登录
1. 计算下面各题。
$2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$ $\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})$
$2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$ $\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})$
答案
$=2-(\frac {5}{6}+\frac {3}{6})$
$=2-\frac {8}{6}$
$=\frac {5}{6}$
$=\frac {11}{9}-\frac {6}{9}-\frac {1}{2}$
$=\frac {5}{9}-\frac {1}{2}$
$=\frac {10}{18}-\frac {9}{18}$
$=\frac {1}{18}$
$=2-\frac {8}{6}$
$=\frac {5}{6}$
$=\frac {11}{9}-\frac {6}{9}-\frac {1}{2}$
$=\frac {5}{9}-\frac {1}{2}$
$=\frac {10}{18}-\frac {9}{18}$
$=\frac {1}{18}$
解析
【分析】
第一题：这是整数连续减两个异分母分数的运算，为简便计算可利用减法运算性质（一个数连续减两个数等于这个数减这两个数的和）。先把$\frac{1}{3}$通分为分母是6的分数，计算两个分数的和，再将整数2转化为同分母分数，最后做减法运算得到结果。
第二题：这是带括号的分数加减混合运算，根据去括号法则（括号前是减号，去括号后括号内加号变减号），先去括号。先计算$\frac{11}{9}$与$\frac{2}{3}$的差（需通分），再将所得结果与$\frac{1}{2}$通分后相减，最终得出结果。
【解析】
1. 计算$2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}&=2-(\frac{5}{6}+\frac{2}{6})\\&=2-\frac{7}{6}\\&=\frac{12}{6}-\frac{7}{6}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
2. 计算$\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})$：
$\begin{aligned}\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})&=\frac{11}{9}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\\&=\frac{11}{9}-\frac{6}{9}-\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{9}-\frac{1}{2}\\&=\frac{10}{18}-\frac{9}{18}\\&=\frac{1}{18}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{6}$；$\frac{1}{18}$
【知识点】
分数加减法；减法运算性质；通分
【点评】
本题考查分数加减混合运算的基本方法，解题关键是灵活运用运算性质和去括号法则简化计算，熟练掌握通分技巧，将异分母分数转化为同分母分数后运算，注意整数与分数的转化，确保计算准确。
【难度系数】
0.6
第一题：这是整数连续减两个异分母分数的运算，为简便计算可利用减法运算性质（一个数连续减两个数等于这个数减这两个数的和）。先把$\frac{1}{3}$通分为分母是6的分数，计算两个分数的和，再将整数2转化为同分母分数，最后做减法运算得到结果。
第二题：这是带括号的分数加减混合运算，根据去括号法则（括号前是减号，去括号后括号内加号变减号），先去括号。先计算$\frac{11}{9}$与$\frac{2}{3}$的差（需通分），再将所得结果与$\frac{1}{2}$通分后相减，最终得出结果。
【解析】
1. 计算$2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}&=2-(\frac{5}{6}+\frac{2}{6})\\&=2-\frac{7}{6}\\&=\frac{12}{6}-\frac{7}{6}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
2. 计算$\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})$：
$\begin{aligned}\frac{11}{9}-(\frac{1}{2}+\frac{2}{3})&=\frac{11}{9}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\\&=\frac{11}{9}-\frac{6}{9}-\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{9}-\frac{1}{2}\\&=\frac{10}{18}-\frac{9}{18}\\&=\frac{1}{18}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{6}$；$\frac{1}{18}$
【知识点】
分数加减法；减法运算性质；通分
【点评】
本题考查分数加减混合运算的基本方法，解题关键是灵活运用运算性质和去括号法则简化计算，熟练掌握通分技巧，将异分母分数转化为同分母分数后运算，注意整数与分数的转化，确保计算准确。
【难度系数】
0.6
2. 解方程。
$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$ $x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$
$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$ $x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$
答案
解：$\frac {3}{10}+x=\frac {1}{2}$
$ x=\frac {1}{2}-\frac {3}{10}$
$ x=\frac {5}{10}-\frac {3}{10}$
$ x=\frac {2}{10}$
$ x=\frac {1}{5}$
解：$x-\frac {2}{3}=\frac {1}{2}$
$ x=\frac {1}{2}+\frac {2}{3}$
$ x=\frac {3}{6}+\frac {4}{6}$
$ x=\frac {7}{6}$
$ x=\frac {1}{2}-\frac {3}{10}$
