frac{4t}{20}=\frac{20-2t}{40} $，解得 $ t=2 $；
2. 当$ △ FDE ∼ △ ABC $时，$ \frac{DF}{AB}=\frac{DE}{BC} $，即$ \frac{20-2t}{20}=\frac{4t}{40} $，解得 $ t=5 $。
验证可知$ t=2 $、$ t=5 $均小于两点运动的最长时间10s，符合题意。
【答案】
2s或5s
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是动点与相似三角形结合的典型考题，解题的易错点是容易遗漏相似三角形直角边的两种对应情况，求解后还要注意验证解是否符合动点运动的实际范围，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
