登录
7. 在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到$△ ABC$，后沿着BC方向平移3 cm，再描边得到$△ DEF$，连接AD. 如图，经测量发现$△ ABC$的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为（
A.16 cm
B.22 cm
C.20 cm
D.24 cm
B
）A.16 cm
B.22 cm
C.20 cm
D.24 cm
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，先将其拆分为四条边的和，再利用平移性质把未知边替换为已知的△ABC的边和平移距离，进而代入已知的△ABC周长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF
∴根据平移的性质可得：$AD=CF=3\mathrm{cm}$，$AC=DF$，$BC=EF$
四边形ABFD的周长为：
$C_{ABFD}=AB+BF+DF+AD$
又
∵$BF=BC+CF$，$DF=AC$，代入得：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BC+CF+AC+AD\\&=(AB+BC+AC)+CF+AD\end{aligned}$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=16\mathrm{cm}$，$CF=AD=3\mathrm{cm}$
∴$C_{ABFD}=16+3+3=22\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题核心是利用平移的性质将所求四边形的周长转化为已知三角形周长与两个平移距离的和，理清平移后线段的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，先将其拆分为四条边的和，再利用平移性质把未知边替换为已知的△ABC的边和平移距离，进而代入已知的△ABC周长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF
∴根据平移的性质可得：$AD=CF=3\mathrm{cm}$，$AC=DF$，$BC=EF$
四边形ABFD的周长为：
$C_{ABFD}=AB+BF+DF+AD$
又
∵$BF=BC+CF$，$DF=AC$，代入得：
$\begin{aligned}C_{ABFD}&=AB+BC+CF+AC+AD\\&=(AB+BC+AC)+CF+AD\end{aligned}$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=16\mathrm{cm}$，$CF=AD=3\mathrm{cm}$
∴$C_{ABFD}=16+3+3=22\mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题核心是利用平移的性质将所求四边形的周长转化为已知三角形周长与两个平移距离的和，理清平移后线段的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.某商场销售A,B,C,D四种商品,它们的单价依次是50元、30元、20元、10元.某天这四种商品销售数量的百分比如所示,则这天销售的四种商品的平均单价是 （
A.19.5元
B.21.5元
C.22.5元
D.27.55元
C
）A.19.5元
B.21.5元
C.22.5元
D.27.55元
答案
8.C
解析
【分析】
本题要求四种商品的平均单价，由于四种商品的销售数量占比不同，不能直接求四个单价的算术平均数，需用加权平均数的计算方法求解：将每种商品的单价乘以对应的销售数量百分比（权重），再将所得结果相加，即可得到平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，结合各商品的单价和销售占比计算：
平均单价 = $50×10\% + 30×15\% + 20×55\% + 10×20\%$
分别计算各项：
$50×10\% = 5$，$30×15\% = 4.5$，$20×55\% = 11$，$10×20\% = 2$
求和得：$5 + 4.5 + 11 + 2 = 22.5$（元）
因此平均单价为22.5元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.加权平均数计算
2.扇形统计图的应用
【点评】
本题是统计知识在实际销售场景的应用，核心是理解加权平均数中“权重”的意义，也就是各部分的占比对平均数的影响，准确代入数据计算即可得分，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题要求四种商品的平均单价，由于四种商品的销售数量占比不同，不能直接求四个单价的算术平均数，需用加权平均数的计算方法求解：将每种商品的单价乘以对应的销售数量百分比（权重），再将所得结果相加，即可得到平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，结合各商品的单价和销售占比计算：
平均单价 = $50×10\% + 30×15\% + 20×55\% + 10×20\%$
分别计算各项：
$50×10\% = 5$，$30×15\% = 4.5$，$20×55\% = 11$，$10×20\% = 2$
求和得：$5 + 4.5 + 11 + 2 = 22.5$（元）
因此平均单价为22.5元，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.加权平均数计算
2.扇形统计图的应用
【点评】
本题是统计知识在实际销售场景的应用，核心是理解加权平均数中“权重”的意义，也就是各部分的占比对平均数的影响，准确代入数据计算即可得分，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 若代数式$\frac{3}{x-1}$与$\frac{2}{x-3}$的值相等，则$x=$
7
.答案
9.7
解析
【分析】
已知两个分式的值相等，我们可以先根据题意列出分式方程，接下来按照分式方程的求解步骤解题：第一步去分母将分式方程转化为整式方程，第二步解整式方程得到未知数的值，第三步检验所得的解是否使原分式的分母不为0、是否满足原方程，最终得到正确结果。
【解析】
根据题意可列方程：$\frac{3}{x-1}=\frac{2}{x-3}$
由分式有意义的条件可知：$x-1≠0$且$x-3≠0$，即$x≠1$且$x≠3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-3)$去分母得：
$3(x-3)=2(x-1)$
展开括号：$3x-9=2x-2$
移项合并同类项：$3x-2x=9-2$
解得：$x=7$
检验：将$x=7$代入原方程，左边$\frac{3}{7-1}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{7-3}=\frac{1}{2}$，左边=右边，且分母均不为0，故$x=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法；等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考察分式方程的求解步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘，求出解后务必检验，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.8
