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3. 如图2，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动。设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
解决这道题需要分阶段分析点P的运动过程，先明确运动的两个分段：点P在BC边上运动、点P在CD边上运动；再分别计算两个阶段内△ABP的面积S和路程x的关系；最后结合函数关系匹配对应的图像即可。首先P在BC上时，△ABP的高随P的运动增大，面积随x线性增大，当P到达C点后，P在CD上运动时，△ABP的高固定为矩形的边长BC，面积保持不变。
【解析】
我们分两种情况讨论S与x的函数关系：
1. 当点P在BC边上运动（$0 ≤ x ≤ 2$）时：
△ABP的底$AB=1$，高为点P走过的路程$BP=x$，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2} × AB × BP = \frac{1}{2} × 1 × x = \frac{1}{2}x$
此时S随x的增大均匀增大，当$x=2$（P到达C点）时，$S=\frac{1}{2} × 2=1$。
2. 当点P在CD边上运动（$2 ＜ x ≤ 3$）时：
因为AB平行于CD，平行线间距离处处相等，所以△ABP的高固定等于矩形的边长$BC=2$，则：
$S=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 1 × 2=1$
此时S的值保持1不变，对应图像为水平线段。
综上，函数图像先从原点上升到点(2,1)，再水平延伸到点(3,1)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
动点的函数图像，三角形面积计算，分段函数
【点评】
本题属于分段函数与几何动点结合的基础题，解题核心是根据点的运动阶段划分，结合几何图形的性质推导不同阶段的函数关系，再对应判断图像特征即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要分阶段分析点P的运动过程，先明确运动的两个分段：点P在BC边上运动、点P在CD边上运动；再分别计算两个阶段内△ABP的面积S和路程x的关系；最后结合函数关系匹配对应的图像即可。首先P在BC上时，△ABP的高随P的运动增大，面积随x线性增大，当P到达C点后，P在CD上运动时，△ABP的高固定为矩形的边长BC，面积保持不变。
【解析】
我们分两种情况讨论S与x的函数关系：
1. 当点P在BC边上运动（$0 ≤ x ≤ 2$）时：
△ABP的底$AB=1$，高为点P走过的路程$BP=x$，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2} × AB × BP = \frac{1}{2} × 1 × x = \frac{1}{2}x$
此时S随x的增大均匀增大，当$x=2$（P到达C点）时，$S=\frac{1}{2} × 2=1$。
2. 当点P在CD边上运动（$2 ＜ x ≤ 3$）时：
因为AB平行于CD，平行线间距离处处相等，所以△ABP的高固定等于矩形的边长$BC=2$，则：
$S=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 1 × 2=1$
此时S的值保持1不变，对应图像为水平线段。
综上，函数图像先从原点上升到点(2,1)，再水平延伸到点(3,1)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
动点的函数图像，三角形面积计算，分段函数
【点评】
本题属于分段函数与几何动点结合的基础题，解题核心是根据点的运动阶段划分，结合几何图形的性质推导不同阶段的函数关系，再对应判断图像特征即可。
【难度系数】
0.7
4. 已知函数满足下列两个条件：①当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；②它的图象经过点$(1, -2)$。请写出一个符合上述条件的函数关系式：
$y=x-3$（答案不唯一）
。答案
4. $y=x-3$（答案不唯一）
解析
【分析】
这是一道开放性函数题，解题时首先回忆学过的函数增减性：一次函数$y=kx+b(k≠0)$当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，可满足条件①；接下来我们可以先设定一个大于0的$k$值，再利用条件②“图象过点$(1,-2)$”，将点的坐标代入函数式求出对应的常数项，就能得到符合要求的函数解析式，答案不唯一，只要满足两个条件均正确。
【解析】
我们选择一次函数构造解析式，步骤如下：
1. 设一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，根据条件①当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，可得$k＞0$，取$k=1$（取其他正数也可）；
2. 将点$(1,-2)$代入$y = x + b$，得：$-2 = 1 + b$，解得$b=-3$；
最终得到符合条件的函数关系式为$y=x-3$，也可选取其他$k＞0$的值构造不同函数。
【答案】
