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18. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC=68°，求∠EOF的度数；
(2)如果∠AOC=n°(n＜180)，则∠EOF=
(3)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数.
(1)若∠AOC=68°，求∠EOF的度数；
(2)如果∠AOC=n°(n＜180)，则∠EOF=
$(90 - \frac{1}{2}n)°$
（用含n的代数式表示）；(3)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数.
答案
18. (1)$∠ EOF = 56°$.
(2)$(90 - \frac{1}{2}n)°$
(3)$∠ COE = 142°$.
(2)$(90 - \frac{1}{2}n)°$
(3)$∠ COE = 142°$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用相交线的相关性质梳理角度关系：1. 先利用对顶角相等得到∠BOD与已知∠AOC的等量关系；2. 结合角平分线的性质得到∠DOE的度数；3. 再根据垂直的定义得到直角∠FOD，通过角度的和差计算求解各问。第三问可以通过设未知数列方程的方式，根据题目给出的角度差建立等量关系求解。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 68°（对顶角相等）。
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×68° = 34°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠FOD = 90°（垂直的定义），
∴ $∠ EOF = ∠ FOD - ∠ DOE = 90° - 34° = 56°$。
(2) 解：若∠AOC = n°，同理可得∠BOD = n°，
$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{n}{2}°$，
又
∵ ∠FOD = 90°，
∴ $∠ EOF = 90° - \frac{n}{2}° = (90-\frac{1}{2}n)°$。
(3) 解：设∠AOC = x°，则∠BOD = x°，
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{x}{2}°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠FOD = 90°，
∴ $∠ BOF = ∠ FOD - ∠ BOD = 90° - x°$。
由题意∠BOE比∠BOF大24°，可得：
$\frac{x}{2} - (90 - x) = 24$
解得$x=76$，即∠AOC=76°，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}×76° = 38°$，
∵ ∠COE + ∠DOE = 180°（平角的定义），
∴ $∠ COE = 180° - 38° = 142°$。
【答案】
(1) $\boxed{56°}$
(2) $\boxed{(90-\dfrac{1}{2}n)°}$
(3) $\boxed{142°}$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；垂直的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，需要熟练掌握对顶角、角平分线、垂直的相关性质，解题时要理清不同角度之间的和差关系，第三问结合方程思想能更简便地求解，要注意避免角度关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用相交线的相关性质梳理角度关系：1. 先利用对顶角相等得到∠BOD与已知∠AOC的等量关系；2. 结合角平分线的性质得到∠DOE的度数；3. 再根据垂直的定义得到直角∠FOD，通过角度的和差计算求解各问。第三问可以通过设未知数列方程的方式，根据题目给出的角度差建立等量关系求解。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 68°（对顶角相等）。
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×68° = 34°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠FOD = 90°（垂直的定义），
∴ $∠ EOF = ∠ FOD - ∠ DOE = 90° - 34° = 56°$。
(2) 解：若∠AOC = n°，同理可得∠BOD = n°，
$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{n}{2}°$，
又
∵ ∠FOD = 90°，
∴ $∠ EOF = 90° - \frac{n}{2}° = (90-\frac{1}{2}n)°$。
(3) 解：设∠AOC = x°，则∠BOD = x°，
∵ OE平分∠BOD，
∴ $∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{x}{2}°$。
∵ OF⊥CD，
∴ ∠FOD = 90°，
∴ $∠ BOF = ∠ FOD - ∠ BOD = 90° - x°$。
由题意∠BOE比∠BOF大24°，可得：
$\frac{x}{2} - (90 - x) = 24$
解得$x=76$，即∠AOC=76°，
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}×76° = 38°$，
∵ ∠COE + ∠DOE = 180°（平角的定义），
∴ $∠ COE = 180° - 38° = 142°$。
【答案】
(1) $\boxed{56°}$
(2) $\boxed{(90-\dfrac{1}{2}n)°}$
(3) $\boxed{142°}$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；垂直的性质
【点评】
本题属于相交线角度计算的常规题型，需要熟练掌握对顶角、角平分线、垂直的相关性质，解题时要理清不同角度之间的和差关系，第三问结合方程思想能更简便地求解，要注意避免角度关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
19. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2} -1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。又例如：$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，∴$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7} -2$。
(1)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，则$a =$
(2)已知$5 + \sqrt{11}$的小数部分为$a$，$5 - \sqrt{11}$的小数部分为$b$，求$a + b$的值；
