登录
12. 如图，点P在CD上，∠BAP与∠APD互补，∠BAE=∠CPF. 请说明：∠E=∠F.
小丽的解题过程如下，请你将她的解题过程补充完整，括号里写依据.
解：因为∠BAP与∠APD互补(已知)，
所以AB // CD(
所以∠BAP=
因为∠BAE=∠CPF(已知)，
所以∠BAP−∠BAE=
即
所以AE // FP.
所以∠E=∠F.
小丽的解题过程如下，请你将她的解题过程补充完整，括号里写依据.
解：因为∠BAP与∠APD互补(已知)，
所以AB // CD(
同旁内角互补，两直线平行
).所以∠BAP=
∠APC
(两直线平行，内错角相等
).因为∠BAE=∠CPF(已知)，
所以∠BAP−∠BAE=
∠APC
−∠CPF
(等式性质
)，即
∠EAP
=∠APF
.所以AE // FP.
所以∠E=∠F.
答案
12. 同旁内角互补，两直线平行 $∠ APC$ 两直线平行，内错角相等 $∠ APC$ $∠ CPF$ 等式性质 $∠ EAP$ $∠ APF$
解析
【分析】
解题时首先从已知的角互补的条件出发，利用平行线的判定定理先证明AB//CD，再根据平行线的性质得到对应内错角相等；接下来结合已知的∠BAE=∠CPF，利用等式的性质推导得到∠EAP=∠APF，由此可判定AE//FP，最后根据平行线的性质即可得到∠E=∠F。
【解析】
因为∠BAP与∠APD互补(已知)，
所以AB // CD(同旁内角互补，两直线平行)。
所以∠BAP= $\boldsymbol{∠APC}$ (两直线平行，内错角相等)。
因为∠BAE=∠CPF(已知)，
所以∠BAP−∠BAE= $\boldsymbol{∠APC}$ − $\boldsymbol{∠CPF}$ (等式性质)，
即 $\boldsymbol{∠EAP}$ = $\boldsymbol{∠APF}$ .
所以AE // FP（内错角相等，两直线平行）。
所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
同旁内角互补，两直线平行；$∠APC$；两直线平行，内错角相等；$∠APC$；$∠CPF$；等式性质；$∠EAP$；$∠APF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用题型，核心是理清角的关系与直线平行的对应逻辑，要求熟练掌握平行线相关定理，能根据已知条件逐步推导角的等量关系，是对几何基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的角互补的条件出发，利用平行线的判定定理先证明AB//CD，再根据平行线的性质得到对应内错角相等；接下来结合已知的∠BAE=∠CPF，利用等式的性质推导得到∠EAP=∠APF，由此可判定AE//FP，最后根据平行线的性质即可得到∠E=∠F。
【解析】
因为∠BAP与∠APD互补(已知)，
所以AB // CD(同旁内角互补，两直线平行)。
所以∠BAP= $\boldsymbol{∠APC}$ (两直线平行，内错角相等)。
因为∠BAE=∠CPF(已知)，
所以∠BAP−∠BAE= $\boldsymbol{∠APC}$ − $\boldsymbol{∠CPF}$ (等式性质)，
即 $\boldsymbol{∠EAP}$ = $\boldsymbol{∠APF}$ .
