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4. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,M是AD的中点,E是线段AB上一动点(可以运动到点A和点B),连接EM并延长交线段CD的延长线于点F。
(1)求证:AE=DF;
(2)若EM=3,∠FEA=45°,过点M作MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状,并求点F到AB的距离。
(1)求证:AE=DF;
(2)若EM=3,∠FEA=45°,过点M作MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状,并求点F到AB的距离。
答案
解:(1)证明:
∵ M是AD的中点,
∴ AM = DM。
∵ 在□ABCD中,AB//CD,
∴ ∠A = ∠FDM。
∵ ∠AME = ∠DMF,
∴ △AME≌△DMF(ASA),
∴ AE = DF。
(2)△GEF为等腰三角形。点F到AB的距离是$3\sqrt{2}$。
∵ M是AD的中点,
∴ AM = DM。
∵ 在□ABCD中,AB//CD,
∴ ∠A = ∠FDM。
∵ ∠AME = ∠DMF,
∴ △AME≌△DMF(ASA),
∴ AE = DF。
(2)△GEF为等腰三角形。点F到AB的距离是$3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证AE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用中点性质得到AM=DM，再结合平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，加上对顶角相等，即可用ASA判定△AME≌△DMF，从而得到对应边AE=DF。
(2) 判断△GEF的形状时，先由(1)的全等结论得EM=FM，结合MG⊥EF，可知MG是EF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得GE=GF，即可确定三角形形状；求点F到AB的距离时，先求出EF的总长度，再结合∠FEA=45°构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可计算出距离。
【解析】
(1) 证明：
∵ M是AD的中点，
∴ AM = DM。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠A = ∠FDM。
在△AME和△DMF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠FDM \\AM = DM \\∠AME = ∠DMF\end{array} $
∴ △AME≌△DMF（ASA），
∴ AE = DF。
(2) ① 判断△GEF的形状：
由(1)的全等结论可得EM = FM，即M为EF的中点，
∵ MG⊥EF，
∴ MG是线段EF的垂直平分线，
∴ GE = GF，
∴ △GEF是等腰三角形。
② 求点F到AB的距离：
过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于点H，FH即为点F到AB的距离。
∵ EM=3，EM=FM，
∴ EF = EM + FM = 6。
在Rt△EFH中，∠H=90°，∠FEA=45°，
∴ ∠EFH=45°，即△EFH为等腰直角三角形，FH=EH，
由勾股定理得$FH^2 + EH^2 = EF^2$，代入得$2FH^2 = 6^2$，
解得$FH=3\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) △GEF为等腰三角形，点F到AB的距离是$3\sqrt{2}$。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础图形的性质与计算，解题的关键是通过全等三角形得到相等线段，再结合垂直平分线、特殊直角三角形的性质逐步推导，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证AE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用中点性质得到AM=DM，再结合平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，加上对顶角相等，即可用ASA判定△AME≌△DMF，从而得到对应边AE=DF。
(2) 判断△GEF的形状时，先由(1)的全等结论得EM=FM，结合MG⊥EF，可知MG是EF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得GE=GF，即可确定三角形形状；求点F到AB的距离时，先求出EF的总长度，再结合∠FEA=45°构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可计算出距离。
【解析】
(1) 证明：
∵ M是AD的中点，
∴ AM = DM。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠A = ∠FDM。
在△AME和△DMF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠FDM \\AM = DM \\∠AME = ∠DMF\end{array} $
∴ △AME≌△DMF（ASA），
∴ AE = DF。
(2) ① 判断△GEF的形状：
由(1)的全等结论可得EM = FM，即M为EF的中点，
∵ MG⊥EF，
∴ MG是线段EF的垂直平分线，
∴ GE = GF，
∴ △GEF是等腰三角形。
② 求点F到AB的距离：
过点F作FH⊥AB，交BA的延长线于点H，FH即为点F到AB的距离。
∵ EM=3，EM=FM，
∴ EF = EM + FM = 6。
在Rt△EFH中，∠H=90°，∠FEA=45°，
∴ ∠EFH=45°，即△EFH为等腰直角三角形，FH=EH，
由勾股定理得$FH^2 + EH^2 = EF^2$，代入得$2FH^2 = 6^2$，
