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7. 如图，$∠ B=∠ D=∠ E$，那么图中的平行线是________.
答案
7.CD//EF
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。首先观察已知相等的角的位置关系：①∠D和∠E的公共边为DE，另外两条边分别是CD、EF，属于直线CD、EF被DE所截形成的内错角，满足“内错角相等”的判定条件，可推平行；②∠B和∠D没有公共截线，无法形成三线八角的对应关系，不能推导其他直线平行，最终即可确定平行的直线。
【解析】
观察图形可得：∠D与∠E是直线CD、EF被直线DE所截得到的内错角。
已知∠D=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，可得出$\boldsymbol{CD// EF}$。
∠B与∠D不存在公共的截线，无法形成符合平行线判定的角的位置关系，因此不能判定其余直线平行。
【答案】
$CD// EF$
【知识点】
内错角识别；平行线的判定
【点评】
本题核心考查平行线的判定方法，解题的关键是准确识别三线八角的位置关系，只有当两个相等的角是两条直线被第三条直线所截形成的同位角或内错角时，才能推导两直线平行，避免因忽略截线条件误判其他直线平行。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。首先观察已知相等的角的位置关系：①∠D和∠E的公共边为DE，另外两条边分别是CD、EF，属于直线CD、EF被DE所截形成的内错角，满足“内错角相等”的判定条件，可推平行；②∠B和∠D没有公共截线，无法形成三线八角的对应关系，不能推导其他直线平行，最终即可确定平行的直线。
【解析】
观察图形可得：∠D与∠E是直线CD、EF被直线DE所截得到的内错角。
已知∠D=∠E，根据“内错角相等，两直线平行”，可得出$\boldsymbol{CD// EF}$。
∠B与∠D不存在公共的截线，无法形成符合平行线判定的角的位置关系，因此不能判定其余直线平行。
【答案】
$CD// EF$
【知识点】
内错角识别；平行线的判定
【点评】
本题核心考查平行线的判定方法，解题的关键是准确识别三线八角的位置关系，只有当两个相等的角是两条直线被第三条直线所截形成的同位角或内错角时，才能推导两直线平行，避免因忽略截线条件误判其他直线平行。
【难度系数】
0.8
8. 如图，直线AB，CD被直线AE所截.请添加一个条件使直线AB//CD，则该条件可以是
∠1=∠2(答案不唯一)
（用图中已标注的角或字母表示）.答案
8.∠1=∠2(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。本题中截线是AE，被截线是AB和CD，接下来观察图中标注的角，找到AB、CD被AE所截形成的同位角、内错角或同旁内角，根据判定定理添加对应的等量或互补关系即可。
【解析】
根据平行线的判定定理，可选择以下任意一类条件填写：
1. 选同位角：∠1和∠2是直线AB、CD被AE截得的同位角，添加∠1=∠2，由同位角相等，两直线平行，可推出AB//CD；
2. 选内错角：∠1和∠3是直线AB、CD被AE截得的内错角，添加∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行，可推出AB//CD；
3. 选同旁内角：∠1和∠4是直线AB、CD被AE截得的同旁内角，添加∠1+∠4=180°，由同旁内角互补，两直线平行，可推出AB//CD。
以上条件任选其一即可。
【答案】
∠1=∠2(答案不唯一)
【知识点】
平行线的判定，同位角，内错角
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查平行线判定定理的应用，只要能结合图形准确识别截线、被截线形成的角的位置关系，就能快速写出符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。本题中截线是AE，被截线是AB和CD，接下来观察图中标注的角，找到AB、CD被AE所截形成的同位角、内错角或同旁内角，根据判定定理添加对应的等量或互补关系即可。
【解析】
根据平行线的判定定理，可选择以下任意一类条件填写：
1. 选同位角：∠1和∠2是直线AB、CD被AE截得的同位角，添加∠1=∠2，由同位角相等，两直线平行，可推出AB//CD；
2. 选内错角：∠1和∠3是直线AB、CD被AE截得的内错角，添加∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行，可推出AB//CD；
3. 选同旁内角：∠1和∠4是直线AB、CD被AE截得的同旁内角，添加∠1+∠4=180°，由同旁内角互补，两直线平行，可推出AB//CD。
以上条件任选其一即可。
【答案】
∠1=∠2(答案不唯一)
【知识点】
平行线的判定，同位角，内错角
