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8. 已知:如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB=DE,AC=DF。
求证:
(1) $△ ABC ≌ △ DEF$；
(2) $AF=CD$。
求证:
(1) $△ ABC ≌ △ DEF$；
(2) $AF=CD$。
答案
8. （1）由$FB=CE$,可得$BC=EF$。又因为$AB=DE,AC=DF$,所以$△ABC≌△DEF$。
（2）由(1)得$∠B=∠E$。又由$AB=DE,FB=CE$,可证$△ABF≌△DEC(SAS)$,所以$AF=CD$。
（2）由(1)得$∠B=∠E$。又由$AB=DE,FB=CE$,可证$△ABF≌△DEC(SAS)$,所以$AF=CD$。
解析
【分析】
要证明$△ ABC≌△ DEF$，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已给出$AB=DE$、$AC=DF$两组边相等，还缺一组边相等的条件。已知$FB=CE$，观察线段关系，$FB$和$CE$都加上公共线段$FC$，就能得到$BC=EF$，满足三边对应相等，即可用SSS判定全等。
要证明$AF=CD$，可证明$AF$、$CD$所在的$△ ABF$和$△ DEC$全等。由第一问的全等结论可得$∠B=∠E$，再结合已知的$AB=DE$、$FB=CE$，满足两边及其夹角对应相等，用SAS即可判定两个三角形全等，进而得到对应边$AF=CD$。
【解析】
(1) 证明：
$\because FB=CE$，
$\therefore FB+FC=CE+FC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）\\AC=DF（已知）\\BC=EF（已证）\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$。
(2) 证明：
由(1)中$△ ABC≌△ DEF$，可得$∠B=∠E$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）\\∠B=∠E（已证）\\FB=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DEC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AF=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
（1）由$FB=CE$,可得$BC=EF$。又因为$AB=DE,AC=DF$,所以$△ABC≌△DEF$。
（2）由(1)得$∠B=∠E$。又由$AB=DE,FB=CE$,可证$△ABF≌△DEC(SAS)$,所以$AF=CD$。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题时需先结合已知条件推导缺失的全等判定条件，再利用全等的性质得到对应边、对应角相等，进而完成后续证明，熟练掌握全等判定定理即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
要证明$△ ABC≌△ DEF$，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已给出$AB=DE$、$AC=DF$两组边相等，还缺一组边相等的条件。已知$FB=CE$，观察线段关系，$FB$和$CE$都加上公共线段$FC$，就能得到$BC=EF$，满足三边对应相等，即可用SSS判定全等。
要证明$AF=CD$，可证明$AF$、$CD$所在的$△ ABF$和$△ DEC$全等。由第一问的全等结论可得$∠B=∠E$，再结合已知的$AB=DE$、$FB=CE$，满足两边及其夹角对应相等，用SAS即可判定两个三角形全等，进而得到对应边$AF=CD$。
【解析】
(1) 证明：
$\because FB=CE$，
$\therefore FB+FC=CE+FC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）\\AC=DF（已知）\\BC=EF（已证）\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$。
(2) 证明：
由(1)中$△ ABC≌△ DEF$，可得$∠B=∠E$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}AB=DE（已知）\\∠B=∠E（已证）\\FB=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DEC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AF=CD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
（1）由$FB=CE$,可得$BC=EF$。又因为$AB=DE,AC=DF$,所以$△ABC≌△DEF$。
（2）由(1)得$∠B=∠E$。又由$AB=DE,FB=CE$,可证$△ABF≌△DEC(SAS)$,所以$AF=CD$。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题时需先结合已知条件推导缺失的全等判定条件，再利用全等的性质得到对应边、对应角相等，进而完成后续证明，熟练掌握全等判定定理即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
9. 如图，AD是$△ ABC$中$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。若$S_{△ ABC}=7$，$DE=2$，$AB=4$，则$AC$的长是
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得DF与DE长度相等。再观察图形可知△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，两个小三角形的高分别是DE和DF，已知总面积、DE长度和AB的长度，代入三角形面积公式即可求出AC的长。
【解析】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 2$。
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件：
$7=\frac{1}{2}×AB×DE+\frac{1}{2}×AC×DF$
把$DE=2$，$AB=4$，$DF=2$代入上式：
$7=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×AC×2$
计算得：$7=4+AC$，
解得：$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积和的关系建立方程求解，解题思路清晰，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得DF与DE长度相等。再观察图形可知△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，两个小三角形的高分别是DE和DF，已知总面积、DE长度和AB的长度，代入三角形面积公式即可求出AC的长。
【解析】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 2$。
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件：
$7=\frac{1}{2}×AB×DE+\frac{1}{2}×AC×DF$
把$DE=2$，$AB=4$，$DF=2$代入上式：
$7=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×AC×2$
计算得：$7=4+AC$，
解得：$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过面积和的关系建立方程求解，解题思路清晰，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
10. 如图。
命题一:如果AD既是BC边上的高线,又是$∠ BAC$的平分线,那么$△ ABD ≌ △ ACD$。
命题二:如果AD既是BC边上的高线,又是BC边上的中线,那么$△ ABD ≌ △ ACD$。
（1）证明上述两个命题。
（2）想一想,分别满足上述两个命题的条件,你还能推得哪些共同的结论?
