登录
二、填空题
7.如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为
7.如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为
14
。答案
7.14
解析
【分析】
要计算△OCD的周长，需要先求出它的三条边OC、OD、CD的长度。我们可以利用平行四边形的性质来求这三条边：首先平行四边形的对边相等，可得CD和AB长度相等；其次平行四边形的对角线互相平分，可得OC是AC的一半，OD是BD的一半，最后把三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=5（平行四边形对边相等）
$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$（平行四边形对角线互相平分）
∴△OCD的周长$=OC+OD+CD=4+5+5=14$
【答案】
14
【知识点】
平行四边形对边相等，平行四边形对角线互相平分，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查平行四边形性质的直接应用，解题关键是熟记平行四边形的相关性质，将已知线段长度转化为所求三角形的边长即可求解。
【难度系数】
0.8
要计算△OCD的周长，需要先求出它的三条边OC、OD、CD的长度。我们可以利用平行四边形的性质来求这三条边：首先平行四边形的对边相等，可得CD和AB长度相等；其次平行四边形的对角线互相平分，可得OC是AC的一半，OD是BD的一半，最后把三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=5（平行四边形对边相等）
$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5$（平行四边形对角线互相平分）
∴△OCD的周长$=OC+OD+CD=4+5+5=14$
【答案】
14
【知识点】
平行四边形对边相等，平行四边形对角线互相平分，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查平行四边形性质的直接应用，解题关键是熟记平行四边形的相关性质，将已知线段长度转化为所求三角形的边长即可求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图所示,在$□ ABCD$中,点E在CD的延长线上,$AE// BD,EC=4$,则AB的长是
2
。答案
8.2
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的数量和位置关系，再结合AE//BD的条件，可判定四边形ABDE是平行四边形，进而推导出AB与DE相等，最终得到EC与AB的倍数关系，代入EC的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∵点E在CD的延长线上
∴AB//DE
又
∵AE//BD
∴四边形ABDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴AB=DE
∴CD=DE，即D为CE的中点
∴EC=CD+DE=2AB
已知EC=4，代入得2AB=4，解得AB=2
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础综合题，解题的核心是通过两组对边分别平行判断出ABDE为平行四边形，进而建立已知线段EC和所求线段AB的数量关系，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的数量和位置关系，再结合AE//BD的条件，可判定四边形ABDE是平行四边形，进而推导出AB与DE相等，最终得到EC与AB的倍数关系，代入EC的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∵点E在CD的延长线上
∴AB//DE
又
∵AE//BD
∴四边形ABDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴AB=DE
∴CD=DE，即D为CE的中点
∴EC=CD+DE=2AB
已知EC=4，代入得2AB=4，解得AB=2
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的基础综合题，解题的核心是通过两组对边分别平行判断出ABDE为平行四边形，进而建立已知线段EC和所求线段AB的数量关系，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
9.若$□ ABCD$的面积为30，$BC=5$，则边$AD$与$BC$间的距离为
6
。答案
9.6
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质分析：平行四边形对边互相平行，因此AD与BC是一组平行对边，二者之间的距离就是BC边对应的高。再回忆平行四边形的面积公式：面积=底×对应底边上的高，已知面积和底BC的长度，将数值代入公式即可求出对应的高，也就是AD与BC之间的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD与BC之间的距离就是BC边上的高，设该高为$ h $
已知平行四边形$ ABCD $的面积$ S=30 $，底$ BC=5 $
根据平行四边形面积公式$ S=\mathrm{底}×\mathrm{高} $，可得：