$ x=\frac {5}{10}-\frac {3}{10}$
$ x=\frac {2}{10}$
$ x=\frac {1}{5}$
解：$x-\frac {2}{3}=\frac {1}{2}$
$ x=\frac {1}{2}+\frac {2}{3}$
$ x=\frac {3}{6}+\frac {4}{6}$
$ x=\frac {7}{6}$
解析
【分析】
对于第一个方程$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$，根据加法各部分间的关系：一个加数=和-另一个加数，可推导出$x=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$，再通过通分将异分母分数转化为同分母分数进行减法运算，最后约分得到最简结果。
对于第二个方程$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$，根据减法各部分间的关系：被减数=差+减数，可推导出$x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，同样需要通分将异分母分数转化为同分母分数进行加法运算，得出最终结果。
【解析】
解：$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{5}{10}-\frac{3}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{2}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{5}$
解：$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{7}{6}$
【答案】
$x=\frac{1}{5}$；$x=\frac{7}{6}$
【知识点】
1. 解方程
2. 异分母分数加减法
【点评】
本题属于基础分数解方程题型，解题核心是利用加减法各部分关系或等式基本性质变形方程，关键步骤是异分母分数加减时的通分操作，计算后需注意将结果化为最简分数，提升计算准确性。
【难度系数】
0.8
对于第一个方程$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$，根据加法各部分间的关系：一个加数=和-另一个加数，可推导出$x=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$，再通过通分将异分母分数转化为同分母分数进行减法运算，最后约分得到最简结果。
对于第二个方程$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$，根据减法各部分间的关系：被减数=差+减数，可推导出$x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，同样需要通分将异分母分数转化为同分母分数进行加法运算，得出最终结果。
【解析】
解：$\frac{3}{10}+x=\frac{1}{2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{5}{10}-\frac{3}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{2}{10}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{5}$
解：$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{7}{6}$
【答案】
$x=\frac{1}{5}$；$x=\frac{7}{6}$
【知识点】
1. 解方程
2. 异分母分数加减法
【点评】
本题属于基础分数解方程题型，解题核心是利用加减法各部分关系或等式基本性质变形方程，关键步骤是异分母分数加减时的通分操作，计算后需注意将结果化为最简分数，提升计算准确性。
【难度系数】
0.8
3. 地球上共有四大洋，其中太平洋约占世界海洋面积的$\frac{1}{2}$，北冰洋约占世界海洋面积的$\frac{1}{25}$，其余两大洋约占世界海洋面积的几分之几？
答案
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{25}=\frac{23}{50}$
答：其余两大洋约占世界海洋面积的$\frac{23}{50}$。
答：其余两大洋约占世界海洋面积的$\frac{23}{50}$。
解析
【分析】
首先把世界海洋总面积看作单位“1”，要求其余两大洋约占世界海洋面积的几分之几，只需用单位“1”依次减去太平洋和北冰洋占世界海洋面积的分率即可。解题思路是：整体占比 - 已知部分占比 = 剩余部分占比，计算时需注意异分母分数相减要先通分，再进行运算。
【解析】
解：将世界海洋总面积看作单位“1”。
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{25}$
$=\frac{50}{50} - \frac{25}{50} - \frac{2}{50}$
$=\frac{50 - 25 - 2}{50}$
$=\frac{23}{50}$
答：其余两大洋约占世界海洋面积的$\frac{23}{50}$。
【答案】
$\frac{23}{50}$
【知识点】
1. 分数加减法应用
2. 单位“1”的确定
3. 异分母分数加减法
【点评】
本题考查分数减法在实际问题中的应用，核心是找准单位“1”，掌握异分母分数通分后再计算的方法，题目难度较低，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先把世界海洋总面积看作单位“1”，要求其余两大洋约占世界海洋面积的几分之几，只需用单位“1”依次减去太平洋和北冰洋占世界海洋面积的分率即可。解题思路是：整体占比 - 已知部分占比 = 剩余部分占比，计算时需注意异分母分数相减要先通分，再进行运算。
【解析】
解：将世界海洋总面积看作单位“1”。
$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{25}$
$=\frac{50}{50} - \frac{25}{50} - \frac{2}{50}$
$=\frac{50 - 25 - 2}{50}$
$=\frac{23}{50}$
答：其余两大洋约占世界海洋面积的$\frac{23}{50}$。
【答案】
$\frac{23}{50}$
【知识点】
1. 分数加减法应用
2. 单位“1”的确定
3. 异分母分数加减法
【点评】
本题考查分数减法在实际问题中的应用，核心是找准单位“1”，掌握异分母分数通分后再计算的方法，题目难度较低，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 算一算，比一比，填一填。
