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7. 在$△ ABC$中，$AB=AC=1\ \mathrm{cm}$，当$BC=\_\_\_\_\_\_$$\mathrm{cm}$时，$△ ABC$是等边三角形。
答案
7.1
解析
【分析】
解题首先要结合等边三角形的判定规则思考：题目已经给出AB=AC=1cm，说明△ABC是腰长为1cm的等腰三角形，要让等腰三角形变为等边三角形，只需满足三边相等即可，因此底边BC的长度需要和腰长相等。
【解析】
根据等边三角形的定义：三条边长度都相等的三角形是等边三角形。
已知△ABC中AB=AC=1cm，此时△ABC为等腰三角形，若要使△ABC为等边三角形，需满足三边相等的条件，即BC=AB=AC=1cm。
【答案】
1
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查等边三角形的判定规则，理清等腰三角形和等边三角形的从属关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题首先要结合等边三角形的判定规则思考：题目已经给出AB=AC=1cm，说明△ABC是腰长为1cm的等腰三角形，要让等腰三角形变为等边三角形，只需满足三边相等即可，因此底边BC的长度需要和腰长相等。
【解析】
根据等边三角形的定义：三条边长度都相等的三角形是等边三角形。
已知△ABC中AB=AC=1cm，此时△ABC为等腰三角形，若要使△ABC为等边三角形，需满足三边相等的条件，即BC=AB=AC=1cm。
【答案】
1
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查等边三角形的判定规则，理清等腰三角形和等边三角形的从属关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8.等腰三角形的一个内角是$80°$,则它顶角的度数是
80°或20°
.答案
8.80°或20°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角，且等腰三角形两个底角相等，题目未说明80°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种是已知角为顶角，直接得到顶角度数；第二种是已知角为底角，结合三角形内角和为180°计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求，即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若80°的角是等腰三角形的顶角，则顶角的度数就是80°；
2. 若80°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
80°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只考虑80°为顶角或底角其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确等腰三角形已知内角类型的问题，务必要分类讨论后验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形的内角分为顶角和底角，且等腰三角形两个底角相等，题目未说明80°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种是已知角为顶角，直接得到顶角度数；第二种是已知角为底角，结合三角形内角和为180°计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求，即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若80°的角是等腰三角形的顶角，则顶角的度数就是80°；
2. 若80°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为80°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 80° × 2 = 20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
80°或20°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，只考虑80°为顶角或底角其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确等腰三角形已知内角类型的问题，务必要分类讨论后验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.6
9. 用反证法证明“$△ ABC$ 中，若$∠ A＞∠ B＞∠ C$，则$∠ A＞60°$”，第一步应假设________.
答案
9.$∠ A≤60°$
解析
【分析】
解答本题首先要明确反证法的基本步骤：反证法第一步是假设待证明的命题结论不成立，即假设结论的反面成立。本题要证明的结论是∠A＞60°，需要先找到该结论的否定形式，注意“大于”的反面是“小于或等于”，不能遗漏等于的情况，由此就能得到第一步的假设内容。
【解析】
反证法的第一步为反设，即假设命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。
本题需证明的结论是“∠A＞60°”，它的反面是“∠A不大于60°”，即∠A≤60°，因此第一步应假设∠A≤60°。
【答案】
∠A≤60°
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确写出结论的否定形式，需注意不等号否定时不要遗漏等于的情况，属于基础概念类考题，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确反证法的基本步骤：反证法第一步是假设待证明的命题结论不成立，即假设结论的反面成立。本题要证明的结论是∠A＞60°，需要先找到该结论的否定形式，注意“大于”的反面是“小于或等于”，不能遗漏等于的情况，由此就能得到第一步的假设内容。
【解析】
反证法的第一步为反设，即假设命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。
本题需证明的结论是“∠A＞60°”，它的反面是“∠A不大于60°”，即∠A≤60°，因此第一步应假设∠A≤60°。
【答案】
∠A≤60°
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确写出结论的否定形式，需注意不等号否定时不要遗漏等于的情况，属于基础概念类考题，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
10.已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为$\boldsymbol{\sqrt{3}}$。
答案
10.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求等边三角形的高，首先回忆等边三角形的核心性质：等边三角形的高、中线、顶角平分线三线合一，因此作出高后，会将等边三角形分成两个全等的直角三角形。其中直角三角形的斜边为等边三角形的边长，一条直角边是边长的一半，另一条直角边就是所求的高，最后用勾股定理即可算出高的长度。
【解析】
解：设等边三角形为△ABC，边长AB=BC=AC=2，过点A作AD⊥BC于点D。
根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，因此$BD=\frac{1}{2}BC=1$。
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入数值计算：$AD^2 + 1^2 = 2^2$，即$AD^2=4-1=3$
由于高为正数，因此$AD=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解，需要熟练掌握特殊三角形的性质及勾股定理的基本应用。
【难度系数】
0.8
要求等边三角形的高，首先回忆等边三角形的核心性质：等边三角形的高、中线、顶角平分线三线合一，因此作出高后，会将等边三角形分成两个全等的直角三角形。其中直角三角形的斜边为等边三角形的边长，一条直角边是边长的一半，另一条直角边就是所求的高，最后用勾股定理即可算出高的长度。
【解析】
解：设等边三角形为△ABC，边长AB=BC=AC=2，过点A作AD⊥BC于点D。
根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，因此$BD=\frac{1}{2}BC=1$。
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入数值计算：$AD^2 + 1^2 = 2^2$，即$AD^2=4-1=3$
由于高为正数，因此$AD=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解，需要熟练掌握特殊三角形的性质及勾股定理的基本应用。
【难度系数】
0.8
11.如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,$∠ BAC=50°,∠ C=70°$,BE平分$∠ ABD$交AD于点E,求$∠ AEB$的度数.
