11.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作“中点四边形”。
(1)如图1,四边形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点。求证:“中点四边形”EFGH是平行四边形。
(2)如图2,P是四边形ABCD内一点,且满足$PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD$,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想“中点四边形”EFGH的形状,并证明你的猜想。
(3)若改变(2)中的条件,使$∠APB=∠CPD=90°$,其他条件不变,直接写出“中点四边形”EFGH的形状(不必证明)。

11.(1)证明:如图1,连接BD。
因为 E,H 分别为边 AB,DA 的中点，
所以 EH//BD,EH=1/2 BD。
因为 F,G 分别为边 BC,CD 的中点，
所以 FG//BD,FG=1/2 BD，
所以 EH//FG,EH=FG，
所以“中点四边形”EFGH 是平行四边形。


(2)解:四边形 EFGH 是菱形。
理由:如图 2,连接 AC,BD。
因为∠APB=∠CPD，
所以∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD。
在△APC 和△BPD 中，
{AP=BP,
∠APC=∠BPD,
PC=PD,
所以△APC≌△BPD(SAS)，
所以 AC=BD。
因为 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点，
所以 EF=GH=1/2 AC,FG=EH=1/2 BD，
所以 EF=FG=GH=EH，
所以四边形 EFGH 是菱形。
(3)解:四边形 EFGH 是正方形。

求周长
如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$表示一块$∠ C$为直角的三角形绿地，量得两直角边$BC$和$AC$的长分别为6 m和8 m。现在计划将绿地扩充为等腰三角形，且扩充部分是以$AC$为直角边的直角三角形。请你动手试一试，在下列各图中，画出扩充成等腰三角形的各种方案的示意图，并结合图形计算扩充后的等腰三角形绿地的周长。

备用图
备用图

扩充后的等腰三角形绿地的周长为$32\ \mathrm{m}$或$(20+4\sqrt{5})\ \mathrm{m}$或$\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$。

在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{m}$，$BC=6\ \mathrm{m}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{m}$。扩充部分是以$AC$为直角边的直角三角形，故新增的$△ ACD$为$\mathrm{Rt}△$，$∠ ACD=90°$，点$D$在直线$BC$上，分三种情况计算：
1. 当$AB=AD$时：延长$BC$至$D$，使$CD=BC=6\ \mathrm{m}$，连接$AD$。此时$AD=AB=10\ \mathrm{m}$，$BD=BC+CD=12\ \mathrm{m}$，等腰$△ ABD$的周长为$10+10+12=32\ \mathrm{m}$。
2. 当$AB=BD$时：延长$BC$至$D$，使$BD=AB=10\ \mathrm{m}$，连接$AD$。此时$CD=BD-BC=4\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，等腰$△ ABD$的周长为$10+10+4\sqrt{5}=20+4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
3. 当$AD=BD$时：延长$CB$至$D$，设$CD=x\ \mathrm{m}$，则$BD=(6+x)\ \mathrm{m}$，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{64+x^2}\ \mathrm{m}$。由$AD=BD$得$\sqrt{64+x^2}=6+x$，解得$x=\frac{7}{3}$，故$AD=BD=\frac{25}{3}\ \mathrm{m}$，等腰$△ ABD$的周长为$\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+10=\frac{80}{3}\ \mathrm{m}$。