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1. 如图所示，$□ ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$, 点 $E, F$ 分别为 $OD, OB$ 的中点。求证：$CE // AF$。
答案
证明:连接AE,CF,
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OA = OC, OB = OD.
∵ E,F分别为OD,OB的中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}OD$, OF = $\frac{1}{2}OB$,
∴ OE = OF,
∴ 四边形AECF是平行四边形,
∴ CE//AF。
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OA = OC, OB = OD.
∵ E,F分别为OD,OB的中点,
∴ OE = $\frac{1}{2}OD$, OF = $\frac{1}{2}OB$,
∴ OE = OF,
∴ 四边形AECF是平行四边形,
∴ CE//AF。
解析
【分析】
要证明CE // AF，可借助平行四边形对边平行的性质，考虑证明CE和AF所在的四边形是平行四边形。首先已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC、OB=OD；再结合E、F分别是OD、OB的中点，可推出OE=OF，此时四边形AECF的对角线互相平分，即可判定它为平行四边形，进而得到CE // AF的结论，解题时先作辅助线连接AE、CF，再逐步推导即可。【解析】证明：连接AE，CF，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ E，F分别为OD，OB的中点，
∴$ OE = \frac{1}{2}OD$，$OF = \frac{1}{2}OB$，
∴ OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ CE// AF。【答案】证明:连接AE,CF,
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OA = OC, OB = OD.
∵ E,F分别为OD,OB的中点,
∴$ OE = \frac{1}{2}OD, OF = \frac{1}{2}OB,$
∴ OE = OF,
∴ 四边形AECF是平行四边形,
∴ CE//AF。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题关键是通过构造辅助线得到待证线段所在的四边形，再结合平行四边形的性质与判定定理完成推导，熟练掌握平行四边形对角线相关的性质和判定即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要证明CE // AF，可借助平行四边形对边平行的性质，考虑证明CE和AF所在的四边形是平行四边形。首先已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC、OB=OD；再结合E、F分别是OD、OB的中点，可推出OE=OF，此时四边形AECF的对角线互相平分，即可判定它为平行四边形，进而得到CE // AF的结论，解题时先作辅助线连接AE、CF，再逐步推导即可。【解析】证明：连接AE，CF，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ E，F分别为OD，OB的中点，
∴$ OE = \frac{1}{2}OD$，$OF = \frac{1}{2}OB$，
∴ OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ CE// AF。【答案】证明:连接AE,CF,
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OA = OC, OB = OD.
∵ E,F分别为OD,OB的中点,
∴$ OE = \frac{1}{2}OD, OF = \frac{1}{2}OB,$
∴ OE = OF,
∴ 四边形AECF是平行四边形,
∴ CE//AF。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，解题关键是通过构造辅助线得到待证线段所在的四边形，再结合平行四边形的性质与判定定理完成推导，熟练掌握平行四边形对角线相关的性质和判定即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=AB,AB⊥AC,求∠B的度数。
答案
解:设∠CAD = x°,
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴ AD//BC, AB = CD, ∠B = ∠BCD,
∴ ∠CAD = ∠ACB = x°,
∵ AB = AD,
∴ AD = CD,
∴ ∠ACD = ∠CAD = x°,
∴ ∠B = ∠BCD = 2x°。在△ABC中,AB⊥AC,
∴ ∠ACB + ∠B = 90°,
∴ x + 2x = 90,解得x = 30,
∴ ∠B = 2×30° = 60°。
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴ AD//BC, AB = CD, ∠B = ∠BCD,
∴ ∠CAD = ∠ACB = x°,
∵ AB = AD,
∴ AD = CD,
∴ ∠ACD = ∠CAD = x°,
∴ ∠B = ∠BCD = 2x°。在△ABC中,AB⊥AC,
∴ ∠ACB + ∠B = 90°,
∴ x + 2x = 90,解得x = 30,
∴ ∠B = 2×30° = 60°。
解析
【分析】
我们可以通过设未知数表示角度，结合特殊几何图形的性质建立等量关系求解：首先利用等腰梯形的性质得到边、角的基础关系，结合AD平行BC的条件得到内错角相等；再结合AD=AB的条件推导出△ACD为等腰三角形，得到对应角相等，即可用含未知数的式子表示∠B；最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解，就能得到∠B的度数。
【解析】
解：设∠CAD = x°，
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ AD//BC，AB = CD，∠B = ∠BCD，
∵ AD//BC，
∴ ∠CAD = ∠ACB = x°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ AD = AB，
∴ AD = CD，
∴ ∠ACD = ∠CAD = x°（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 2x°，即∠B = 2x°，
在Rt△ABC中，AB⊥AC，即∠BAC=90°，
∴ ∠ACB + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
代入得：x + 2x = 90，
解得x = 30，