答案
11.解:在$△ ABC$中,$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$.
$\because∠ BAC=50°,∠ C=70°,\therefore∠ ABC=60°$.
$\because BE$平分$∠ ABC$,
$\therefore∠ ABE=∠ DBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°$.
$\because AD$是$BC$边上的高,$\therefore∠ ADB=90°$.
$\because∠ AEB$是$△ BDE$的外角,
$\therefore∠ AEB=∠ DBE+∠ ADB=30°+90°=120°$.
$\because∠ BAC=50°,∠ C=70°,\therefore∠ ABC=60°$.
$\because BE$平分$∠ ABC$,
$\therefore∠ ABE=∠ DBE=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°$.
$\because AD$是$BC$边上的高,$\therefore∠ ADB=90°$.
$\because∠ AEB$是$△ BDE$的外角,
$\therefore∠ AEB=∠ DBE+∠ ADB=30°+90°=120°$.
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，可按照以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中结合已知的∠BAC和∠C的度数，计算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC求出∠DBE的度数；最后结合AD是BC边上的高可得∠ADB=90°，利用三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$。
$\because∠ BAC=50°,∠ C=70°$，
$\therefore∠ ABC=180°-50°-70°=60°$。
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$。
$\because∠ AEB$是$△ BDE$的外角，
$\therefore∠ AEB=∠ DBE+∠ ADB=30°+90°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，侧重考察对三角形相关角度性质的基础应用能力，解题的关键是理清各个角之间的关联，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要求∠AEB的度数，可按照以下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，在△ABC中结合已知的∠BAC和∠C的度数，计算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，由BE平分∠ABC求出∠DBE的度数；最后结合AD是BC边上的高可得∠ADB=90°，利用三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$。
$\because∠ BAC=50°,∠ C=70°$，
$\therefore∠ ABC=180°-50°-70°=60°$。
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$。
$\because∠ AEB$是$△ BDE$的外角，
$\therefore∠ AEB=∠ DBE+∠ ADB=30°+90°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，侧重考察对三角形相关角度性质的基础应用能力，解题的关键是理清各个角之间的关联，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
12.已知:如图,在$△ ABC$中,D,E为边BC上两点,$AB=AC,AD=AE$.求证:$BD=CE$.
答案
12.证明:如图,过点$A$作$AF⊥ BC$,垂足为$F$.
$\because AB=AC,AF⊥ BC,\therefore BF=CF$.
$\because AD=AE,AF⊥ BC,D,E$为$BC$上两点,$\therefore DF=EF$,
$\therefore BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$.
解析
【分析】
要证明BD=CE，观察图形可得BD=BF-DF，CE=CF-EF，因此只需证BF=CF、DF=EF即可。已知AB=AC、AD=AE，即△ABC和△ADE均为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作底边BC的垂线AF，即可得到BF=CF、DF=EF，再利用等式的性质对两组相等线段作差，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：如图，过点$A$作$AF⊥ BC$，垂足为$F$。
$\because AB=AC,AF⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore BF=CF$。
$\because AD=AE,AF⊥ BC$，D、E为BC上两点，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore DF=EF$。
根据等式的性质，可得$BF-DF=CF-EF$，即$BD=CE$。
【答案】
证明:如图,过点$A$作$AF⊥ BC$,垂足为$F$.