$ S = BC × h $
代入数值：$ 30 = 5 × h $
解得$ h = 30 ÷ 5 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形相关性质和面积公式的应用，解题核心是明确平行线间的距离与平行四边形对应底边上高的对应关系，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合平行四边形的性质分析：平行四边形对边互相平行，因此AD与BC是一组平行对边，二者之间的距离就是BC边对应的高。再回忆平行四边形的面积公式：面积=底×对应底边上的高，已知面积和底BC的长度，将数值代入公式即可求出对应的高，也就是AD与BC之间的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD与BC之间的距离就是BC边上的高，设该高为$ h $
已知平行四边形$ ABCD $的面积$ S=30 $，底$ BC=5 $
根据平行四边形面积公式$ S=\mathrm{底}×\mathrm{高} $，可得：
$ S = BC × h $
代入数值：$ 30 = 5 × h $
解得$ h = 30 ÷ 5 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行四边形相关性质和面积公式的应用，解题核心是明确平行线间的距离与平行四边形对应底边上高的对应关系，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.如图所示，AB//CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是
1
。答案
10.1
解析
【分析】
本题是涉及平行线与中点的几何求长问题，解题思路可按以下步骤展开：首先，遇到夹在两条平行线间的中点类问题，可通过构造全等三角形转化线段长度：连接DE并延长交AB于点G，利用平行线的内错角相等、E是AC中点得到的边相等、对顶角相等，证明△CDE和△AGE全等，即可将CD的长度转化为AG的长度，同时得到E是DG的中点；其次，结合F是BD中点的条件，可知EF是△DGB的中位线，根据三角形中位线等于对应底边一半的性质，求出GB的长度即可算出EF的长。
【解析】
解：连接DE并延长，交AB于点G。
∵AB//CD，
∴∠C=∠GAE（两直线平行，内错角相等）
∵E是AC的中点，
∴CE=AE
在△CDE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠GAE \\CE=AE \\∠CED=∠AEG（对顶角相等）\end{array} $
∴△CDE≌△AGE（ASA）
∴CD=AG=3，DE=EG，即E为DG的中点
又
∵F是BD的中点，
∴EF是△DGB的中位线
∴$EF=\frac{1}{2}GB$
∵GB=AB-AG=5-3=2
∴$EF=\frac{1}{2}×2=1$
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是中点类几何题的典型考法，核心是掌握中点相关的辅助线构造方法，通过构造全等三角形完成未知线段与已知线段的转化，再结合中位线定理求解，难度适中，熟练掌握全等三角形和中位线的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是涉及平行线与中点的几何求长问题，解题思路可按以下步骤展开：首先，遇到夹在两条平行线间的中点类问题，可通过构造全等三角形转化线段长度：连接DE并延长交AB于点G，利用平行线的内错角相等、E是AC中点得到的边相等、对顶角相等，证明△CDE和△AGE全等，即可将CD的长度转化为AG的长度，同时得到E是DG的中点；其次，结合F是BD中点的条件，可知EF是△DGB的中位线，根据三角形中位线等于对应底边一半的性质，求出GB的长度即可算出EF的长。
【解析】
解：连接DE并延长，交AB于点G。
∵AB//CD，
∴∠C=∠GAE（两直线平行，内错角相等）
∵E是AC的中点，
∴CE=AE
在△CDE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠GAE \\CE=AE \\∠CED=∠AEG（对顶角相等）\end{array} $
∴△CDE≌△AGE（ASA）
∴CD=AG=3，DE=EG，即E为DG的中点
又
∵F是BD的中点，
∴EF是△DGB的中位线
∴$EF=\frac{1}{2}GB$
∵GB=AB-AG=5-3=2
∴$EF=\frac{1}{2}×2=1$
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是中点类几何题的典型考法，核心是掌握中点相关的辅助线构造方法，通过构造全等三角形完成未知线段与已知线段的转化，再结合中位线定理求解，难度适中，熟练掌握全等三角形和中位线的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
善于动脑的谷超豪
谷超豪是我国著名的数学家,复旦大学教授,中国科学院院士。2010年1月11日,谷超豪院士获得2009年度国家最高科学技术奖。
他从小就喜欢动脑筋,喜欢深入思考问题,对困难问题要一探究竟。有一次,数学老师在课堂上出了一道题:一个四边形,每边边长都是1,问面积是不是1。
许多同学都肯定地回答是1,谷超豪却有不一样的看法。他解释说:因为四边形每边都是1,如果把它压扁变成一条线,这样面积就差不多没有了,所以面积不一定都是1,可以是1,也可以比1小很多。
你觉得他说的对吗?为什么?