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=$
(1)上面三组算式中，每个分数的分子都是(
(2)直接写出下面算式的得数。
$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=$
(3)$m$和$n$的公因数只有$1$，且$m＜ n$。
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=$(
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=$
$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=$
(1)上面三组算式中，每个分数的分子都是(
1
)，每道算式中两个分数的分母的最大公因数都是(1
)；每道加法算式中，结果的分子都等于分母的(和
)，结果的分母都等于分母的(积
)；每道减法算式中，结果的分子都等于分母的(差
)，结果的分母都等于分母的(积
)。(2)直接写出下面算式的得数。
$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=$
(3)$m$和$n$的公因数只有$1$，且$m＜ n$。
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=$(
$\frac{m + n}{mn}$
)，$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=$($\frac{n - m}{mn}$
)。答案
$\frac{11}{28}$
$\frac{13}{40}$
$\frac{11}{18}$
$\frac{3}{28}$
$\frac{3}{40}$
$\frac{7}{18}$
1
1
和
积
差
积
$\frac{11}{24}$
$\frac{12}{35}$
$\frac{15}{56}$
$\frac{5}{24}$
$\frac{2}{35}$
$\frac{1}{56}$
$\frac{m+n}{mn}$
$\frac{n-m}{mn}$
$\frac{13}{40}$
$\frac{11}{18}$
$\frac{3}{28}$
$\frac{3}{40}$
$\frac{7}{18}$
1
1
和
积
差
积
$\frac{11}{24}$
$\frac{12}{35}$
$\frac{15}{56}$
$\frac{5}{24}$
$\frac{2}{35}$
$\frac{1}{56}$
$\frac{m+n}{mn}$
$\frac{n-m}{mn}$
解析
【分析】
首先我们需要先计算出题目中给出的6道分数加减法算式的结果，再通过观察算式和结果的特点总结规律，最后利用规律解决后续问题。
1. 计算异分母分数加减法时，先通分（由于每组算式的分母互质，最小公倍数就是分母的乘积），再按照同分母分数加减法的规则计算，即分子相加减，分母不变。
2. 观察第一组问题时，分别从分数的分子、分母的最大公因数，以及加减法结果的分子、分母与原分母的关系入手，提炼共性规律。
3. 第二问直接运用总结的规律快速计算，第三问结合m和n互质的条件，用字母表示出通用规律。
【解析】
1. 计算题目给出的算式：
加法算式：
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{7}{28}+\frac{4}{28}=\frac{7+4}{28}=\frac{11}{28}$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8}{40}+\frac{5}{40}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{9}{18}+\frac{2}{18}=\frac{9+2}{18}=\frac{11}{18}$
减法算式：
$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=\frac{7}{28}-\frac{4}{28}=\frac{7-4}{28}=\frac{3}{28}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{8}{40}-\frac{5}{40}=\frac{8-5}{40}=\frac{3}{40}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{9}{18}-\frac{2}{18}=\frac{9-2}{18}=\frac{7}{18}$
2. 分析规律：
(1) 观察可知：每个分数的分子都是1；4和7、5和8、2和9的最大公因数都是1；加法结果的分子等于原分母的和，分母等于原分母的积；减法结果的分子等于原分母的差，分母等于原分母的积。
3. 运用规律计算：
(2) $\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{3+8}{3×8}=\frac{11}{24}$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{5+7}{5×7}=\frac{12}{35}$
$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{7+8}{7×8}=\frac{15}{56}$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=\frac{8-3}{3×8}=\frac{5}{24}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{5×7}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=\frac{8-7}{7×8}=\frac{1}{56}$
4. 用字母表示规律：
(3) 因为m和n公因数只有1（互质），所以：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}$
【答案】
$\frac{11}{28}$；$\frac{13}{40}$；$\frac{11}{18}$；$\frac{3}{28}$；$\frac{3}{40}$；$\frac{7}{18}$
(1) 1；1；和；积；差；积
(2) $\frac{11}{24}$；$\frac{12}{35}$；$\frac{15}{56}$；$\frac{5}{24}$；$\frac{2}{35}$；$\frac{1}{56}$
(3) $\frac{m+n}{mn}$；$\frac{n-m}{mn}$
【知识点】
异分母分数加减法；互质数性质；分数运算规律
【点评】