命题一:如果AD既是BC边上的高线,又是$∠ BAC$的平分线,那么$△ ABD ≌ △ ACD$。
命题二:如果AD既是BC边上的高线,又是BC边上的中线,那么$△ ABD ≌ △ ACD$。
（1）证明上述两个命题。
（2）想一想,分别满足上述两个命题的条件,你还能推得哪些共同的结论?
答案
10. （1）命题一的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD$。从而可证$△ABD≌△ACD$(ASA)。命题二的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,BD=CD$。从而可证$△ABD≌△ACD(SAS)$。
（2）共同的结论有:$AB=AC,∠B=∠C$(答案不唯一)。
（2）共同的结论有:$AB=AC,∠B=∠C$(答案不唯一)。
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACD，首先结合AD的身份提取边角相等的条件，再匹配对应的全等判定定理即可。命题一中AD是高线可得∠ADB=∠ADC=90°，AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD，加上公共边AD，满足ASA的判定条件；命题二中AD是高线可得∠ADB=∠ADC=90°，AD是中线可得BD=CD，加上公共边AD，满足SAS的判定条件。（2）两个命题都能推出△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质，对应边、对应角均相等，从中找出共同成立的结论即可。
【解析】
（1）命题一证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA）。
命题二证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD \\∠ADB=∠ADC \\BD=CD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
（2）因为两个命题都可证得△ABD≌△ACD，结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得到多个共同结论，例如AB=AC、∠B=∠C等。
【答案】
（1）命题一的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD$。从而可证$△ABD ≌ △ ACD$(ASA)。命题二的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,BD=CD$。从而可证$△ABD ≌ △ ACD(SAS)$。
（2）共同的结论有:$AB=AC,∠B=∠C$(答案不唯一)。
【知识点】
三角形特殊线段的定义，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题考查三角形基础性质的综合应用，需要准确理解三角形高线、中线、角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件选择合适的判定方法完成证明，同时能利用全等的性质推导对应边角的关系。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABD≌△ACD，首先结合AD的身份提取边角相等的条件，再匹配对应的全等判定定理即可。命题一中AD是高线可得∠ADB=∠ADC=90°，AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD，加上公共边AD，满足ASA的判定条件；命题二中AD是高线可得∠ADB=∠ADC=90°，AD是中线可得BD=CD，加上公共边AD，满足SAS的判定条件。（2）两个命题都能推出△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质，对应边、对应角均相等，从中找出共同成立的结论即可。
【解析】
（1）命题一证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA）。
命题二证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD \\∠ADB=∠ADC \\BD=CD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
（2）因为两个命题都可证得△ABD≌△ACD，结合全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，可得到多个共同结论，例如AB=AC、∠B=∠C等。
【答案】
（1）命题一的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD$。从而可证$△ABD ≌ △ ACD$(ASA)。命题二的证明:由已知,可得$∠ADB=∠ADC,BD=CD$。从而可证$△ABD ≌ △ ACD(SAS)$。
（2）共同的结论有:$AB=AC,∠B=∠C$(答案不唯一)。
【知识点】
三角形特殊线段的定义，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题考查三角形基础性质的综合应用，需要准确理解三角形高线、中线、角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件选择合适的判定方法完成证明，同时能利用全等的性质推导对应边角的关系。
【难度系数】
0.8
