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18. 将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$。
(1)若$\begin{vmatrix} x&2 \\ 3&1 \end{vmatrix}＞0$，则x的取值范围是 ______ ；
(2)若x，y同时满足$\begin{vmatrix} x&2 \\ -3&1 \end{vmatrix}=7$，$\begin{vmatrix} y&1 \\ 2x&1 \end{vmatrix}=1$，求x，y的值；
(3)若关于x的不等式组$\begin{cases} \begin{vmatrix} x&2 \\ x+2&3 \end{vmatrix}＜m, \\ x＜2 \end{cases}$的解集为x＜2，求m的取值范围。
(1)若$\begin{vmatrix} x&2 \\ 3&1 \end{vmatrix}＞0$，则x的取值范围是 ______ ；
(2)若x，y同时满足$\begin{vmatrix} x&2 \\ -3&1 \end{vmatrix}=7$，$\begin{vmatrix} y&1 \\ 2x&1 \end{vmatrix}=1$，求x，y的值；
(3)若关于x的不等式组$\begin{cases} \begin{vmatrix} x&2 \\ x+2&3 \end{vmatrix}＜m, \\ x＜2 \end{cases}$的解集为x＜2，求m的取值范围。
答案
18. (1)$x＞6$
(2)$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$
(3)$m \ge -2$
(2)$\begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases}$
(3)$m \ge -2$
解析
【分析】
首先理解题目给出的二阶行列式新定义运算法则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线两数乘积减去副对角线两数乘积。解题时先将每个行列式按定义转化为普通代数式，再对应问题求解：(1)转化为一元一次不等式，直接解不等式即可得x的范围；(2)将两个行列式分别转化为方程，先解第一个方程得x的值，再代入第二个方程求y的值；(3)先将行列式转化为关于x的不等式，整理后结合不等式组解集为x＜2，根据“同小取小”的解集判断原则，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义可得：$\begin{vmatrix}x&2\\3&1\end{vmatrix}=x×1 - 2×3=x-6$，
由题意得$x-6＞0$，
解得$x＞6$。
(2) 计算第一个行列式：$\begin{vmatrix}x&2\\-3&1\end{vmatrix}=x×1 - 2×(-3)=x+6$，
由题意得$x+6=7$，解得$x=1$；
计算第二个行列式：$\begin{vmatrix}y&1\\2x&1\end{vmatrix}=y×1 - 1×2x=y-2x$，
由题意得$y-2x=1$，将$x=1$代入得$y-2×1=1$，解得$y=3$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(3) 计算行列式：$\begin{vmatrix}x&2\\x+2&3\end{vmatrix}=3x - 2×(x+2)=3x-2x-4=x-4$，
原不等式组可化为$\begin{cases}x-4＜m\\x＜2\end{cases}$，整理得$\begin{cases}x＜m+4\\x＜2\end{cases}$，
已知不等式组解集为$x＜2$，根据“同小取小”原则，可得$m+4≥2$，
解得$m≥-2$。
【答案】
(1)$x＞6$；(2)$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$；(3)$m≥-2$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式(组)求解、二元一次方程求解
【点评】
本题以新定义运算为载体，综合考查方程与不等式的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生的行列式运算转化为已学的四则运算，再结合方程、不等式的解法求解，第三小问需要注意判断不等式组解集时等号的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先理解题目给出的二阶行列式新定义运算法则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线两数乘积减去副对角线两数乘积。解题时先将每个行列式按定义转化为普通代数式，再对应问题求解：(1)转化为一元一次不等式，直接解不等式即可得x的范围；(2)将两个行列式分别转化为方程，先解第一个方程得x的值，再代入第二个方程求y的值；(3)先将行列式转化为关于x的不等式，整理后结合不等式组解集为x＜2，根据“同小取小”的解集判断原则，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义可得：$\begin{vmatrix}x&2\\3&1\end{vmatrix}=x×1 - 2×3=x-6$，
由题意得$x-6＞0$，
解得$x＞6$。
(2) 计算第一个行列式：$\begin{vmatrix}x&2\\-3&1\end{vmatrix}=x×1 - 2×(-3)=x+6$，
由题意得$x+6=7$，解得$x=1$；
计算第二个行列式：$\begin{vmatrix}y&1\\2x&1\end{vmatrix}=y×1 - 1×2x=y-2x$，
由题意得$y-2x=1$，将$x=1$代入得$y-2×1=1$，解得$y=3$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(3) 计算行列式：$\begin{vmatrix}x&2\\x+2&3\end{vmatrix}=3x - 2×(x+2)=3x-2x-4=x-4$，
原不等式组可化为$\begin{cases}x-4＜m\\x＜2\end{cases}$，整理得$\begin{cases}x＜m+4\\x＜2\end{cases}$，
已知不等式组解集为$x＜2$，根据“同小取小”原则，可得$m+4≥2$，
解得$m≥-2$。
【答案】
(1)$x＞6$；(2)$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$；(3)$m≥-2$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式(组)求解、二元一次方程求解
【点评】
本题以新定义运算为载体，综合考查方程与不等式的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生的行列式运算转化为已学的四则运算，再结合方程、不等式的解法求解，第三小问需要注意判断不等式组解集时等号的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.7
19.（生活应用）自来水公司有一种长度为9.9 m的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为3.6 m和2.1 m的A型管道和B型管道.
