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16.如图所示,在$△ ABC$中,$D,E$分别为$AB,AC$的中点,$DF⊥ BC$,垂足为$F$,点$G$在$DE$的延长线上,$DG=FC$,连接$CG$.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.
答案
16.(1)证明:$\because D,E$分别为$AB,AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线.
$\therefore DE// BC.$
$\because DG=FC,$
$\therefore$四边形$DFCG$是平行四边形.
又$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFC=90°.$
$\therefore$四边形$DFCG$是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFB=90°.$
$\because ∠ B=45°,$
$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.
$\therefore BF=DF=3.$
$\because DG=FC=5,$
$\therefore BC=BF+FC=3+5=8.$
由(1)可知,$DE$是$△ ABC$的中位线,四边形$DFCG$是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4,CG=DF=3,∠ G=90°.$
$\therefore EG=DG-DE=5-4=1.$
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.$
$\because E$为$AC$的中点,
$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}.$
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线.
$\therefore DE// BC.$
$\because DG=FC,$
$\therefore$四边形$DFCG$是平行四边形.
又$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFC=90°.$
$\therefore$四边形$DFCG$是矩形.
(2)解:$\because DF⊥ BC,$
$\therefore ∠ DFB=90°.$
$\because ∠ B=45°,$
$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形.
$\therefore BF=DF=3.$
$\because DG=FC=5,$
$\therefore BC=BF+FC=3+5=8.$
由(1)可知,$DE$是$△ ABC$的中位线,四边形$DFCG$是矩形,
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4,CG=DF=3,∠ G=90°.$
$\therefore EG=DG-DE=5-4=1.$
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.$
$\because E$为$AC$的中点,
$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}.$
解析
【分析】
(1)要证明四边形DFCG是矩形，按照矩形判定的常规思路：先证该四边形是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先利用D、E是AB、AC中点的条件，结合三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，再结合已知DG=FC，可证得四边形DFCG是平行四边形；最后由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定其为矩形。
(2)求BC的长时，BC可分为BF和FC两段，FC与DG相等为已知量，只需利用∠B=45°、DF⊥BC的条件，判断出△BDF是等腰直角三角形，得到BF=DF即可求出BC；求AC的长时，因为E是AC中点，只需先求出CE的长再乘2即可，结合中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长，再利用矩形的性质得到CG的长和∠G=90°，在Rt△CEG中用勾股定理算出CE，即可得到AC的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC。
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 四边形DFCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ 四边形DFCG是矩形，
∴ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE=$\frac{1}{2}$BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴ EG=DG-DE=5-4=1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
CE=$\sqrt{CG^2+EG^2}$=$\sqrt{3^2+1^2}$=$\sqrt{10}$，
∵ E为AC的中点，
∴ AC=2CE=$2\sqrt{10}$。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，得证；
(2)BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线、平行四边形、矩形的相关性质和判定定理，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解边长，考查了逻辑推理能力和基本的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形DFCG是矩形，按照矩形判定的常规思路：先证该四边形是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先利用D、E是AB、AC中点的条件，结合三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，再结合已知DG=FC，可证得四边形DFCG是平行四边形；最后由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定其为矩形。
(2)求BC的长时，BC可分为BF和FC两段，FC与DG相等为已知量，只需利用∠B=45°、DF⊥BC的条件，判断出△BDF是等腰直角三角形，得到BF=DF即可求出BC；求AC的长时，因为E是AC中点，只需先求出CE的长再乘2即可，结合中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长，再利用矩形的性质得到CG的长和∠G=90°，在Rt△CEG中用勾股定理算出CE，即可得到AC的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC。
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 四边形DFCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ 四边形DFCG是矩形，
∴ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE=$\frac{1}{2}$BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴ EG=DG-DE=5-4=1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
CE=$\sqrt{CG^2+EG^2}$=$\sqrt{3^2+1^2}$=$\sqrt{10}$，
∵ E为AC的中点，
∴ AC=2CE=$2\sqrt{10}$。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，得证；
(2)BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线、平行四边形、矩形的相关性质和判定定理，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解边长，考查了逻辑推理能力和基本的几何计算能力。
【难度系数】
0.7
17. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号A,B,C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制了如图所示的箱线图（不完整）.
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
(1)上表中，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请你求出七年级所抽取学生成绩的第一四分位数$m_{25}$和第三四分位数$m_{75}$，并补全箱线图；
(3)求八年级所抽取学生的平均成绩$m$和离差平方和.
七年级:60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100；
八年级:70,77,79,81,88,89,91,92,93,93,95,96.
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
(1)上表中，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$；
(2)请你求出七年级所抽取学生成绩的第一四分位数$m_{25}$和第三四分位数$m_{75}$，并补全箱线图；
(3)求八年级所抽取学生的平均成绩$m$和离差平方和.