本题通过先计算、再观察、后总结的流程，引导学生掌握分子为1、分母互质的分数加减法的简便计算方法，既巩固了异分母分数加减法的基础计算能力，又培养了归纳总结和规律应用的思维能力。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先计算出题目中给出的6道分数加减法算式的结果，再通过观察算式和结果的特点总结规律，最后利用规律解决后续问题。
1. 计算异分母分数加减法时，先通分（由于每组算式的分母互质，最小公倍数就是分母的乘积），再按照同分母分数加减法的规则计算，即分子相加减，分母不变。
2. 观察第一组问题时，分别从分数的分子、分母的最大公因数，以及加减法结果的分子、分母与原分母的关系入手，提炼共性规律。
3. 第二问直接运用总结的规律快速计算，第三问结合m和n互质的条件，用字母表示出通用规律。
【解析】
1. 计算题目给出的算式：
加法算式：
$\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{7}{28}+\frac{4}{28}=\frac{7+4}{28}=\frac{11}{28}$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8}{40}+\frac{5}{40}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{9}{18}+\frac{2}{18}=\frac{9+2}{18}=\frac{11}{18}$
减法算式：
$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=\frac{7}{28}-\frac{4}{28}=\frac{7-4}{28}=\frac{3}{28}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}=\frac{8}{40}-\frac{5}{40}=\frac{8-5}{40}=\frac{3}{40}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{9}{18}-\frac{2}{18}=\frac{9-2}{18}=\frac{7}{18}$
2. 分析规律：
(1) 观察可知：每个分数的分子都是1；4和7、5和8、2和9的最大公因数都是1；加法结果的分子等于原分母的和，分母等于原分母的积；减法结果的分子等于原分母的差，分母等于原分母的积。
3. 运用规律计算：
(2) $\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{3+8}{3×8}=\frac{11}{24}$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{5+7}{5×7}=\frac{12}{35}$
$\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{7+8}{7×8}=\frac{15}{56}$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{8}=\frac{8-3}{3×8}=\frac{5}{24}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{5×7}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=\frac{8-7}{7×8}=\frac{1}{56}$
4. 用字母表示规律：
(3) 因为m和n公因数只有1（互质），所以：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{m+n}{mn}$
$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}$
【答案】
$\frac{11}{28}$；$\frac{13}{40}$；$\frac{11}{18}$；$\frac{3}{28}$；$\frac{3}{40}$；$\frac{7}{18}$
(1) 1；1；和；积；差；积
(2) $\frac{11}{24}$；$\frac{12}{35}$；$\frac{15}{56}$；$\frac{5}{24}$；$\frac{2}{35}$；$\frac{1}{56}$
(3) $\frac{m+n}{mn}$；$\frac{n-m}{mn}$
【知识点】
异分母分数加减法；互质数性质；分数运算规律
【点评】
本题通过先计算、再观察、后总结的流程，引导学生掌握分子为1、分母互质的分数加减法的简便计算方法，既巩固了异分母分数加减法的基础计算能力，又培养了归纳总结和规律应用的思维能力。
【难度系数】
0.6
5. 一瓶牛奶连瓶重$1$千克，喝了一半后连瓶重$\frac{4}{7}$千克。牛奶瓶重多少千克？
答案
$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}（$千克）
$ \frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}（$千克）
$ 1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}（$千克）
答：牛奶瓶重$\frac{1}{7}$千克。
$ \frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}（$千克）
$ 1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}（$千克）
答：牛奶瓶重$\frac{1}{7}$千克。
解析
【分析】
首先要明确：喝掉一半牛奶后，减少的重量就是一半牛奶的重量，因为牛奶瓶的重量始终不变。所以第一步用原来连瓶的总重量减去喝了一半后连瓶的重量，算出一半牛奶的重量；接着把一半牛奶的重量相加（或乘2），得到整瓶牛奶的重量；最后用总重量减去整瓶牛奶的重量，就能得到牛奶瓶的重量。
【解析】
1. 计算一半牛奶的重量：
$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$（千克）
2. 计算整瓶牛奶的重量：
$\frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$（千克）
3. 计算牛奶瓶的重量：
$1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$（千克）
答：牛奶瓶重$\frac{1}{7}$千克。
【答案】
$\frac{1}{7}$千克
【知识点】
分数加减法应用、整体与部分关系
【点评】
本题主要考查分数加减法在实际问题中的应用，核心是理清“总重量=牛奶重量+瓶重”的等量关系，通过前后重量差求出部分牛奶的重量，进而推导出瓶重，需要学生区分不变量（瓶重）和变量（牛奶重量），具备基本的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
