12. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 是各边上的点，且 $AE = BF = CG = DH$，连结 $AF$，$BG$，$CH$，$DE$ 分别相交于点 $M$，$N$，$K$，$I$.求证：四边形 $MNKI$ 是正方形.

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB=BC=CD=DA$，$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDA=∠ DAB=90°$。
∵ $AE=BF=CG=DH$，
∴ $AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$，即 $BE=CF=DG=AH$。
1. 证明四边形 $MNKI$ 是矩形：
在 $△ ABF$ 和 $△ BCG$ 中，
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABF=∠ BCG \\BF=CG\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ BCG$（SAS），
∴ $∠ BAF=∠ CBG$。
∵ $∠ BAF+∠ AFB=90°$，
∴ $∠ CBG+∠ AFB=90°$，
∴ $∠ BMF=180°-(∠ CBG+∠ AFB)=90°$，即 $∠ IMN=90°$。
同理可证 $△ BCG ≌ △ CDH$，$△ CDH ≌ △ DAE$，$△ DAE ≌ △ ABF$，
可得 $∠ BNC=∠ CKD=∠ DIA=90°$，
∴ 四边形 $MNKI$ 的四个内角均为 $90°$，
∴ 四边形 $MNKI$ 是矩形。
2. 证明矩形 $MNKI$ 的一组邻边相等：
在 $△ AIE$ 和 $△ BMF$ 中，
$\begin{cases}∠ AIE=∠ BMF=90° \\∠ IAE=∠ MBF \\AE=BF\end{cases}$
∴ $△ AIE ≌ △ BMF$（AAS），
∴ $AI=BM$。
在 $△ ABM$ 和 $△ BCN$ 中，
$\begin{cases}∠ BAM=∠ CBN \\∠ AMB=∠ BNC=90° \\AB=BC\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ BCN$（AAS），
∴ $AM=BN$。
∵ $IM=AM-AI$，$MK=BN-BM$，且 $AI=BM$，$AM=BN$，
∴ $IM=MK$。
∵ 四边形 $MNKI$ 是矩形，且 $IM=MK$，
∴ 四边形 $MNKI$ 是正方形。

13. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，对角线 $BD$ 平分$∠ ABC$，$P$ 是 $BD$ 上一点，过点 $P$ 作 $PM⊥ AD$，$PN⊥ CD$，垂足分别为 $M$，$N$.
(1) 求证：$∠ ADB=∠ CDB$.
(2) 当$∠ ADC=$时，四边形 $MPND$ 是正方形，并说明理由.

13. (1)证明:$\because$对角线$BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,
在$△ ABD$和$△ CBD$中,
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ADB=∠ CDB.$
(2)$90°$ 理由略