(3)已知$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，$b$是它的小数部分，求$a + (b + 3)^2$的值。
(1)如果$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{13}$的整数部分为$b$，则$a =$
$\sqrt{5}-2$
，$b =$ 3
；(2)已知$5 + \sqrt{11}$的小数部分为$a$，$5 - \sqrt{11}$的小数部分为$b$，求$a + b$的值；
(3)已知$a$是$\sqrt{10}$的整数部分，$b$是它的小数部分，求$a + (b + 3)^2$的值。
答案
19. (1)$\sqrt{5} - 2$ 3
(2)1
(3)13
(2)1
(3)13
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先通过“夹逼法”估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，从而得到无理数的整数部分，再用“原数-整数部分”得到小数部分，最后将所求的整数部分、小数部分代入对应式子计算即可。
具体思考路径：
(1) 先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$的取值范围，分别求出$\sqrt{5}$的小数部分$a$和$\sqrt{13}$的整数部分$b$；
(2) 先估算$\sqrt{11}$的取值范围，依次求出$5+\sqrt{11}$的小数部分$a$、$5-\sqrt{11}$的小数部分$b$，再计算$a+b$的和；
(3) 先估算$\sqrt{10}$的取值范围，得到它的整数部分$a$和小数部分$b$，再代入代数式计算结果。
【解析】
(1) $\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$a=\sqrt{5}-2$
又$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$b=3$
(2) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$
$\therefore 5+3＜5+\sqrt{11}＜5+4$，即$8＜5+\sqrt{11}＜9$
$\therefore 5+\sqrt{11}$的整数部分是8，小数部分$a=(5+\sqrt{11})-8=\sqrt{11}-3$
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，$\therefore -4＜-\sqrt{11}＜-3$
$\therefore 5-4＜5-\sqrt{11}＜5-3$，即$1＜5-\sqrt{11}＜2$
$\therefore 5-\sqrt{11}$的整数部分是1，小数部分$b=(5-\sqrt{11})-1=4-\sqrt{11}$
$\therefore a+b=(\sqrt{11}-3)+(4-\sqrt{11})=1$
(3) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
$\therefore \sqrt{10}$的整数部分$a=3$，小数部分$b=\sqrt{10}-3$
$\therefore a+(b+3)^2=3+(\sqrt{10}-3+3)^2=3+(\sqrt{10})^2=3+10=13$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-2$，$3$；(2) $1$；(3) $13$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，实数的运算
【点评】
本题考查无理数大小估算的应用，解题关键是掌握“夹逼法”估算无理数的范围，准确求出无理数的整数部分和小数部分，解题过程中要注意无理数的小数部分取值范围为$0＜$小数部分$＜1$。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先通过“夹逼法”估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，从而得到无理数的整数部分，再用“原数-整数部分”得到小数部分，最后将所求的整数部分、小数部分代入对应式子计算即可。
具体思考路径：
(1) 先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$的取值范围，分别求出$\sqrt{5}$的小数部分$a$和$\sqrt{13}$的整数部分$b$；
(2) 先估算$\sqrt{11}$的取值范围，依次求出$5+\sqrt{11}$的小数部分$a$、$5-\sqrt{11}$的小数部分$b$，再计算$a+b$的和；
(3) 先估算$\sqrt{10}$的取值范围，得到它的整数部分$a$和小数部分$b$，再代入代数式计算结果。
【解析】
(1) $\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
$\therefore \sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$a=\sqrt{5}-2$
又$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore \sqrt{13}$的整数部分$b=3$
(2) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$
$\therefore 5+3＜5+\sqrt{11}＜5+4$，即$8＜5+\sqrt{11}＜9$
$\therefore 5+\sqrt{11}$的整数部分是8，小数部分$a=(5+\sqrt{11})-8=\sqrt{11}-3$
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，$\therefore -4＜-\sqrt{11}＜-3$
$\therefore 5-4＜5-\sqrt{11}＜5-3$，即$1＜5-\sqrt{11}＜2$
$\therefore 5-\sqrt{11}$的整数部分是1，小数部分$b=(5-\sqrt{11})-1=4-\sqrt{11}$
$\therefore a+b=(\sqrt{11}-3)+(4-\sqrt{11})=1$
(3) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
$\therefore \sqrt{10}$的整数部分$a=3$，小数部分$b=\sqrt{10}-3$
$\therefore a+(b+3)^2=3+(\sqrt{10}-3+3)^2=3+(\sqrt{10})^2=3+10=13$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-2$，$3$；(2) $1$；(3) $13$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，实数的运算
【点评】
本题考查无理数大小估算的应用，解题关键是掌握“夹逼法”估算无理数的范围，准确求出无理数的整数部分和小数部分，解题过程中要注意无理数的小数部分取值范围为$0＜$小数部分$＜1$。
【难度系数】
0.7