答案
17.解:(1)90 93
(2)第三四分位数$m_{75}$为$\frac{95+97}{2}=96$,第一四分位数$m_{25}$为$\frac{70+80}{2}=75$,
中位数$a=\frac{89+91}{2}=90.$
作图如下：
(3)八年级平均数：
$m=\frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}$
$=87,$
离差平方和：
$(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+$
$(88-87)^2+(89-87)^2+(91-87)^2+(92-87)^2+$
$(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2$
$=752.$
$\therefore$八年级所抽取学生的平均成绩$m$为87,离差平方和为752.
解析
【分析】
(1) 首先明确b为七年级成绩的中位数，c为八年级成绩的众数。七年级共12个有序数据，中位数取第6、7位数据的平均值；八年级出现次数最多的数据即为众数。
(2) 计算四分位数时，数据总数n=12，第一四分位数对应25%分位，位置为$12×25\%=3$，取第3、4位数据的平均值；第三四分位数对应75%分位，位置为$12×75\%=9$，取第9、10位数据的平均值，再结合最值、中位数补全箱线图即可。
(3) 平均成绩为所有成绩总和除以数据个数，离差平方和为每个数据与平均数差值的平方之和，代入数据依次计算即可。
【解析】
(1) 七年级成绩按从小到大排列共12个，中位数$b=\frac{第6个数据+第7个数据}{2}=\frac{89+91}{2}=90$；八年级成绩中93出现次数最多，故众数$c=93$。
(2) 七年级第一四分位数位置为$12×25\%=3$，因此$m_{25}=\frac{第3个数据+第4个数据}{2}=\frac{70+80}{2}=75$；
第三四分位数位置为$12×75\%=9$，因此$m_{75}=\frac{第9个数据+第10个数据}{2}=\frac{95+97}{2}=96$；
结合七年级成绩最小值60、最大值100、中位数90补全箱线图：
(3) 八年级平均成绩：
$m=\frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}=87$
离差平方和计算如下：
$\begin{aligned}&(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+(88-87)^2+(89-87)^2+\\&(91-87)^2+(92-87)^2+(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2\\=&289+100+64+36+1+4+16+25+36+36+64+81\\=&752\end{aligned}$
【答案】
(1) $90$，$93$
(2) 第一四分位数$m_{25}=75$，第三四分位数$m_{75}=96$，补全箱线图如下：
(3) 平均成绩为87，离差平方和为752
【知识点】
统计量计算，箱线图，百分位数
【点评】
本题结合科普活动的实际场景考察统计相关知识，侧重基础统计特征数的计算应用，掌握各类统计量的计算规则即可顺利解题，属于统计模块的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确b为七年级成绩的中位数，c为八年级成绩的众数。七年级共12个有序数据，中位数取第6、7位数据的平均值；八年级出现次数最多的数据即为众数。
(2) 计算四分位数时，数据总数n=12，第一四分位数对应25%分位，位置为$12×25\%=3$，取第3、4位数据的平均值；第三四分位数对应75%分位，位置为$12×75\%=9$，取第9、10位数据的平均值，再结合最值、中位数补全箱线图即可。
(3) 平均成绩为所有成绩总和除以数据个数，离差平方和为每个数据与平均数差值的平方之和，代入数据依次计算即可。
【解析】
(1) 七年级成绩按从小到大排列共12个，中位数$b=\frac{第6个数据+第7个数据}{2}=\frac{89+91}{2}=90$；八年级成绩中93出现次数最多，故众数$c=93$。
(2) 七年级第一四分位数位置为$12×25\%=3$，因此$m_{25}=\frac{第3个数据+第4个数据}{2}=\frac{70+80}{2}=75$；
第三四分位数位置为$12×75\%=9$，因此$m_{75}=\frac{第9个数据+第10个数据}{2}=\frac{95+97}{2}=96$；
结合七年级成绩最小值60、最大值100、中位数90补全箱线图：
(3) 八年级平均成绩：
$m=\frac{70+77+79+81+88+89+91+92+93+93+95+96}{12}=87$
离差平方和计算如下：
$\begin{aligned}&(70-87)^2+(77-87)^2+(79-87)^2+(81-87)^2+(88-87)^2+(89-87)^2+\\&(91-87)^2+(92-87)^2+(93-87)^2+(93-87)^2+(95-87)^2+(96-87)^2\\=&289+100+64+36+1+4+16+25+36+36+64+81\\=&752\end{aligned}$
【答案】
(1) $90$，$93$
(2) 第一四分位数$m_{25}=75$，第三四分位数$m_{75}=96$，补全箱线图如下：
(3) 平均成绩为87，离差平方和为752
【知识点】
统计量计算，箱线图，百分位数
【点评】
本题结合科普活动的实际场景考察统计相关知识，侧重基础统计特征数的计算应用，掌握各类统计量的计算规则即可顺利解题，属于统计模块的常规题型。
【难度系数】
0.7