$y=x-3$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于开放性试题，重点考查对函数增减性的理解以及待定系数法的应用，只要同时满足题目给出的两个条件即为正确答案，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性函数题，解题时首先回忆学过的函数增减性：一次函数$y=kx+b(k≠0)$当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，可满足条件①；接下来我们可以先设定一个大于0的$k$值，再利用条件②“图象过点$(1,-2)$”，将点的坐标代入函数式求出对应的常数项，就能得到符合要求的函数解析式，答案不唯一，只要满足两个条件均正确。
【解析】
我们选择一次函数构造解析式，步骤如下：
1. 设一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，根据条件①当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，可得$k＞0$，取$k=1$（取其他正数也可）；
2. 将点$(1,-2)$代入$y = x + b$，得：$-2 = 1 + b$，解得$b=-3$；
最终得到符合条件的函数关系式为$y=x-3$，也可选取其他$k＞0$的值构造不同函数。
【答案】
$y=x-3$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于开放性试题，重点考查对函数增减性的理解以及待定系数法的应用，只要同时满足题目给出的两个条件即为正确答案，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
5. 若一次函数$y=(1-k)x+2k-4$的图象不过第一象限，则k的取值范围是
$1＜k≤2$
。答案
5. $1＜k≤2$
解析
【分析】
解决本题需结合一次函数的图象性质分析：一次函数$y=ax+b$（$a≠0$）的图象不经过第一象限，需要同时满足两个条件：①斜率$a＜0$，保证图象从左上向右下倾斜，不会随$x$增大上升进入第一象限；②与$y$轴的截距$b≤0$，保证图象与$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，不会从$y$轴正半轴进入第一象限。接下来对应题目中函数的系数列不等式求解，再取解集的公共部分即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知$y=(1-k)x+2k-4$是一次函数，因此$x$的系数$1-k≠0$。
结合一次函数图象不过第一象限的要求，列不等式组：
$\begin{cases}1-k ＜ 0 \\2k-4 ≤ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$1-k ＜ 0$，移项得$k＞1$；
解第二个不等式：$2k-4 ≤ 0$，移项得$2k≤4$，系数化为1得$k≤2$。
取两个解集的公共部分，可得$1＜k≤2$。
【答案】
$1＜k≤2$
【知识点】
一次函数图象性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查一次函数图象分布与系数的对应关系，解题时需注意不要遗漏截距等于0的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合一次函数的图象性质分析：一次函数$y=ax+b$（$a≠0$）的图象不经过第一象限，需要同时满足两个条件：①斜率$a＜0$，保证图象从左上向右下倾斜，不会随$x$增大上升进入第一象限；②与$y$轴的截距$b≤0$，保证图象与$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，不会从$y$轴正半轴进入第一象限。接下来对应题目中函数的系数列不等式求解，再取解集的公共部分即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知$y=(1-k)x+2k-4$是一次函数，因此$x$的系数$1-k≠0$。
结合一次函数图象不过第一象限的要求，列不等式组：
$\begin{cases}1-k ＜ 0 \\2k-4 ≤ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$1-k ＜ 0$，移项得$k＞1$；
解第二个不等式：$2k-4 ≤ 0$，移项得$2k≤4$，系数化为1得$k≤2$。
取两个解集的公共部分，可得$1＜k≤2$。
【答案】
$1＜k≤2$
【知识点】
一次函数图象性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查一次函数图象分布与系数的对应关系，解题时需注意不要遗漏截距等于0的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图3，直线$y=2x-1$与直线$y=kx+b(k≠0)$相交于点$P(2, 3)$. 根据图象可知，关于$x$的不等式$2x-1＞kx+b$的解集是（
A.$x＜2$
B.$x＜3$
C.$x＞2$
D.$x＞3$
C
）.A.$x＜2$
B.$x＜3$
C.$x＞2$
D.$x＞3$
答案
6.C
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确一元一次不等式和一次函数图象的对应关系：不等式$2x-1＞kx+b$的解集，就是直线$y=2x-1$的图象在直线$y=kx+b$图象上方时对应的$x$的取值范围。首先找到两条直线的交点，交点处两个函数值相等，再结合图象判断交点哪一侧满足$y=2x-1$的函数值更大，就能得到不等式的解集。
【解析】
1. 明确不等式的几何意义：不等式$2x-1＞kx+b$的解集，对应直线$y=2x-1$位于直线$y=kx+b$上方时的$x$的取值范围。
2. 已知两直线交点为$P(2,3)$，说明当$x=2$时，$2x-1=kx+b=3$，两个函数值相等。