$\because AB=AC,AF⊥ BC,\therefore BF=CF$.
$\because AD=AE,AF⊥ BC,D,E$为$BC$上两点,$\therefore DF=EF$,
$\therefore BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$.
【知识点】
等腰三角形三线合一，等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，作等腰三角形底边上的高是该类题型常用的辅助线作法，通过三线合一实现线段等量关系的转化，即可快速完成证明，需熟练掌握该辅助线技巧。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，观察图形可得BD=BF-DF，CE=CF-EF，因此只需证BF=CF、DF=EF即可。已知AB=AC、AD=AE，即△ABC和△ADE均为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作底边BC的垂线AF，即可得到BF=CF、DF=EF，再利用等式的性质对两组相等线段作差，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：如图，过点$A$作$AF⊥ BC$，垂足为$F$。
$\because AB=AC,AF⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore BF=CF$。
$\because AD=AE,AF⊥ BC$，D、E为BC上两点，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore DF=EF$。
根据等式的性质，可得$BF-DF=CF-EF$，即$BD=CE$。
【答案】
证明:如图,过点$A$作$AF⊥ BC$,垂足为$F$.
$\because AB=AC,AF⊥ BC,\therefore BF=CF$.
$\because AD=AE,AF⊥ BC,D,E$为$BC$上两点,$\therefore DF=EF$,
$\therefore BF-DF=CF-EF$,即$BD=CE$.
【知识点】
等腰三角形三线合一，等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，作等腰三角形底边上的高是该类题型常用的辅助线作法，通过三线合一实现线段等量关系的转化，即可快速完成证明，需熟练掌握该辅助线技巧。
【难度系数】
0.8
13.如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
C
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角与相邻内角的关系：二者是邻补角，和为180°。结合题目给出的“外角小于相邻内角”的条件，可推导得出这个相邻内角的度数范围，再根据三角形按角分类的规则，就能判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，
∴二者的度数和为180°。
设这个与外角相邻的内角度数为$ x $，则对应的外角度数为$ 180° - x $，
由题意得：$ 180° - x ＜ x $，
解不等式可得：$ x ＞ 90° $，即这个内角是钝角。
根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，可知该三角形为钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质；三角形外角的性质；钝角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是明确三角形外角与相邻内角的互补关系，结合钝角三角形的定义即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆三角形外角与相邻内角的关系：二者是邻补角，和为180°。结合题目给出的“外角小于相邻内角”的条件，可推导得出这个相邻内角的度数范围，再根据三角形按角分类的规则，就能判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，
∴二者的度数和为180°。
设这个与外角相邻的内角度数为$ x $，则对应的外角度数为$ 180° - x $，
由题意得：$ 180° - x ＜ x $，
解不等式可得：$ x ＞ 90° $，即这个内角是钝角。
根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，可知该三角形为钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
邻补角的性质；三角形外角的性质；钝角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是明确三角形外角与相邻内角的互补关系，结合钝角三角形的定义即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
14.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的平分线与四边形的外角∠CBE的平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P的度数为 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$30°$
D.$40°$
B
）A.$10°$
B.$15°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
14.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用四边形内角和为360°的性质，结合已知的∠D+∠C=210°，先求出∠DAB与∠ABC的度数和；第二步，根据邻补角的性质得到∠CBE和∠ABC的关系，再结合角平分线的定义表示出∠PAB和∠PBE；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导∠P的计算式，代入数值即可得到结果。
【解析】
已知四边形内角和为360°，在四边形ABCD中：
$∠ D + ∠ C + ∠ DAB + ∠ ABC = 360°$
将$∠ D + ∠ C = 210°$代入上式，得：
$∠ DAB + ∠ ABC = 360° - 210° = 150°$
∵$∠ ABC$和$∠ CBE$是邻补角，
∴$∠ ABC + ∠ CBE = 180°$，即$∠ CBE = 180° - ∠ ABC$
∵AP平分$∠ DAB$，BP平分$∠ CBE$
∴$∠ PAB = \frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ PBE = \frac{1}{2}∠ CBE$
又
∵$∠ PBE$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质可得：$∠ PBE = ∠ P + ∠ PAB$
整理得：
$\begin{aligned}∠ P &= ∠ PBE - ∠ PAB \\&= \frac{1}{2}∠ CBE - \frac{1}{2}∠ DAB \\&= \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC - ∠ DAB) \\&= \frac{1}{2}[180° - (∠ ABC + ∠ DAB)] \\&= \frac{1}{2}×(180° - 150°) = 15°\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
四边形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过角的和差关系、角平分线性质建立待求角和已知角的联系，熟练掌握基础几何定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：第一步，利用四边形内角和为360°的性质，结合已知的∠D+∠C=210°，先求出∠DAB与∠ABC的度数和；第二步，根据邻补角的性质得到∠CBE和∠ABC的关系，再结合角平分线的定义表示出∠PAB和∠PBE；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导∠P的计算式，代入数值即可得到结果。