首先要明确：喝掉一半牛奶后，减少的重量就是一半牛奶的重量，因为牛奶瓶的重量始终不变。所以第一步用原来连瓶的总重量减去喝了一半后连瓶的重量，算出一半牛奶的重量；接着把一半牛奶的重量相加（或乘2），得到整瓶牛奶的重量；最后用总重量减去整瓶牛奶的重量，就能得到牛奶瓶的重量。
【解析】
1. 计算一半牛奶的重量：
$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$（千克）
2. 计算整瓶牛奶的重量：
$\frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$（千克）
3. 计算牛奶瓶的重量：
$1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$（千克）
答：牛奶瓶重$\frac{1}{7}$千克。
【答案】
$\frac{1}{7}$千克
【知识点】
分数加减法应用、整体与部分关系
【点评】
本题主要考查分数加减法在实际问题中的应用，核心是理清“总重量=牛奶重量+瓶重”的等量关系，通过前后重量差求出部分牛奶的重量，进而推导出瓶重，需要学生区分不变量（瓶重）和变量（牛奶重量），具备基本的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
6. 《庄子·天下》篇中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也截取不完。根据上述内容将下表填写完整。
我发现：
我发现：
发现略,言之有理即可
答案
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{7}{8}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{16}$
$\frac{15}{16}$
$\frac{1}{16}$
$\frac{1}{32}$
$\frac{31}{32}$
$\frac{1}{32}$
n
$\frac{1}{2^n}$
$1-\frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{2^n}$
剩下的长度与当天截取的长度
相等，随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0。
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{7}{8}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{1}{16}$
$\frac{15}{16}$
$\frac{1}{16}$
$\frac{1}{32}$
$\frac{31}{32}$
$\frac{1}{32}$
n
$\frac{1}{2^n}$
$1-\frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{2^n}$
剩下的长度与当天截取的长度
相等，随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0。
解析
【分析】
首先理解“日取其半”的核心含义：每天截取的是当前木棍剩余长度的一半，对应全长的$\frac{1}{2^n}$（$n$为天数）。我们可以按天数逐步推导：
1. 第1天：直接截取全长的$\frac{1}{2}$，据此计算累计截取长度和剩余长度；
2. 后续每天：截取的长度是前一天剩余长度的一半，也就是全长的$\frac{1}{2^n}$，累计截取长度为前几天截取长度之和，剩余长度用1减去累计截取长度即可；
3. 最后观察所有数据，总结出天数与截取长度、剩余长度的规律。
【解析】
1. 第1天：
截取了全长的：$\frac{1}{2}$
共截取了全长的：$\frac{1}{2}$
还剩下全长的：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
2. 第2天：
截取了全长的：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
共截取了全长的：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
还剩下全长的：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
3. 第3天：
截取了全长的：$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
共截取了全长的：$\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
还剩下全长的：$1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$
4. 第4天：
截取了全长的：$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$
共截取了全长的：$\frac{7}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
还剩下全长的：$1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$
5. 第5天：
截取了全长的：$\frac{1}{16}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$
共截取了全长的：$\frac{15}{16}+\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
还剩下全长的：$1-\frac{31}{32}=\frac{1}{32}$
6. 第$n$天：
根据前面的规律推导，截取了全长的$\frac{1}{2^n}$；
共截取了全长的：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$；
还剩下全长的：$\frac{1}{2^n}$。
最后观察数据可总结规律：剩下的长度与当天截取的长度相等，随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0。
【答案】
|天数|截取了全长的|共截取了全长的|还剩下全长的|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第1天|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|
|第2天|$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$|$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$|