【分析】 其实,这个问题我们可以不用四边形的知识解决,因为四边形每一条边上的高都是一条垂线段,根据垂线段最短,另一条边总是大于等于高的,所以除正方形以外,其余情况下乘积都会小于1。
谷超豪是我国著名的数学家,复旦大学教授,中国科学院院士。2010年1月11日,谷超豪院士获得2009年度国家最高科学技术奖。
他从小就喜欢动脑筋,喜欢深入思考问题,对困难问题要一探究竟。有一次,数学老师在课堂上出了一道题:一个四边形,每边边长都是1,问面积是不是1。
许多同学都肯定地回答是1,谷超豪却有不一样的看法。他解释说:因为四边形每边都是1,如果把它压扁变成一条线,这样面积就差不多没有了,所以面积不一定都是1,可以是1,也可以比1小很多。
你觉得他说的对吗?为什么?
【分析】 其实,这个问题我们可以不用四边形的知识解决,因为四边形每一条边上的高都是一条垂线段,根据垂线段最短,另一条边总是大于等于高的,所以除正方形以外,其余情况下乘积都会小于1。
答案
解：谷超豪说的是对的。
理由如下：
四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形：
根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任意一条边上的高都是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为1×1=1；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。
如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于0°或180°，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。
因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
理由如下：
四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形：
根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任意一条边上的高都是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为1×1=1；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。
如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于0°或180°，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。
因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
解析
【分析】
解题时可以按以下思路思考：第一步，先判断四边长度均为1的四边形形状是否固定，我们知道四边形具有不稳定性，所以四边确定时形状可以变化，不只有正方形一种；第二步，思考四边形面积的影响因素，任取一边为底，底长固定为1，面积和底边上的高直接相关；第三步，结合垂线段最短的性质，底边上的高是垂线段，长度必然小于等于相邻的边长1，由此就能推出面积的取值范围，判断说法是否正确。
【解析】
谷超豪说的是对的，理由如下：
1. 四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形，四边形具有不稳定性，可以通过改变内角调整形状。
2. 根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任取一条边作为底，这条底边上的高是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。
3. 只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为$1×1=1$；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。
4. 如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于$0°$或$180°$，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。
因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
【答案】
谷超豪说的是对的。四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形：根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任意一条边上的高都是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为$1×1=1$；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于$0°$或$180°$，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
【知识点】
四边形的不稳定性；垂线段最短；四边形面积计算
【点评】
本题结合数学家的真实思考场景命题，打破了“四边相等的四边形就是正方形”的思维定式，既考查了基础几何性质的灵活应用，又引导学生养成独立思考、敢于质疑、深入探究的学习习惯。
【难度系数】
0.7
解题时可以按以下思路思考：第一步，先判断四边长度均为1的四边形形状是否固定，我们知道四边形具有不稳定性，所以四边确定时形状可以变化，不只有正方形一种；第二步，思考四边形面积的影响因素，任取一边为底，底长固定为1，面积和底边上的高直接相关；第三步，结合垂线段最短的性质，底边上的高是垂线段，长度必然小于等于相邻的边长1，由此就能推出面积的取值范围，判断说法是否正确。
【解析】
谷超豪说的是对的，理由如下：
1. 四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形，四边形具有不稳定性，可以通过改变内角调整形状。
2. 根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任取一条边作为底，这条底边上的高是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。
3. 只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为$1×1=1$；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。
4. 如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于$0°$或$180°$，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。
因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
【答案】
谷超豪说的是对的。四边边长都为1的四边形形状不固定，并不一定是边长为1的正方形：根据垂线段最短的性质，任意边长为1的四边形，任意一条边上的高都是垂线段，长度小于等于相邻的边长1。只有当该四边形是四个内角均为直角的正方形时，这条高的长度才等于1，此时四边形的面积为$1×1=1$；其余所有情况，这条高的长度都小于1，对应的四边形面积也会小于1。如果将这个四边形不断压扁，让它的内角不断趋近于$0°$或$180°$，它的高就会不断趋近于0，面积也会趋近于0，远小于1。因此四边都为1的四边形面积不一定是1，可以等于1，也可以比1小很多。
【知识点】
四边形的不稳定性；垂线段最短；四边形面积计算
【点评】
本题结合数学家的真实思考场景命题，打破了“四边相等的四边形就是正方形”的思维定式，既考查了基础几何性质的灵活应用，又引导学生养成独立思考、敢于质疑、深入探究的学习习惯。
【难度系数】
0.7