【解析】
已知四边形内角和为360°，在四边形ABCD中：
$∠ D + ∠ C + ∠ DAB + ∠ ABC = 360°$
将$∠ D + ∠ C = 210°$代入上式，得：
$∠ DAB + ∠ ABC = 360° - 210° = 150°$
∵$∠ ABC$和$∠ CBE$是邻补角，
∴$∠ ABC + ∠ CBE = 180°$，即$∠ CBE = 180° - ∠ ABC$
∵AP平分$∠ DAB$，BP平分$∠ CBE$
∴$∠ PAB = \frac{1}{2}∠ DAB$，$∠ PBE = \frac{1}{2}∠ CBE$
又
∵$∠ PBE$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质可得：$∠ PBE = ∠ P + ∠ PAB$
整理得：
$\begin{aligned}∠ P &= ∠ PBE - ∠ PAB \\&= \frac{1}{2}∠ CBE - \frac{1}{2}∠ DAB \\&= \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC - ∠ DAB) \\&= \frac{1}{2}[180° - (∠ ABC + ∠ DAB)] \\&= \frac{1}{2}×(180° - 150°) = 15°\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
四边形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过角的和差关系、角平分线性质建立待求角和已知角的联系，熟练掌握基础几何定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75
15.如图，$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，将其折叠，使点$A$落在边$CB$上的点$A'$处，折痕为$CD$，则$∠ A'DB$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
15.$10°$
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再根据折叠前后对应角相等的性质，得到∠CA'D与∠A的等量关系，最后结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，代入角度数值即可计算出∠A'DB的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余可得：$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CDA ≌ △ CDA'$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
因为$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，
所以$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
直角三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是抓住折叠变换的不变量（对应角相等），结合三角形的角度关系列式求解，解题时注意不要混淆各角的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，再根据折叠前后对应角相等的性质，得到∠CA'D与∠A的等量关系，最后结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，代入角度数值即可计算出∠A'DB的度数。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据直角三角形两锐角互余可得：$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CDA ≌ △ CDA'$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
因为$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，
所以$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
直角三角形的性质；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是抓住折叠变换的不变量（对应角相等），结合三角形的角度关系列式求解，解题时注意不要混淆各角的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
16.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,四边形$CDEF$为正方形,$△ ADE≌△ AGE$,$△ BGE≌△ BFE$,则$∠ AEB$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16.$135°$
解析
【分析】
首先由△ABC是直角三角形，∠C=90°，可得∠BAC与∠ABC的和为90°。再根据已知的两对全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质，可推出∠BAE是∠BAC的一半，∠ABE是∠ABC的一半。最后在△ABE中利用三角形内角和定理，代入角度关系即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠ABC + ∠BAC = 180° - ∠C = 90°，
∵△ADE≌△AGE，
∴∠BAE = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC，
∵△BGE≌△BFE，
∴∠ABE = ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，
在△AEB中，由三角形内角和为180°得：
∠AEB = 180° - (∠BAE + ∠ABE)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC)
= 180° - $\frac{1}{2}$×90°
= 180° - 45°
= 135°
【答案】
135°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查基础几何性质的应用，解题的关键是通过全等三角形得到角的倍分关系，再结合三角形内角和计算，侧重对基础知识的理解和运用。
【难度系数】
0.7
首先由△ABC是直角三角形，∠C=90°，可得∠BAC与∠ABC的和为90°。再根据已知的两对全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质，可推出∠BAE是∠BAC的一半，∠ABE是∠ABC的一半。最后在△ABE中利用三角形内角和定理，代入角度关系即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠ABC + ∠BAC = 180° - ∠C = 90°，
∵△ADE≌△AGE，
∴∠BAE = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAC，
∵△BGE≌△BFE，
∴∠ABE = ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABC，
在△AEB中，由三角形内角和为180°得：
∠AEB = 180° - (∠BAE + ∠ABE)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC)
= 180° - $\frac{1}{2}$×90°
= 180° - 45°
= 135°
【答案】
135°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查基础几何性质的应用，解题的关键是通过全等三角形得到角的倍分关系，再结合三角形内角和计算，侧重对基础知识的理解和运用。
【难度系数】
0.7
