1. 计算下面各题。
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{5} $
$ \frac{2}{3} + \frac{7}{10} + \frac{4}{3} $
$ \frac{5}{6} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} $
$ \frac{9}{10} - \frac{2}{5} - \frac{1}{2} $

$​=\frac {40}{60}+\frac {15}{60}-\frac {48}{60}​$
$​=\frac {40+15-48}{60}​$
$​=\frac {7}{60}​$
$​=\frac {2}{3}+\frac {4}{3}+\frac {7}{10}​$
$​=\frac {6}{3}+\frac {7}{10}​$
$​=2\frac {7}{10}​$
$​=\frac {5}{6}+\frac {2}{6}-\frac {3}{4}​$
$​=\frac {7}{6}-\frac {3}{4}​$
$​=\frac {14}{12}-\frac {9}{12}​$
$​=\frac {5}{12}​$
$​=\frac {9}{10}-\frac {4}{10}-\frac {5}{10}​$
$​=\frac {9-4-5}{10}​$
​=0​

【分析】
这四道题均为分数加减混合运算，解题思路如下：
1. 异分母分数加减运算的核心是先通分，找到各分母的最小公倍数，将异分母分数转化为同分母分数后，再按照同分母分数加减法法则（分子相加减，分母不变）计算，最后化简结果。
2. 观察式子特征，优先运用运算定律简化计算，如第二题中$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{3}$是同分母分数，利用加法交换律先相加，可减少计算量。
3. 计算时分步进行，先处理同分母部分或完成通分后再计算，避免计算错误。
【解析】
1. 计算$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{5}$
通分，3、4、5的最小公倍数是60：
$=\frac{40}{60}+\frac{15}{60}-\frac{48}{60}$
分子相加减：
$=\frac{40+15-48}{60}$
计算分子得：
$=\frac{7}{60}$
2. 计算$\frac{2}{3} + \frac{7}{10} + \frac{4}{3}$
利用加法交换律交换$\frac{7}{10}$和$\frac{4}{3}$的位置：
$=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{7}{10}$
同分母分数相加：
$=\frac{6}{3}+\frac{7}{10}$
化简$\frac{6}{3}$为2：
$=2\frac{7}{10}$
3. 计算$\frac{5}{6} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3}$
先将$\frac{1}{3}$转化为$\frac{2}{6}$，同分母先相加：
$=\frac{5}{6}+\frac{2}{6}-\frac{3}{4}$
计算同分母部分：
$=\frac{7}{6}-\frac{3}{4}$
通分，6和4的最小公倍数是12：
$=\frac{14}{12}-\frac{9}{12}$
分子相减：
$=\frac{5}{12}$
4. 计算$\frac{9}{10} - \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$
将$\frac{2}{5}$转化为$\frac{4}{10}$，$\frac{1}{2}$转化为$\frac{5}{10}$：
$=\frac{9}{10}-\frac{4}{10}-\frac{5}{10}$
分子相加减：
$=\frac{9-4-5}{10}$
计算得：
$=0$
【答案】
$\frac{7}{60}$；$2\frac{7}{10}$；$\frac{5}{12}$；0
【知识点】
异分母分数加减法，加法交换律，分数通分
【点评】
本题考查分数加减混合运算的基础计算，解题关键是熟练掌握异分母分数的通分方法，同时学会观察式子特征，运用运算定律简化计算流程，计算时需注意步骤清晰，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8

2. 学校食堂运来$$ \frac{7}{12} $$吨大米，吃掉$$ \frac{1}{4} $$吨后，又买来$$ \frac{3}{5} $$吨，现在食堂有多少吨大米？

$\frac{7}{12}-\frac{1}{4}+\frac{3}{5}=\frac{14}{15}($吨)
答：现在食堂有$\frac{14}{15}$吨大米。