已知两个分式的值相等，我们可以先根据题意列出分式方程，接下来按照分式方程的求解步骤解题：第一步去分母将分式方程转化为整式方程，第二步解整式方程得到未知数的值，第三步检验所得的解是否使原分式的分母不为0、是否满足原方程，最终得到正确结果。
【解析】
根据题意可列方程：$\frac{3}{x-1}=\frac{2}{x-3}$
由分式有意义的条件可知：$x-1≠0$且$x-3≠0$，即$x≠1$且$x≠3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-3)$去分母得：
$3(x-3)=2(x-1)$
展开括号：$3x-9=2x-2$
移项合并同类项：$3x-2x=9-2$
解得：$x=7$
检验：将$x=7$代入原方程，左边$\frac{3}{7-1}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{7-3}=\frac{1}{2}$，左边=右边，且分母均不为0，故$x=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法；等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考察分式方程的求解步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘，求出解后务必检验，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.8
10.已知$ab=2,a+b=3$,则$a^3b+2a^2b^2+ab^3=$
18
.答案
10.18
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式ab，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可变形为$(a+b)^2$，此时所求代数式就转化为仅含ab和a+b的式子，最后代入已知条件计算即可。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查整式变形的灵活应用，解题核心是通过因式分解将待求式转化为包含已知条件的结构，无需单独求解a、b的数值，能够简化计算过程，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式ab，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可变形为$(a+b)^2$，此时所求代数式就转化为仅含ab和a+b的式子，最后代入已知条件计算即可。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查整式变形的灵活应用，解题核心是通过因式分解将待求式转化为包含已知条件的结构，无需单独求解a、b的数值，能够简化计算过程，是代数式求值类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
11.若关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{2m}{2-x}=3$的解为正实数，则实数$m$的取值范围是
$m＜6$ 且 $m≠2$
.答案
11.$m＜6$ 且 $m≠2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将分式方程转化为整式方程求出用m表示的x的表达式，再结合两个限制条件求解m的范围：一是方程的解为正实数，即x＞0；二是分式方程的分母不能为0，否则分式无意义，即x≠2。将x的表达式代入这两个条件，分别解不等式后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，统一分母：
原方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{2m}{2-x}=3$可化为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$x+m - 2m = 3(x-2)$
整理整式方程：
$x - m = 3x - 6$
移项合并同类项得：
$-2x = m - 6$
系数化为1得：
$x = \frac{6 - m}{2}$
因为方程的解为正实数，所以$x＞0$，即：
$\frac{6 - m}{2} ＞ 0$
解得：$m ＜ 6$
又因为分式分母不能为0，所以$x≠2$，即：
$\frac{6 - m}{2} ≠ 2$
解得：$6 - m ≠ 4$，即$m≠2$
综上，实数m的取值范围是$m＜6$且$m≠2$。
【答案】
$m＜6$ 且 $m≠2$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式求解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型题型，解题核心是先将分式方程化为整式方程求出参数表示的解，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，导致漏掉$m≠2$的限制，求解参数范围时需同时考虑解的要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要将分式方程转化为整式方程求出用m表示的x的表达式，再结合两个限制条件求解m的范围：一是方程的解为正实数，即x＞0；二是分式方程的分母不能为0，否则分式无意义，即x≠2。将x的表达式代入这两个条件，分别解不等式后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，统一分母：
原方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{2m}{2-x}=3$可化为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$x+m - 2m = 3(x-2)$
整理整式方程：
$x - m = 3x - 6$
移项合并同类项得：
$-2x = m - 6$
系数化为1得：
$x = \frac{6 - m}{2}$
因为方程的解为正实数，所以$x＞0$，即：
$\frac{6 - m}{2} ＞ 0$
解得：$m ＜ 6$
又因为分式分母不能为0，所以$x≠2$，即：
$\frac{6 - m}{2} ≠ 2$
解得：$6 - m ≠ 4$，即$m≠2$
综上，实数m的取值范围是$m＜6$且$m≠2$。
【答案】
$m＜6$ 且 $m≠2$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式求解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型题型，解题核心是先将分式方程化为整式方程求出参数表示的解，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，导致漏掉$m≠2$的限制，求解参数范围时需同时考虑解的要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.6
12.如图，A，B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中$l_1$和$l_2$分别表示甲、乙两人所走的路程$s$(单位：千米)与时间$t$(单位：小时)之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/时；
④乙先到达B地.
