13. 如图，$CE$ 平分 $∠ ACD$，$AE$ 平分 $∠ CAB$ 交 $CD$ 于点 $F$，且 $∠ 1+∠ 2=90°$.
(1) 试说明：$AB// CD$；
(2) 若 $∠ 3-∠ 4=20°$，求 $∠ AFC$ 的度数.

13.解:(1)$\because CE$ 平分$∠ ACD$,$AE$ 平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ BAC=2∠ 1$,$∠ ACD=2∠ 2$.
$\because ∠ 1+∠ 2=90°$,$\therefore 2∠ 1+2∠ 2=180°$.
$\therefore ∠ BAC+∠ ACD=180°$.$\therefore AB// CD$.
(2)$\because CE$ 平分$∠ ACD$,$AE$ 平分$∠ CAB$,
$\therefore ∠ 1=∠ 3=\frac{1}{2}∠ BAC$,$∠ 2=∠ 4=\frac{1}{2}∠ ACD$.
$\because ∠ BAC+∠ ACD=180°$,$\therefore 2∠ 3+2∠ 4=180°$.$\therefore ∠ 3+∠ 4=90°$.
$\because ∠ 3-∠ 4=20°$,$\therefore ∠ 4=35°$,$∠ 3=55°$.$\therefore ∠ 1=∠ 3=55°$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ AFC=∠ 1=55°$.$\therefore ∠ AFC$ 的度数为 $55°$.

【分析】
(1) 要证明$AB// CD$，根据平行线的判定定理，只需证明同旁内角$∠ BAC$与$∠ ACD$互补即可。已知角平分线条件，可将$∠ BAC$转化为$2∠1$，$∠ ACD$转化为$2∠2$，结合$∠1+∠2=90°$，即可推出两个同旁内角的和为$180°$，完成平行证明。
(2) 要求$∠ AFC$的度数，先利用角平分线性质得$∠1=∠3$、$∠2=∠4$，结合第一问的结论可得$∠3+∠4=90°$，联立$∠3-∠4=20°$可求出$∠3$的度数，再根据平行线的内错角相等性质，即可得到$∠ AFC$的度数。
【解析】
(1) $\because CE$ 平分$∠ ACD$，$AE$ 平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ BAC=2∠1$，$∠ ACD=2∠2$。
$\because ∠1+∠2=90°$，
$\therefore 2∠1+2∠2=180°$，即$∠ BAC+∠ ACD=180°$，
$\therefore AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because CE$ 平分$∠ ACD$，$AE$ 平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠1=∠3=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠2=∠4=\frac{1}{2}∠ ACD$。
$\because ∠ BAC+∠ ACD=180°$，
$\therefore 2∠3+2∠4=180°$，即$∠3+∠4=90°$。
又$\because ∠3-∠4=20°$，联立解得$∠4=35°$，$∠3=55°$，
$\therefore ∠1=∠3=55°$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠1=55°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) $AB// CD$，证明成立；
(2) $∠ AFC$的度数为$55°$。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平行线的判定
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查角平分线性质和平行线相关定理的应用，解题关键是通过角平分线实现角度的倍分转化，结合已知角度关系建立等式求解，能较好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图(1),自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成的,利用平面镜反射光线,提醒后方车辆注意,图(2)展示了光的反射定律,EF 是镜面 AB 的垂线,一束光线 m 射到平面镜 AB 上,经 AB 反射后的光线为 n,则入射光线 m、反射光线 n 与垂线 EF 所夹的锐角$∠θ_{1}=∠θ_{2}.$
请继续以下探究.

(1)如图(2),比较大小:$∠α$$∠β$(选填“＞”“＜”或“=”);
(2)如图(3),若$EF⊥FG$,判断光线 AB 和 CD 的位置关系,并说明理由(三角形内角和为$180^{\circ }$);
(3)在行驶过程中,后车驾驶员平视前方,且视点 D 会高于反射点 C[如图(4)],因此小亮认为反射光线 CD 应与水平视线成一定角度.学习小组设计了如图(5)所示的模拟实验装置,使入射光线$AB// DH$,当 CD 与 DH 所成夹角为$15^{\circ }$时,求$∠BFC$的度数.