某小区铺设自来水管道，需要A型管道160根，B型管道178根，现有标准管道100根，设采用截法一的标准管道为x根.
（1）根据题意，完成以下表格：
（单位：根）
| | 标准管道截法一 | 标准管道截法二 |
| --- | --- | --- |
| | $x$ |
| A型管道 | $x$
| $2(100-x)$ |
| B型管道 | $3x$ |
（2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有几种截取方案？
某小区铺设自来水管道，需要A型管道160根，B型管道178根，现有标准管道100根，设采用截法一的标准管道为x根.
（1）根据题意，完成以下表格：
（单位：根）
| | 标准管道截法一 | 标准管道截法二 |
| --- | --- | --- |
| | $x$ |
$100-x$
|| A型管道 | $x$
| $2(100-x)$ || B型管道 | $3x$ |
$100-x$
|（2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有几种截取方案？
答案
19. 解：(1)$100-x$ $100-x$
(2)由题意列一元一次不等式得，
$\begin{cases} x + 2(100 - x) \ge 160, \ ① \\ 3x + (100 - x) \ge 178. \ ② \end{cases}$
由①得$x \le 40$，由②得$x \ge 39$.
$\therefore 39 \le x \le 40$.
$\because x$取整数，$\therefore x = 39, 40$.
共有两种截取方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截61根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截60根标准管道.
(2)由题意列一元一次不等式得，
$\begin{cases} x + 2(100 - x) \ge 160, \ ① \\ 3x + (100 - x) \ge 178. \ ② \end{cases}$
由①得$x \le 40$，由②得$x \ge 39$.
$\therefore 39 \le x \le 40$.
$\because x$取整数，$\therefore x = 39, 40$.
共有两种截取方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截61根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截60根标准管道.
解析
【分析】
（1）首先明确标准管道总共有100根，截法一用x根，那么截法二的数量就是总数量减去截法一的数量，即$100-x$根；再结合截法二的A型管产出数量，可推算出每根截法二的标准管道产出1根B型管，因此截法二产出的B型管总数量为$100-x$。
（2）要满足施工需求，两种截法产出的A型管总数不能少于需要的160根，B型管总数不能少于需要的178根，据此列出一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合x为正整数的实际意义，找出符合条件的x值，即可得到方案数量。
【解析】
（1）已知共有标准管道100根，截法一用x根，因此截法二的标准管道数量为$100-x$；
每根截法二的标准管道产出2根A型管，结合标准管总长度可推出每根截法二的标准管同时产出1根B型管，因此截法二产出的B型管总数量为$1×(100-x)=100-x$。
（2）根据A型、B型管道的需求量，列不等式组如下：
$\begin{cases} x + 2(100 - x) \ge 160, \ ① \\ 3x + (100 - x) \ge 178. \ ② \end{cases}$
解不等式①：
$x+200-2x\ge160$
$-x\ge-40$
$x\le40$
解不等式②：
$3x+100-x\ge178$
$2x\ge78$
$x\ge39$
因此不等式组的解集为$39\le x\le40$，由于x为管道数量，必须是正整数，因此x可取39、40两个值，对应两种方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截$100-39=61$根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截$100-40=60$根标准管道。
【答案】
(1) $100-x$；$100-x$
(2) 共有2种截取方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截61根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截60根标准管道。
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活实际考查不等式组的应用，解题核心是找准题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数代表管道数量，必须为正整数，属于常考的应用型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确标准管道总共有100根，截法一用x根，那么截法二的数量就是总数量减去截法一的数量，即$100-x$根；再结合截法二的A型管产出数量，可推算出每根截法二的标准管道产出1根B型管，因此截法二产出的B型管总数量为$100-x$。
（2）要满足施工需求，两种截法产出的A型管总数不能少于需要的160根，B型管总数不能少于需要的178根，据此列出一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合x为正整数的实际意义，找出符合条件的x值，即可得到方案数量。
【解析】
（1）已知共有标准管道100根，截法一用x根，因此截法二的标准管道数量为$100-x$；
每根截法二的标准管道产出2根A型管，结合标准管总长度可推出每根截法二的标准管同时产出1根B型管，因此截法二产出的B型管总数量为$1×(100-x)=100-x$。
（2）根据A型、B型管道的需求量，列不等式组如下：
$\begin{cases} x + 2(100 - x) \ge 160, \ ① \\ 3x + (100 - x) \ge 178. \ ② \end{cases}$
解不等式①：
$x+200-2x\ge160$
$-x\ge-40$
$x\le40$
解不等式②：
$3x+100-x\ge178$
$2x\ge78$
$x\ge39$
因此不等式组的解集为$39\le x\le40$，由于x为管道数量，必须是正整数，因此x可取39、40两个值，对应两种方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截$100-39=61$根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截$100-40=60$根标准管道。
【答案】
(1) $100-x$；$100-x$
(2) 共有2种截取方案：
方案一：采用截法一截39根标准管道，采用截法二截61根标准管道；
方案二：采用截法一截40根标准管道，采用截法二截60根标准管道。
【知识点】
1. 列代数式
2. 一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活实际考查不等式组的应用，解题核心是找准题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数代表管道数量，必须为正整数，属于常考的应用型基础题。
【难度系数】
0.7