其中正确的是
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/时；
④乙先到达B地.
其中正确的是
①③④
(填序号).答案
12.①③④
解析
【分析】
这是一道结合s-t图像的行程问题，解题时先明确横坐标表示时间、纵坐标表示路程，再逐一分析每个说法：第一步看两条线的起点判断甲乙的出发时间；第二步看交点横坐标计算乙出发后追上甲的时长；第三步利用路程除以对应时间计算甲的速度；第四步分别计算甲乙走完全程的总时间，比较谁先到达B地。
【解析】
已知横坐标$t$为时间（小时），纵坐标$s$为路程（千米），$l_1$对应甲的行程，$l_2$对应乙的行程：
1. 判断①：甲从$t=0$时出发，乙从$t=1$时出发，因此乙晚出发1小时，①正确；
2. 判断②：图像交点对应$t=3$，此时乙出发的时长为$3-1=2$小时，即乙出发2小时后追上甲，②错误；
3. 判断③：甲3小时行驶了12千米，根据速度公式可得甲的速度为$\frac{12}{3}=4$千米/时，③正确；
4. 判断④：先计算乙的速度：乙2小时行驶了12千米，速度为$\frac{12}{2}=6$千米/时。总路程为20千米，甲走完全程需要的时间为$\frac{20}{4}=5$小时；乙走完全程需要的时间为$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$小时，乙到达B地的总时间为$1+\frac{10}{3}\approx4.33$小时，$4.33＜5$，因此乙先到达B地，④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
s-t图像的应用，行程问题计算
【点评】
本题核心是从一次函数图像中提取有效信息，结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间）即可求解，易错点是计算乙的相关时间时，不要忽略乙晚出发1小时的前提条件。
【难度系数】
0.7
这是一道结合s-t图像的行程问题，解题时先明确横坐标表示时间、纵坐标表示路程，再逐一分析每个说法：第一步看两条线的起点判断甲乙的出发时间；第二步看交点横坐标计算乙出发后追上甲的时长；第三步利用路程除以对应时间计算甲的速度；第四步分别计算甲乙走完全程的总时间，比较谁先到达B地。
【解析】
已知横坐标$t$为时间（小时），纵坐标$s$为路程（千米），$l_1$对应甲的行程，$l_2$对应乙的行程：
1. 判断①：甲从$t=0$时出发，乙从$t=1$时出发，因此乙晚出发1小时，①正确；
2. 判断②：图像交点对应$t=3$，此时乙出发的时长为$3-1=2$小时，即乙出发2小时后追上甲，②错误；
3. 判断③：甲3小时行驶了12千米，根据速度公式可得甲的速度为$\frac{12}{3}=4$千米/时，③正确；
4. 判断④：先计算乙的速度：乙2小时行驶了12千米，速度为$\frac{12}{2}=6$千米/时。总路程为20千米，甲走完全程需要的时间为$\frac{20}{4}=5$小时；乙走完全程需要的时间为$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$小时，乙到达B地的总时间为$1+\frac{10}{3}\approx4.33$小时，$4.33＜5$，因此乙先到达B地，④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
s-t图像的应用，行程问题计算
【点评】
本题核心是从一次函数图像中提取有效信息，结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间）即可求解，易错点是计算乙的相关时间时，不要忽略乙晚出发1小时的前提条件。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且$AE=CF$.
(1)求证：$BE // DF$；
(2)过点O作$OM ⊥ BD$，垂足为O，交DF于点M，连接BM，若$△ BFM$的周长为12，求四边形BEDF的周长.