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查平行线判定定理的应用，只要能结合图形准确识别截线、被截线形成的角的位置关系，就能快速写出符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
9. 如图，直线$a$，$b$都与直线$c$相交，给出下列条件：①$∠ 1=∠ 2$；②$∠ 1+∠ 3=180°$；③$∠ 2=∠ 8$；④$∠ 5+∠ 8=180°$，其中能判定$a// b$的条件是$\underline{\hspace{5em}}$（把你认为正确的序号全部填在横线上）。
答案
9.①④
解析
【分析】
要判定直线$a// b$，需结合平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行），逐一分析每个条件是否能推出$a$、$b$被$c$所截形成的对应角满足判定要求：
1. 先识别各角的位置关系，区分相交线自带的恒成立的角关系（邻补角和为$180°$、对顶角相等）和能推导平行的角关系；
2. 逐个验证4个条件，排除无法推导$a$、$b$平行的恒成立条件，保留符合判定定理的条件即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
①$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，故①符合要求；
②$∠ 1$和$∠ 3$是直线$a$与$c$相交形成的邻补角，无论$a$、$b$是否平行，都有$∠ 1+∠ 3=180°$，该条件无法推出$a$、$b$平行，故②不符合要求；
③$∠ 2$和$∠ 8$是直线$b$与$c$相交形成的角，由“同角的补角相等”可知，无论$a$、$b$是否平行，都有$∠ 2=∠ 8$，该条件无法推出$a$、$b$平行，故③不符合要求；
④由对顶角相等可得$∠ 8=∠ 6$，已知$∠ 5+∠ 8=180°$，替换可得$∠ 5+∠ 6=180°$，$∠ 5$和$∠ 6$是直线$a$、$b$被$c$所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$a// b$，故④符合要求。
综上，能判定$a// b$的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题考查平行线的判定应用，解题核心是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，同时注意不要将同一交点处相交线的恒等角关系当做判定平行的条件。
【难度系数】
0.7
要判定直线$a// b$，需结合平行线的判定定理（同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行），逐一分析每个条件是否能推出$a$、$b$被$c$所截形成的对应角满足判定要求：
1. 先识别各角的位置关系，区分相交线自带的恒成立的角关系（邻补角和为$180°$、对顶角相等）和能推导平行的角关系；
2. 逐个验证4个条件，排除无法推导$a$、$b$平行的恒成立条件，保留符合判定定理的条件即可。
【解析】
我们逐个分析给出的条件：
①$∠ 1$和$∠ 2$是直线$a$、$b$被直线$c$所截形成的同位角，若$∠ 1=∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定$a// b$，故①符合要求；
②$∠ 1$和$∠ 3$是直线$a$与$c$相交形成的邻补角，无论$a$、$b$是否平行，都有$∠ 1+∠ 3=180°$，该条件无法推出$a$、$b$平行，故②不符合要求；
③$∠ 2$和$∠ 8$是直线$b$与$c$相交形成的角，由“同角的补角相等”可知，无论$a$、$b$是否平行，都有$∠ 2=∠ 8$，该条件无法推出$a$、$b$平行，故③不符合要求；
④由对顶角相等可得$∠ 8=∠ 6$，已知$∠ 5+∠ 8=180°$，替换可得$∠ 5+∠ 6=180°$，$∠ 5$和$∠ 6$是直线$a$、$b$被$c$所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定$a// b$，故④符合要求。
综上，能判定$a// b$的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题考查平行线的判定应用，解题核心是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，同时注意不要将同一交点处相交线的恒等角关系当做判定平行的条件。
【难度系数】
0.7
10. 王林在美术课上将等腰三角形 $ ABC $ 通过平移设计得到“一棵树”，已知底边 $ AB $ 上的高 $ CD $ 为 $ 5 \, \mathrm{cm} $，沿 $ CD $ 方向向下平移 $ 3 \, \mathrm{cm} $ 到三角形 $ A_1B_1C_1 $ 的位置，再经过相同的平移到三角形 $ A_2B_2C_2 $ 的位置，下方树干 $ EF $ 长为 $ 4 \, \mathrm{cm} $，则树的高度 $ CF $ 长为 ______。