∴ ∠B = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合了多个特殊几何图形的性质，渗透了几何解题中的方程思想，解题关键是梳理清楚图形中边与角的等量关系，准确建立方程求解，能够锻炼对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数表示角度，结合特殊几何图形的性质建立等量关系求解：首先利用等腰梯形的性质得到边、角的基础关系，结合AD平行BC的条件得到内错角相等；再结合AD=AB的条件推导出△ACD为等腰三角形，得到对应角相等，即可用含未知数的式子表示∠B；最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解，就能得到∠B的度数。
【解析】
解：设∠CAD = x°，
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ AD//BC，AB = CD，∠B = ∠BCD，
∵ AD//BC，
∴ ∠CAD = ∠ACB = x°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ AD = AB，
∴ AD = CD，
∴ ∠ACD = ∠CAD = x°（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 2x°，即∠B = 2x°，
在Rt△ABC中，AB⊥AC，即∠BAC=90°，
∴ ∠ACB + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
代入得：x + 2x = 90，
解得x = 30，
∴ ∠B = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合了多个特殊几何图形的性质，渗透了几何解题中的方程思想，解题关键是梳理清楚图形中边与角的等量关系，准确建立方程求解，能够锻炼对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图所示，在$□ ABCD$中，点$E,F$在对角线$AC$上，且$AE = CF$。求证：
(1) $DE = BF$；
(2) 四边形$DEBF$是平行四边形。
(1) $DE = BF$；
(2) 四边形$DEBF$是平行四边形。
答案
证明:(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//CB,AD = CB,
∴ ∠DAE = ∠BCF。在△ADE 和△CBF 中,
$\begin{cases} AD = CB, \\ ∠DAE = ∠BCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
(2)由(1)可得△ADE≌△CBF,
∴ ∠ADE = ∠CBF。
∵ ∠DEF = ∠DAE + ∠ADE, ∠BFE = ∠BCF + ∠CBF,
∴ ∠DEF = ∠BFE,
∴ DE//BF。又
∵ DE = BF,
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//CB,AD = CB,
∴ ∠DAE = ∠BCF。在△ADE 和△CBF 中,
$\begin{cases} AD = CB, \\ ∠DAE = ∠BCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
(2)由(1)可得△ADE≌△CBF,
∴ ∠ADE = ∠CBF。
∵ ∠DEF = ∠DAE + ∠ADE, ∠BFE = ∠BCF + ∠CBF,
∴ ∠DEF = ∠BFE,
∴ DE//BF。又
∵ DE = BF,
∴ 四边形DEBF是平行四边形。
解析
【分析】
(1) 要证明线段$DE=BF$，可通过证明两线段所在的三角形全等求解。已知四边形$ABCD$是平行四边形，可推出$AD$与$BC$平行且相等，进而得到一组内错角$∠ DAE=∠ BCF$，结合题干给出的$AE=CF$，即可用SAS判定$△ ADE≌△ CBF$，由全等三角形对应边相等得到$DE=BF$。
(2) 要证明四边形$DEBF$是平行四边形，已经得到一组对边$DE=BF$，只需证明这组对边平行即可。可利用三角形外角的性质，结合全等三角形的对应角相等，推出$∠ DEF=∠ BFE$，得到$DE// BF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// CB,AD=CB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases} AD = CB, \\ ∠ DAE = ∠ BCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE = BF$。
(2) 由(1)可得$△ ADE≌△ CBF$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CBF$。
$\because ∠ DEF=∠ DAE+∠ ADE$，$∠ BFE=∠ BCF+∠ CBF$，
$\therefore ∠ DEF=∠ BFE$，
$\therefore DE// BF$。
又$\because DE=BF$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是平行四边形。
【答案】
证明过程见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行四边形相关证明的基础典型题，将平行四边形的性质、判定与全等三角形的知识结合考查，解题时需明确证明目标，逐步推导边角关系，理清逻辑链即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明线段$DE=BF$，可通过证明两线段所在的三角形全等求解。已知四边形$ABCD$是平行四边形，可推出$AD$与$BC$平行且相等，进而得到一组内错角$∠ DAE=∠ BCF$，结合题干给出的$AE=CF$，即可用SAS判定$△ ADE≌△ CBF$，由全等三角形对应边相等得到$DE=BF$。
(2) 要证明四边形$DEBF$是平行四边形，已经得到一组对边$DE=BF$，只需证明这组对边平行即可。可利用三角形外角的性质，结合全等三角形的对应角相等，推出$∠ DEF=∠ BFE$，得到$DE// BF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// CB,AD=CB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases} AD = CB, \\ ∠ DAE = ∠ BCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE = BF$。
(2) 由(1)可得$△ ADE≌△ CBF$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CBF$。
$\because ∠ DEF=∠ DAE+∠ ADE$，$∠ BFE=∠ BCF+∠ CBF$，
$\therefore ∠ DEF=∠ BFE$，
$\therefore DE// BF$。
又$\because DE=BF$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是平行四边形。
【答案】
证明过程见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是平行四边形相关证明的基础典型题，将平行四边形的性质、判定与全等三角形的知识结合考查，解题时需明确证明目标，逐步推导边角关系，理清逻辑链即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
