11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,$D$是$BC$上的一点,$E$是$AB$延长线上的一点,且$BD=BE$,$AD$的延长线交$CE$于点$F$。$AF$与$CE$垂直吗?为什么?

11. $AF⊥CE$。理由如下:由$∠ABC=90°$,可得$∠CBE=90°$,所以$∠ABC=∠CBE$。又知$BD=BE,AB=BC$,可得$△ABD≌△CBE(SAS)$,所以$∠BCE=∠BAD$。因为$∠ABC+∠BAD+∠BDA=180°,∠DFC+∠BCE+∠CDF=180°$,又因为$∠BDA=∠CDF$,所以$∠DFC=∠ABC=90°$,即$AF⊥CE$。

【分析】
要判断AF与CE是否垂直，只需证明二者的夹角为90°即可。首先观察已知条件：AB=BC，BD=BE，且∠ABC和∠CBE都是直角，满足全等三角形SAS的判定条件，可先证△ABD≌△CBE，得到对应角∠BAD=∠BCE；再结合三角形内角和为180°、对顶角相等的性质，推导AF与CE的夹角∠DFC的度数，即可得出结论。
【解析】
AF⊥CE，理由如下：
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=90°，即∠ABC=∠CBE。
在△ABD和△CBE中：
AB=CB（已知），∠ABD=∠CBE（已证），BD=BE（已知）
∴ △ABD≌△CBE（SAS），
∴ ∠BCE=∠BAD（全等三角形对应角相等）。
∵ 三角形内角和为180°，
∴ ∠ABC+∠BAD+∠BDA=180°，∠DFC+∠BCE+∠CDF=180°，
又
∵ ∠BDA=∠CDF（对顶角相等），
∴ ∠DFC=∠ABC=90°，即AF⊥CE。
【答案】
AF⊥CE。理由如下:由$∠ABC=90°$,可得$∠CBE=90°$,所以$∠ABC=∠CBE$。又知$BD=BE,AB=BC$,可得$△ABD≌△CBE(SAS)$,所以$∠BCE=∠BAD$。因为$∠ABC+∠BAD+∠BDA=180°,∠DFC+∠BCE+∠CDF=180°$,又因为$∠BDA=∠CDF$,所以$∠DFC=∠ABC=90°$,即$AF⊥CE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是先利用边角边判定定理证明三角形全等，再通过角的等量代换推导出直角，进而证明两直线垂直，侧重考查基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在线段$AC$上(不与点$A$,$C$重合),连结$BD$并延长至点$E$,使$DE=BD$。过点$D$作$DF⊥ AC$,交$CE$的垂直平分线于点$F$,连结$AF$。为了探究$∠ CAF$与$∠ BAC$的数量关系,小明作了如下尝试:他首先根据“垂直平分线的性质”联想到连结$CF$,$EF$,然后延长$FD$至点$G$,使$DG=FD$,连结$BG$。
(1) 求证:$△ BDG≌△ EDF$。
(2) 请写出$∠ CAF$与$∠ BAC$的数量关系,并说明理由。
(3) 根据第(2)题的结果,解决如下问题:若$BC=5$,则$CF$的最小值为。

(1) 证明：
在$△ BDG$和$△ EDF$中：
$\because BD=DE$（已知），
$∠ BDG=∠ EDF$（对顶角相等），
$DG=FD$（辅助线作法），
$\therefore △ BDG ≌ △ EDF \ (\mathrm{SAS})$。
---
(2) 解：
数量关系为：$\boldsymbol{∠ CAF=\dfrac{1}{2}∠ BAC}$，理由如下：
1. 由$F$在$CE$的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质得：$CF=EF$。
2. 由(1)中$△ BDG ≌ △ EDF$，得$BG=EF$，因此$BG=CF$。
3. $\because DF⊥ AC$，且$DG=FD$，$\therefore AC$是线段$GF$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得：$AG=AF$。
4. 在$△ ADF$和$△ ADG$中：
$AD=AD$，$∠ ADF=∠ ADG=90°$，$DF=DG$，
$\therefore △ ADF ≌ △ ADG \ (\mathrm{SAS})$，得$AG=AF$，且$∠ GAD=∠ FAD$。
5. 结合$AB=AC$，$BG=CF$，$AG=AF$，可得$△ ABG ≌ △ ACF \ (\mathrm{SSS})$，因此$∠ BAG=∠ CAF$。
6. 又$\because ∠ BAC=∠ BAG+∠ GAC$，且$∠ GAC=2∠ CAF$，代入得：
$∠ BAC=∠ CAF + 2∠ CAF=2∠ CAF$，即$∠ CAF=\dfrac{1}{2}∠ BAC$。
---
(3) 答案：$\boldsymbol{2.5}$

【分析】
(1) 要证△BDG≌△EDF，先梳理已知条件：已知BD=DE，题目辅助线给出DG=FD，再找两组对应边的夹角，∠BDG和∠EDF是对顶角，角度相等，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 探究∠CAF与∠BAC的数量关系，先利用DF⊥AC、DG=FD，可得AC垂直平分FG，因此AF=AG；再结合F在CE的垂直平分线上，得CF=EF，结合(1)的全等结论可得BG=EF=CF；最后结合AB=AC的条件，用SSS证明△ABG≌△ACF，得到对应角相等，再结合AC垂直平分FG的性质得∠CAF=∠CAG，即可推出两个角的倍数关系。
(3) 由(2)可知∠CAF为定值（等于$\frac{1}{2}∠BAC$），即射线AF的位置固定，根据垂线段最短的性质，当CF⊥AF时，CF取得最小值，结合已知BC的长度即可计算最小值。
【解析】
(1) 证明：在$△ BDG$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}BD=DE \\∠ BDG=∠ EDF\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\DG=FD\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ EDF(\mathrm{SAS})$。
(2) $\boldsymbol{∠ BAC=2∠ CAF}$，理由如下：
连结$AG$、$CG$。
$\because DF⊥ AC$，$DG=FD$，
$\therefore AC$垂直平分线段$FG$，
$\therefore AF=AG$。
$\because$点$F$在$CE$的垂直平分线上，
$\therefore CF=EF$。
由(1)中$△ BDG≌△ EDF$，得$BG=EF$，
$\therefore BG=CF$。
在$△ ABG$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AC \\AG=AF \\BG=CF\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ ACF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ BAG=∠ CAF$。
又$\because AC$垂直平分$FG$，
$\therefore ∠ CAG=∠ CAF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BAG+∠ CAG=2∠ CAF$。
(3) 由(2)可知$∠ CAF=\frac{1}{2}∠ BAC$，即射线$AF$是与$AC$夹角为定值的射线，根据“垂线段最短”，当$CF⊥ AF$时，$CF$的长度最小。
结合等腰三角形的性质，此时$CF$的最小值为$\frac{1}{2}BC$，已知$BC=5$，
$\therefore CF_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}×5=2.5$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ BAC=2∠ CAF}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何综合题，以等腰三角形为背景，综合考查了全等三角形判定、垂直平分线性质和最值问题，解题的关键是合理利用题目给出的辅助线，逐步推导边和角的等量关系，最后结合垂线段最短的性质求解最值，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6