3. 结合图象特征，在交点$P$的右侧（即$x＞2$时），直线$y=2x-1$的图象在$y=kx+b$的上方，满足$2x-1＞kx+b$。
因此不等式的解集是$x＞2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；数形结合思想
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，核心是理解函数图象的上下位置关系与函数值大小、不等式解集的对应联系，掌握数形结合的思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要明确一元一次不等式和一次函数图象的对应关系：不等式$2x-1＞kx+b$的解集，就是直线$y=2x-1$的图象在直线$y=kx+b$图象上方时对应的$x$的取值范围。首先找到两条直线的交点，交点处两个函数值相等，再结合图象判断交点哪一侧满足$y=2x-1$的函数值更大，就能得到不等式的解集。
【解析】
1. 明确不等式的几何意义：不等式$2x-1＞kx+b$的解集，对应直线$y=2x-1$位于直线$y=kx+b$上方时的$x$的取值范围。
2. 已知两直线交点为$P(2,3)$，说明当$x=2$时，$2x-1=kx+b=3$，两个函数值相等。
3. 结合图象特征，在交点$P$的右侧（即$x＞2$时），直线$y=2x-1$的图象在$y=kx+b$的上方，满足$2x-1＞kx+b$。
因此不等式的解集是$x＞2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；数形结合思想
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，核心是理解函数图象的上下位置关系与函数值大小、不等式解集的对应联系，掌握数形结合的思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图4，李老师早晨出门去锻炼，一段时间内沿$\odot M$的半圆形$M→A→B→C→M$路径匀速慢跑，那么李老师离出发点$M$的距离$y$与时间$x$之间的函数关系的大致图象是（
B
）。答案
7.B
解析
【分析】
遇到这类结合运动过程的函数图象判断题，我们可以先按运动路径的特征拆分不同阶段，逐段分析离出发点的距离y随时间x的变化规律，再匹配对应的图象：
第一步拆分运动阶段：整个路径可分为3个阶段：①M→A（从圆心沿半径到圆周）、②A→B→C（沿半圆弧运动）、③C→M（从圆周沿半径回到圆心）；
第二步逐段分析：①阶段沿半径向外跑，匀速运动时距离随时间匀速增大；②阶段在圆周上运动，根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此这段距离保持不变；③阶段沿半径往回跑，距离随时间匀速减小到0；且MA和CM长度相等、速度匀速，因此上升和下降阶段的时长相等。最后匹配选项即可。
【解析】
我们分三个阶段分析y与x的关系：
1. 运动路径为M→A时：李老师从M出发沿半径匀速跑向A点，离M的距离y随时间x匀速增大，对应图象为从原点出发的倾斜上升线段；
2. 运动路径为A→B→C时：李老师在半圆弧上运动，圆上任意一点到圆心M的距离都等于半径，因此y始终等于半径保持不变，对应图象为平行于x轴的水平线段；
3. 运动路径为C→M时：李老师从C点沿半径匀速跑回M点，离M的距离y随时间x匀速减小，直到回到M点时y=0，对应图象为倾斜下降至x轴的线段。
同时MA与CM长度相等、运动速度相同，因此上升段和下降段的时长相同，综上符合特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象识别，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数图象的判断，解题核心是将运动过程分段，结合几何性质分析每个阶段的变量变化规律，是函数类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到这类结合运动过程的函数图象判断题，我们可以先按运动路径的特征拆分不同阶段，逐段分析离出发点的距离y随时间x的变化规律，再匹配对应的图象：
第一步拆分运动阶段：整个路径可分为3个阶段：①M→A（从圆心沿半径到圆周）、②A→B→C（沿半圆弧运动）、③C→M（从圆周沿半径回到圆心）；
第二步逐段分析：①阶段沿半径向外跑，匀速运动时距离随时间匀速增大；②阶段在圆周上运动，根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此这段距离保持不变；③阶段沿半径往回跑，距离随时间匀速减小到0；且MA和CM长度相等、速度匀速，因此上升和下降阶段的时长相等。最后匹配选项即可。
【解析】
我们分三个阶段分析y与x的关系：
1. 运动路径为M→A时：李老师从M出发沿半径匀速跑向A点，离M的距离y随时间x匀速增大，对应图象为从原点出发的倾斜上升线段；
2. 运动路径为A→B→C时：李老师在半圆弧上运动，圆上任意一点到圆心M的距离都等于半径，因此y始终等于半径保持不变，对应图象为平行于x轴的水平线段；
3. 运动路径为C→M时：李老师从C点沿半径匀速跑回M点，离M的距离y随时间x匀速减小，直到回到M点时y=0，对应图象为倾斜下降至x轴的线段。
同时MA与CM长度相等、运动速度相同，因此上升段和下降段的时长相同，综上符合特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象识别，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数图象的判断，解题核心是将运动过程分段，结合几何性质分析每个阶段的变量变化规律，是函数类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