答案
10.15 cm
解析
【分析】要计算树的高度CF，首先拆分CF的组成部分：CF由原等腰三角形的高CD、两次平移向下移动的总长度、树干EF三部分组成。根据平移的性质，每次平移的距离相等，已知每次平移3cm，共平移2次，可算出两次平移的总长度，再将三部分长度相加即可得到CF的长度。
【解析】解：由平移的性质可知，每次平移的距离为3cm，一共平移了2次，因此两次平移沿CD方向向下移动的总长度为 $3 × 2 = 6 \, \mathrm{cm}$。
已知 $CD = 5 \, \mathrm{cm}$，$EF = 4 \, \mathrm{cm}$，因此树的总高度：
$CF = CD + \mathrm{两次平移总长度} + EF = 5 + 6 + 4 = 15 \, \mathrm{cm}$
【答案】15 cm
【知识点】平移的性质；线段和差计算
【点评】本题结合实际设计场景考查平移性质的应用，解题的关键是正确梳理总高度的构成，明确平移距离对应的线段长度即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：由平移的性质可知，每次平移的距离为3cm，一共平移了2次，因此两次平移沿CD方向向下移动的总长度为 $3 × 2 = 6 \, \mathrm{cm}$。
已知 $CD = 5 \, \mathrm{cm}$，$EF = 4 \, \mathrm{cm}$，因此树的总高度：
$CF = CD + \mathrm{两次平移总长度} + EF = 5 + 6 + 4 = 15 \, \mathrm{cm}$
【答案】15 cm
【知识点】平移的性质；线段和差计算
【点评】本题结合实际设计场景考查平移性质的应用，解题的关键是正确梳理总高度的构成，明确平移距离对应的线段长度即可快速求解。
【难度系数】0.8
11. 如图所示的是一个汉字“互”，其中 $AB// CD$，$HF// GE$，$∠ HGE=∠ HFE$，$M,H,G$ 三点在同一条直线上，$N,E,F$ 三点在同一条直线上. 求证：$∠ CMH=∠ BNE$.
答案
11.证明:$\because HF// GE$,
$\therefore ∠ HFE+∠ GEF=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
又$∠ HGE=∠ HFE$,
$\therefore ∠ HGE+∠ GEF=180°$.
$\therefore GH// EF$.
如图,延长EF,与CD交于点I.
$\because GH// EF$,
$\therefore ∠ CMH=∠ MIF$.
又$AB// CD$,
$\therefore ∠ MIF=∠ BNE$.
$\therefore ∠ CMH=∠ BNE$.
解析
【分析】
要证明∠CMH=∠BNE，我们可以通过平行线的性质，将两个待证角转化为同一个中间角来证明相等。首先从已知条件入手：先利用HF//GE的性质得到同旁内角互补，结合∠HGE=∠HFE的条件等量代换，推导得出GH//EF；接下来为了联系已知的AB//CD与新推导的GH//EF，我们添加辅助线延长EF交CD于点I，通过平行线的性质依次得到∠CMH与中间角∠MIF相等、∠BNE与∠MIF相等，最终通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：
$\because HF// GE$，
$\therefore ∠HFE+∠GEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠HGE=∠HFE$，
$\therefore ∠HGE+∠GEF=180°$，
$\therefore GH// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
如图，延长$EF$，与$CD$交于点$I$。
$\because GH// EF$，
$\therefore ∠CMH=∠MIF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because AB// CD$，
$\therefore ∠MIF=∠BNE$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠CMH=∠BNE$（等量代换）。
【答案】
证明:$\because HF// GE$,
$\therefore ∠ HFE+∠ GEF=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
又$∠ HGE=∠ HFE$,
$\therefore ∠ HGE+∠ GEF=180°$.