(1)求证：$BE // DF$；
(2)过点O作$OM ⊥ BD$，垂足为O，交DF于点M，连接BM，若$△ BFM$的周长为12，求四边形BEDF的周长.
答案
13.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC,AB=DC$.
∴$∠BAE=∠DCF$.
在$△ABE$和$△CDF$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAE=∠DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴$△ABE≌△CDF(\mathrm{SAS})$.
∴$∠AEB=∠CFD$.
∴$∠BEF=∠DFE$.
∴$BE// DF$.
(2)解:由(1)知,$△ABE≌△CDF,BE// DF$,
∴$BE=DF$.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴$DO=BO$.
∵$OM⊥BD$,
∴$DM=BM$.
∵$△BFM$的周长为12，
∴$BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12$.
∴四边形BEDF的周长为24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC,AB=DC$.
∴$∠BAE=∠DCF$.
在$△ABE$和$△CDF$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAE=∠DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴$△ABE≌△CDF(\mathrm{SAS})$.
∴$∠AEB=∠CFD$.
∴$∠BEF=∠DFE$.
∴$BE// DF$.
(2)解:由(1)知,$△ABE≌△CDF,BE// DF$,
∴$BE=DF$.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴$DO=BO$.
∵$OM⊥BD$,
∴$DM=BM$.
∵$△BFM$的周长为12，
∴$BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12$.
∴四边形BEDF的周长为24.
解析
【分析】
(1) 要证明$BE// DF$，可通过证明两直线的内错角相等推导：先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到$AB=CD$、$∠ BAE=∠ DCF$，结合已知$AE=CF$证明$△ ABE≌△ CDF$，得到对应角相等后转化为内错角相等，即可证平行。
(2) 先由(1)的结论推出四边形$BEDF$是平行四边形，可得$O$是$BD$中点，结合$OM⊥ BD$可知$OM$是$BD$的垂直平分线，根据垂直平分线性质得$BM=DM$，将$△ BFM$的周长转化为$DF+BF$的长度，再利用平行四边形对边相等的性质即可求出周长。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC,AB=DC$.
∴$∠ BAE=∠ DCF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAE=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$.
∴$∠ AEB=∠ CFD$.
∴$∠ BEF=∠ DFE$.
∴$BE// DF$.
(2) 解:由(1)知,$△ ABE≌△ CDF,BE// DF$,
∴$BE=DF$.
∴四边形$BEDF$是平行四边形.
∴$DO=BO$.
∵$OM⊥ BD$,
∴$DM=BM$.
∵$△ BFM$的周长为12，
∴$BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12$.
∴四边形$BEDF$的周长为$2×(DF+BF)=2×12=24$.
【答案】
(1) 已证$BE// DF$；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用平行四边形、全等三角形、垂直平分线的性质完成角和线段的转化，其中第二问将三角形周长转化为平行四边形邻边之和是解题关键，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$BE// DF$，可通过证明两直线的内错角相等推导：先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到$AB=CD$、$∠ BAE=∠ DCF$，结合已知$AE=CF$证明$△ ABE≌△ CDF$，得到对应角相等后转化为内错角相等，即可证平行。
(2) 先由(1)的结论推出四边形$BEDF$是平行四边形，可得$O$是$BD$中点，结合$OM⊥ BD$可知$OM$是$BD$的垂直平分线，根据垂直平分线性质得$BM=DM$，将$△ BFM$的周长转化为$DF+BF$的长度，再利用平行四边形对边相等的性质即可求出周长。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC,AB=DC$.
∴$∠ BAE=∠ DCF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAE=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$.
∴$∠ AEB=∠ CFD$.
∴$∠ BEF=∠ DFE$.
∴$BE// DF$.
(2) 解:由(1)知,$△ ABE≌△ CDF,BE// DF$,
∴$BE=DF$.
∴四边形$BEDF$是平行四边形.
∴$DO=BO$.
∵$OM⊥ BD$,
∴$DM=BM$.
∵$△ BFM$的周长为12，
∴$BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12$.
∴四边形$BEDF$的周长为$2×(DF+BF)=2×12=24$.
【答案】
(1) 已证$BE// DF$；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用平行四边形、全等三角形、垂直平分线的性质完成角和线段的转化，其中第二问将三角形周长转化为平行四边形邻边之和是解题关键，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