|第3天|$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$|$\boldsymbol{\frac{7}{8}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$|
|第4天|$\boldsymbol{\frac{1}{16}}$|$\boldsymbol{\frac{15}{16}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{16}}$|
|第5天|$\boldsymbol{\frac{1}{32}}$|$\boldsymbol{\frac{31}{32}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{32}}$|
|...|$\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$|$\boldsymbol{1-\frac{1}{2^n}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$|
我发现：$\boldsymbol{剩下的长度与当天截取的长度相等}$，$\boldsymbol{随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0}$。
【知识点】
分数加减法，规律探索
【点评】
本题结合古代数学典故，将分数运算与规律探索结合，既考查了分数的基本运算能力，又引导学生体会极限的数学思想，需要从具体天数的计算中归纳出通用规律。
【难度系数】
0.6
首先理解“日取其半”的核心含义：每天截取的是当前木棍剩余长度的一半，对应全长的$\frac{1}{2^n}$（$n$为天数）。我们可以按天数逐步推导：
1. 第1天：直接截取全长的$\frac{1}{2}$，据此计算累计截取长度和剩余长度；
2. 后续每天：截取的长度是前一天剩余长度的一半，也就是全长的$\frac{1}{2^n}$，累计截取长度为前几天截取长度之和，剩余长度用1减去累计截取长度即可；
3. 最后观察所有数据，总结出天数与截取长度、剩余长度的规律。
【解析】
1. 第1天：
截取了全长的：$\frac{1}{2}$
共截取了全长的：$\frac{1}{2}$
还剩下全长的：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
2. 第2天：
截取了全长的：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
共截取了全长的：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
还剩下全长的：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
3. 第3天：
截取了全长的：$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
共截取了全长的：$\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
还剩下全长的：$1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$
4. 第4天：
截取了全长的：$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$
共截取了全长的：$\frac{7}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
还剩下全长的：$1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$
5. 第5天：
截取了全长的：$\frac{1}{16}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$
共截取了全长的：$\frac{15}{16}+\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
还剩下全长的：$1-\frac{31}{32}=\frac{1}{32}$
6. 第$n$天：
根据前面的规律推导，截取了全长的$\frac{1}{2^n}$；
共截取了全长的：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$；
还剩下全长的：$\frac{1}{2^n}$。
最后观察数据可总结规律：剩下的长度与当天截取的长度相等，随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0。
【答案】
|天数|截取了全长的|共截取了全长的|还剩下全长的|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第1天|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$|
|第2天|$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$|$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$|
|第3天|$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$|$\boldsymbol{\frac{7}{8}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$|
|第4天|$\boldsymbol{\frac{1}{16}}$|$\boldsymbol{\frac{15}{16}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{16}}$|
|第5天|$\boldsymbol{\frac{1}{32}}$|$\boldsymbol{\frac{31}{32}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{32}}$|
|...|$\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$|$\boldsymbol{1-\frac{1}{2^n}}$|$\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$|
我发现：$\boldsymbol{剩下的长度与当天截取的长度相等}$，$\boldsymbol{随着天数增加，截取的长度和剩下的长度越来越趋近于0，但永远不会为0}$。
【知识点】
分数加减法，规律探索
【点评】
本题结合古代数学典故，将分数运算与规律探索结合，既考查了分数的基本运算能力，又引导学生体会极限的数学思想，需要从具体天数的计算中归纳出通用规律。
【难度系数】
0.6