【分析】
要计算现在食堂有多少吨大米，需理清数量关系：现在的大米吨数 = 原来的大米吨数 - 吃掉的大米吨数 + 又买来的大米吨数。首先用运来的大米吨数减去吃掉的吨数，得到剩下的大米吨数，再加上新买的吨数即可。计算过程中要注意异分母分数相加减时，需先通分转化为同分母分数再计算。
【解析】
综合算式计算：
$\frac{7}{12} - \frac{1}{4} + \frac{3}{5}$
$=\frac{7}{12} - \frac{3}{12} + \frac{3}{5}$
$=\frac{4}{12} + \frac{3}{5}$
$=\frac{1}{3} + \frac{3}{5}$
$=\frac{5}{15} + \frac{9}{15}$
$=\frac{14}{15}$（吨）
答：现在食堂有$\frac{14}{15}$吨大米。
【答案】
$\frac{14}{15}$吨
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数应用题
【点评】
本题是基础的分数加减法应用题，核心是准确梳理数量关系，掌握异分母分数通分、约分的计算方法，计算时需细心，避免通分错误。
【难度系数】
0.8

$3. $小红看一本书，第一天看了全书的$ \frac{2}{9} ，$第二天比第一天多看了全书的$ \frac{1}{6} 。$　　
$（1）$两天一共看了全书的$ \frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )} 。$　　
$（2）$这本书还剩下$ \frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )} $没有看。　　

11
18
7
18

【分析】
要解决这两个问题，可按以下思路思考：
1. 第（1）问：要求两天一共看的占比，需先求出第二天看的占全书的分率。已知第一天看了全书的$\frac{2}{9}$，第二天比第一天多看全书的$\frac{1}{6}$，用第一天的分率加上$\frac{1}{6}$得到第二天的分率，再将两天的分率相加即可。
2. 第（2）问：把全书总页数看作单位“1”，用单位“1”减去两天一共看的分率，就能得到剩余没看的分率。计算时注意异分母分数需先通分，转化为同分母分数再运算。
【解析】
（1）计算第二天看的分率：
$\frac{2}{9} + \frac{1}{6} = \frac{4}{18} + \frac{3}{18} = \frac{7}{18}$
计算两天一共看的分率：
$\frac{2}{9} + \frac{7}{18} = \frac{4}{18} + \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$
（2）计算剩余没看的分率：
$1 - \frac{11}{18} = \frac{18}{18} - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$
【答案】
（1）$\frac{11}{18}$；（2）$\frac{7}{18}$
（对应数值为11、18、7、18）
【知识点】
分数加减法运算、单位“1”的应用
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，核心是找准单位“1”，掌握异分母分数通分的方法，计算时需细心准确，属于基础题型，能帮助学生巩固分数运算的基本技能。
【难度系数】
0.8

$4. $一根绳子全长$ \frac{5}{6} $米。第一次用去$ \frac{1}{4} $米，第二次用去$ \frac{1}{8} $米，这根绳子还剩多少米$？$　　

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{11}{24}($米)
答：这根绳子还剩$\frac{11}{24}$米。

【分析】
这是一道分数减法的实际应用题，解题思路是根据“剩余长度=绳子总长度-第一次用去的长度-第二次用去的长度”来计算。首先明确已知条件：绳子全长$\frac{5}{6}$米，第一次用去$\frac{1}{4}$米，第二次用去$\frac{1}{8}$米。由于是异分母分数相减，需要先找到分母6、4、8的最小公倍数（24），将各分数通分转化为同分母分数后，再依次进行减法运算。
【解析】
根据剩余长度的计算公式，列出算式：
$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$
先对各分数通分，分母6、4、8的最小公倍数是24：
$\frac{5}{6} = \frac{5×4}{6×4} = \frac{20}{24}$，$\frac{1}{4} = \frac{1×6}{4×6} = \frac{6}{24}$，$\frac{1}{8} = \frac{1×3}{8×3} = \frac{3}{24}$
代入算式计算：
$\frac{20}{24} - \frac{6}{24} - \frac{3}{24} = \frac{20 - 6 - 3}{24} = \frac{11}{24}$（米）
答：这根绳子还剩$\frac{11}{24}$米。
【答案】
$\frac{11}{24}$米
【知识点】
1. 异分母分数减法
2. 分数应用题数量关系
【点评】
本题主要考查异分母分数减法的运算及实际应用，解题关键是掌握异分母分数通分的方法，准确运用“剩余量=总量-各次消耗量”的数量关系进行计算，计算过程中需注意通分的准确性和减法运算的细心程度。
【难度系数】
0.8