解得$FH=3\sqrt{2}$（长度为正，舍去负解）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) △GEF为等腰三角形，点F到AB的距离是$3\sqrt{2}$。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础图形的性质与计算，解题的关键是通过全等三角形得到相等线段，再结合垂直平分线、特殊直角三角形的性质逐步推导，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
5. 如图，等边三角形ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使$CF=\frac{1}{2}BC$，连接DE，CD，EF。
（1）请判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）求EF的长。
（1）请判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）求EF的长。
答案
解:(1)四边形CDEF为平行四边形。理由:
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE//CB, DE = $\frac{1}{2}BC$,
∴ DE//CF。
∵ CF = $\frac{1}{2}BC$,
∴ DE = CF,
∴ 四边形CDEF为平行四边形。
(2)
∵ 四边形CDEF为平行四边形,
∴ CD = EF。
∵ D为AB的中点,三角形ABC为等边三角形,AB = BC = 4,
∴ CD ⊥ AB, BD = 2,
∴ EF = CD = $\sqrt{BC^2 - BD^2} = 2\sqrt{3}$。
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE//CB, DE = $\frac{1}{2}BC$,
∴ DE//CF。
∵ CF = $\frac{1}{2}BC$,
∴ DE = CF,
∴ 四边形CDEF为平行四边形。
(2)
∵ 四边形CDEF为平行四边形,
∴ CD = EF。
∵ D为AB的中点,三角形ABC为等边三角形,AB = BC = 4,
∴ CD ⊥ AB, BD = 2,
∴ EF = CD = $\sqrt{BC^2 - BD^2} = 2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
（1）判断四边形形状时，先观察到D、E是AB、AC的中点，优先考虑三角形中位线定理，可得DE与BC平行且等于BC的一半；再结合已知CF=$\frac{1}{2}$BC，可推出DE与CF平行且相等，根据平行四边形的判定定理即可得出四边形的形状。（2）求EF的长度时，利用平行四边形对边相等的性质，将EF转化为CD的长度；再根据等边三角形三线合一的性质，可知CD是等边三角形AB边上的高，最后用勾股定理计算CD的长度即可得到EF的长。
【解析】
（1）四边形CDEF是平行四边形，理由如下：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//CB，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ DE//CF，
又
∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ DE=CF，
∴ 四边形CDEF是平行四边形。
（2）
∵ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ EF=CD，
∵ △ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴ CD⊥AB，$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△BCD中，BC=4，BD=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴ $EF=CD=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）四边形CDEF为平行四边形，理由见解析；（2）EF的长为$2\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形中位线定理得到边的平行与数量关系，结合平行四边形的判定和等边三角形的性质完成线段长度的转化，计算时熟练运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断四边形形状时，先观察到D、E是AB、AC的中点，优先考虑三角形中位线定理，可得DE与BC平行且等于BC的一半；再结合已知CF=$\frac{1}{2}$BC，可推出DE与CF平行且相等，根据平行四边形的判定定理即可得出四边形的形状。（2）求EF的长度时，利用平行四边形对边相等的性质，将EF转化为CD的长度；再根据等边三角形三线合一的性质，可知CD是等边三角形AB边上的高，最后用勾股定理计算CD的长度即可得到EF的长。
【解析】
（1）四边形CDEF是平行四边形，理由如下：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//CB，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ DE//CF，
又
∵ $CF=\frac{1}{2}BC$，
∴ DE=CF，
∴ 四边形CDEF是平行四边形。
（2）
∵ 四边形CDEF是平行四边形，
∴ EF=CD，
∵ △ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴ CD⊥AB，$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△BCD中，BC=4，BD=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∴ $EF=CD=2\sqrt{3}$。
【答案】
（1）四边形CDEF为平行四边形，理由见解析；（2）EF的长为$2\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是灵活运用三角形中位线定理得到边的平行与数量关系，结合平行四边形的判定和等边三角形的性质完成线段长度的转化，计算时熟练运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