$\therefore GH// EF$.
如图,延长EF,与CD交于点I.
$\because GH// EF$,
$\therefore ∠ CMH=∠ MIF$.
又$AB// CD$,
$\therefore ∠ MIF=∠ BNE$.
$\therefore ∠ CMH=∠ BNE$.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题为平行线判定与性质的综合应用类题目，解题的关键是通过已知角的等量关系推导新的平行关系，再借助辅助线构造中间角完成待证角的等量转化，能够有效锻炼逻辑推理能力和几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠CMH=∠BNE，我们可以通过平行线的性质，将两个待证角转化为同一个中间角来证明相等。首先从已知条件入手：先利用HF//GE的性质得到同旁内角互补，结合∠HGE=∠HFE的条件等量代换，推导得出GH//EF；接下来为了联系已知的AB//CD与新推导的GH//EF，我们添加辅助线延长EF交CD于点I，通过平行线的性质依次得到∠CMH与中间角∠MIF相等、∠BNE与∠MIF相等，最终通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：
$\because HF// GE$，
$\therefore ∠HFE+∠GEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠HGE=∠HFE$，
$\therefore ∠HGE+∠GEF=180°$，
$\therefore GH// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
如图，延长$EF$，与$CD$交于点$I$。
$\because GH// EF$，
$\therefore ∠CMH=∠MIF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because AB// CD$，
$\therefore ∠MIF=∠BNE$（两直线平行，同位角相等）。
$\therefore ∠CMH=∠BNE$（等量代换）。
【答案】
证明:$\because HF// GE$,
$\therefore ∠ HFE+∠ GEF=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
又$∠ HGE=∠ HFE$,
$\therefore ∠ HGE+∠ GEF=180°$.
$\therefore GH// EF$.
如图,延长EF,与CD交于点I.
$\because GH// EF$,
$\therefore ∠ CMH=∠ MIF$.
又$AB// CD$,
$\therefore ∠ MIF=∠ BNE$.
$\therefore ∠ CMH=∠ BNE$.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题为平行线判定与性质的综合应用类题目，解题的关键是通过已知角的等量关系推导新的平行关系，再借助辅助线构造中间角完成待证角的等量转化，能够有效锻炼逻辑推理能力和几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图所示的是某型垃圾清运车示意图,折线A－B－C是其尾箱舱门,舱门可绕点A逆时针旋转打开,打开过程中∠ABC大小始终保持不变,∠BCD = 89°,当开启角∠EAB达到最大时,EF//CD,此时∠EAB的度数为
(
A.$89°$
B.$90°$
C.$91°$
D.$92°$
(
A
)A.$89°$
B.$90°$
C.$91°$
D.$92°$
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先明确题目的关键条件：当开启角∠EAB最大时，EF//CD，且∠BCD=89°。我们需要结合平行线的性质来找到∠EAB和∠BCD的关系，回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，观察图形可发现两个角是平行线EF、CD被线段AB所截得到的同位角，因此可直接得出两角相等，进而求出∠EAB的度数。
【解析】
解：由题意可知，当∠EAB达到最大时，EF//CD。
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得∠EAB = ∠BCD。
已知∠BCD = 89°，因此∠EAB = 89°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的清运车场景考查平行线性质的应用，题目比较基础，只要准确识别平行线被截后形成的相等角即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的关键条件：当开启角∠EAB最大时，EF//CD，且∠BCD=89°。我们需要结合平行线的性质来找到∠EAB和∠BCD的关系，回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，观察图形可发现两个角是平行线EF、CD被线段AB所截得到的同位角，因此可直接得出两角相等，进而求出∠EAB的度数。
【解析】
解：由题意可知，当∠EAB达到最大时，EF//CD。
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得∠EAB = ∠BCD。
已知∠BCD = 89°，因此∠EAB = 89°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的清运车场景考查平行线性质的应用，题目比较基础，只要准确识别平行线被截后形成的相等角即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