5. 一个等腰三角形，其中两条边的长度分别为$$ \frac{1}{3} $$米和$$ \frac{1}{6} $$米，这个等腰三角形的周长是多少米？

$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}($米)
答：这个等腰三角形的周长是$\frac{5}{6}$米。

【分析】
这道题需要结合等腰三角形的性质和三角形三边关系来求解。首先，等腰三角形有两条边长度相等，所以第三条边可能是$\frac{1}{3}$米或$\frac{1}{6}$米。接下来要根据“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，判断哪种情况能构成三角形：
1. 假设第三条边是$\frac{1}{6}$米，此时三边为$\frac{1}{6}$米、$\frac{1}{6}$米、$\frac{1}{3}$米，计算$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，两边之和等于第三边，不满足三边关系，这种情况不成立；
2. 假设第三条边是$\frac{1}{3}$米，此时三边为$\frac{1}{3}$米、$\frac{1}{3}$米、$\frac{1}{6}$米，验证$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}＞\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}＞\frac{1}{6}$，满足三边关系，这种情况成立。最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 分析等腰三角形的腰长可能性：
情况一：若腰长为$\frac{1}{6}$米，则三边长度为$\frac{1}{6}$米、$\frac{1}{6}$米、$\frac{1}{3}$米。
因为$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，所以该情况无法构成三角形，舍去。
情况二：若腰长为$\frac{1}{3}$米，则三边长度为$\frac{1}{3}$米、$\frac{1}{3}$米、$\frac{1}{6}$米。
验证：$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}＞\frac{1}{6}$，满足三边关系，可以构成三角形。
2. 计算周长：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$（米）
答：这个等腰三角形的周长是$\frac{5}{6}$米。
【答案】
$\frac{5}{6}$米
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分数加法运算
【点评】
本题的关键是利用三角形三边关系排除不符合条件的腰长，避免直接默认某条边为腰而导致错误。解题时需全面考虑所有可能情况，再通过三边关系验证，培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.6

$6. $因为$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{2 × 3} = \frac{1}{6} ，$所以$ \frac{1}{6} = \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ，$这个逆向的过程在数学中叫作$“$裂项$”，$在这里是指把一个分数分裂，写成两个分数相减的形式。　　
$（1）$请尝试将下列分数裂项。　　
$ \frac{1}{12} = \frac{1}{(\ \ \ \ \ \ ) × 4} = \frac{1}{(\ \ \ \ \ \ )} - \frac{1}{4} $　　
$ \frac{1}{20} = \frac{1}{(\ \ \ \ \ \ ) × (\ \ \ \ \ \ )} = \frac{1}{(\ \ \ \ \ \ )} - \frac{1}{(\ \ \ \ \ \ )} $　　
$（2）$计算$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} 。$　　

3
3
4
5
4
5
$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$
$ =\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}+\frac{1}{7×8}$
$ =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$
$ =\frac{1}{2}-\frac{1}{8}$
$ =\frac{3}{8}$

【分析】
（1）首先观察题目给出的裂项示例，可总结出规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。对于$\frac{1}{12}$，因为$12=3×4$，符合$n(n+1)$的形式（$n=3$），所以可拆分为$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；对于$\frac{1}{20}$，$20=4×5$，对应$n=4$，因此可拆分为$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$。
（2）计算多个此类分数相加时，先将每个分数按照裂项规律拆成两个分数相减的形式，此时中间的分数会相互抵消，仅剩下首尾两项，最后计算这两项的差就能得到结果。
【解析】
（1）根据裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$：
因为$12=3×4$，所以$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
因为$20=4×5$，所以$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$。
（2）计算$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$：
$\begin{aligned}&\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\\=&\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}+\frac{1}{7×8}\\=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\\=&\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\\=&\frac{4}{8}-\frac{1}{8}\\=&\frac{3}{8}\end{aligned}$
【答案】
（1）3；3；4；5；4；5
（2）$\frac{3}{8}$
【知识点】
分数裂项相消；分数简便运算
【点评】
本题重点考查分数裂项相消法的应用，需要先通过已知示例归纳裂项规律，再利用规律将复杂的分数加法转化为简单的分数减法，通过抵消中间项简化计算，既锻炼了学生的观察归纳能力，也强化了简便运算的技巧。
【难度系数】
0.7