14.(1)$=$
(2)解:$AB// CD$.理由如下:
设$∠ ABE=∠ α$,$∠ DCG=∠ β$,
由(1),知$∠ CBF=∠ α$,$∠ BCF=∠ β$.
$\because EF⊥ FG$,$\therefore ∠ F=90°$.
$\because ∠ CBF+∠ BCF+∠ F=180°$,$\therefore ∠ α+∠ β=90°$.
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ ABE-∠ CBF=180°-2∠ α$,
同理$∠ DCB=180°-2∠ β$,
$\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°$.$\therefore AB// CD$.
(3)解:如图,过点 $C$ 作 $CM// AB$.
$\therefore ∠ ABC+∠ BCM=180°$.
$\because AB// DH$,$\therefore CM// DH$.$\therefore ∠ DCM=∠ CDH=15°$.
设$∠ ABE=∠ α$,$∠ DCG=∠ β$,
由(1),知$∠ CBF=∠ α$,$∠ BCF=∠ β$.
$\because ∠ ABC=180°-∠ ABE-∠ CBF=180°-2∠ α$,
同理$∠ BCD=180°-2∠ β$,
$\therefore ∠ BCM=∠ BCD-∠ DCM=165°-2∠ β$.
$\because ∠ ABC+∠ BCM=180°$,
$\therefore 180°-2∠ α+165°-2∠ β=180°$.$\therefore ∠ α+∠ β=82.5°$.
$\because ∠ CBF+∠ BCF+∠ F=180°$,$\therefore ∠ BFC=180°-(∠ BCF+∠ CBF)=97.5°$.

【分析】
(1) 由EF垂直AB可得∠θ₁+∠α=90°、∠θ₂+∠β=90°，结合反射定律∠θ₁=∠θ₂，根据等角的余角相等即可判断∠α和∠β的大小关系。
(2) 要判断AB与CD的位置关系，可通过证明同旁内角互补判定两直线平行。先由EF⊥FG得∠BFC=90°，结合三角形内角和得∠CBF+∠BCF=90°；再利用反射规律表示出∠ABC和∠BCD，计算两者之和，若和为180°即可判定平行。
(3) 已知AB//DH，过点C作CM//AB，利用平行线的传递性得CM//DH，可得∠DCM=15°；再结合反射规律表示出∠ABC和∠BCD，根据平行线同旁内角互补列等式求出∠α+∠β的度数，最后在△BFC中利用内角和定理即可求出∠BFC的度数。
【解析】
(1)
∵EF⊥AB，
∴∠θ₁+∠α=90°，∠θ₂+∠β=90°，又
∵反射定律得∠θ₁=∠θ₂，
∴∠α=∠β。
(2) $AB// CD$，理由如下：
设$∠ ABE=∠ α$，$∠ DCG=∠ β$，
由(1)的反射规律可知$∠ CBF=∠ α$，$∠ BCF=∠ β$。
$\because EF⊥ FG$，$\therefore ∠ F=90°$。
$\because$三角形内角和为$180°$，$\therefore ∠ CBF+∠ BCF+∠ F=180°$，即$∠ α+∠ β=90°$。
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ ABE-∠ CBF=180°-2∠ α$，
同理$∠ DCB=180°-2∠ β$，
$\therefore ∠ ABC+∠ DCB=180°-2∠α+180°-2∠β=360°-2(∠α+∠β)=180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AB// CD$。
(3) 如图，过点 $C$ 作 $CM// AB$，

$\therefore ∠ ABC+∠ BCM=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because AB// DH$，$\therefore CM// DH$（平行于同一直线的两直线互相平行），
$\therefore ∠ DCM=∠ CDH=15°$（两直线平行，内错角相等）。
设$∠ ABE=∠ α$，$∠ DCG=∠ β$，
由(1)的反射规律可知$∠ CBF=∠ α$，$∠ BCF=∠ β$。
$\because ∠ ABC=180°-∠ ABE-∠ CBF=180°-2∠ α$，
同理$∠ BCD=180°-2∠ β$，
$\therefore ∠ BCM=∠ BCD-∠ DCM=180°-2∠β-15°=165°-2∠ β$。
代入$∠ ABC+∠ BCM=180°$得：
$180°-2∠ α+165°-2∠ β=180°$，
整理得$2(∠α+∠β)=165°$，即$∠ α+∠ β=82.5°$。
在△BFC中，$∠ BFC=180°-(∠ BCF+∠ CBF)=180°-(∠α+∠β)=97.5°$。
【答案】
(1) $\boxed{=}$
(2) $\boxed{AB// CD}$
(3) $\boxed{97.5°}$

【知识点】
光的反射原理、平行线的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中自行车尾灯的原理，将物理光的反射规律与数学几何知识融合，既考查了基础几何定理的应用，也锻炼了辅助线构造、跨学科知识结合的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6