所以AE // FP（内错角相等，两直线平行）。
所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
同旁内角互补，两直线平行；$∠APC$；两直线平行，内错角相等；$∠APC$；$∠CPF$；等式性质；$∠EAP$；$∠APF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用题型，核心是理清角的关系与直线平行的对应逻辑，要求熟练掌握平行线相关定理，能根据已知条件逐步推导角的等量关系，是对几何基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.8
13. 如图，点 E 在 BC 延长线上，点 F 在 AD 上，EF 交 CD 于点 G，已知 $∠ B + ∠ BCD = 180°$，$∠ B = ∠ D$。试说明 $∠ E = ∠ DFE$。
答案
13. 由$∠ B+∠ BCD=180°$，得$AB // CD$. 所以$∠ B=∠ DCE$. 又由$∠ B=∠ D$，得$∠ DCE=∠ D$. 所以$AD // BE$. 所以$∠ E=∠ DFE$
解析
【分析】
解题时我们从已知条件出发逐步推导：第一步，已知∠B与∠BCD的和为180°，根据同旁内角互补可判定AB和CD平行；第二步，利用平行线的性质可得∠B和∠DCE相等；第三步，结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠DCE=∠D，再根据内错角相等可判定AD和BE平行；最后利用平行线的性质就能得出∠E和∠DFE相等的结论。
【解析】
解：
∵ ∠B + ∠BCD = 180°（已知）
∴ AB // CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠D（已知）
∴ ∠DCE = ∠D（等量代换）
∴ AD // BE（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠E = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）
【答案】
由$∠ B+∠ BCD=180°$，得$AB // CD$. 所以$∠ B=∠ DCE$. 又由$∠ B=∠ D$，得$∠ DCE=∠ D$. 所以$AD // BE$. 所以$∠ E=∠ DFE$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用题型，需要学生灵活切换判定和性质的使用场景，按照从已知到结论的逻辑顺序逐步推导，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时我们从已知条件出发逐步推导：第一步，已知∠B与∠BCD的和为180°，根据同旁内角互补可判定AB和CD平行；第二步，利用平行线的性质可得∠B和∠DCE相等；第三步，结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠DCE=∠D，再根据内错角相等可判定AD和BE平行；最后利用平行线的性质就能得出∠E和∠DFE相等的结论。
【解析】
解：
∵ ∠B + ∠BCD = 180°（已知）
∴ AB // CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ∠B = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠D（已知）
∴ ∠DCE = ∠D（等量代换）
∴ AD // BE（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠E = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）
【答案】
由$∠ B+∠ BCD=180°$，得$AB // CD$. 所以$∠ B=∠ DCE$. 又由$∠ B=∠ D$，得$∠ DCE=∠ D$. 所以$AD // BE$. 所以$∠ E=∠ DFE$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用题型，需要学生灵活切换判定和性质的使用场景，按照从已知到结论的逻辑顺序逐步推导，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
14. 如图，$∠ ABD$和$∠ BDC$的平分线交于点$E$，$BE$的延长线交$CD$于点$F$，$∠ 1+∠ 2=90°$。试说明：(1) $AB // CD$；(2) $∠ 2+∠ 3=90°$。
答案
14. （1）由 BF 平分 $∠ ABD$，得$∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ABD$. 同理$∠ 2=\dfrac{1}{2}∠ BDC$. 又由$∠ 1+∠ 2=90°$，得$∠ ABD+∠ BDC=180°$. 根据同旁内角互补，两直线平行，得$AB // CD$ （2）由$AB // CD$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ 3=∠ ABF$. 又因为$∠ 1=∠ ABF$，所以$∠ 1=∠ 3$. 因为$∠ 1+∠ 2= 90°$，所以$∠ 2+∠ 3= 90°$
解析
【分析】
(1) 要证明AB//CD，可通过证明同旁内角∠ABD与∠BDC互补实现。已知BE、DE分别是∠ABD和∠BDC的角平分线，结合∠1+∠2=90°，可推出∠ABD+∠BDC=180°，再根据平行线判定定理即可得证。
(2) 要证明∠2+∠3=90°，已知∠1+∠2=90°，只需证明∠1=∠3即可。首先由AB//CD可得内错角∠ABF=∠3，再结合角平分线性质∠1=∠ABF，等量代换得到∠1=∠3，代入已知等式即可得证。
【解析】
(1) 因为BF平分$∠ ABD$，所以$∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ABD$。
同理，DE平分$∠ BDC$，所以$∠ 2=\dfrac{1}{2}∠ BDC$。
已知$∠ 1+∠ 2=90°$，代入得$\dfrac{1}{2}∠ ABD+\dfrac{1}{2}∠ BDC=90°$，整理得$∠ ABD+∠ BDC=180°$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 3=∠ ABF$。
又因为BF平分$∠ ABD$，所以$∠ 1=∠ ABF$，因此$∠ 1=∠ 3$。
已知$∠ 1+∠ 2=90°$，将$∠ 1$替换为$∠ 3$，可得$∠ 2+∠ 3=90°$。
【答案】
(1) $AB// CD$；(2) $∠ 2+∠ 3=90°$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和平行线判定、性质的应用条件，找准角之间的数量关系，合理进行等量代换完成推导。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB//CD，可通过证明同旁内角∠ABD与∠BDC互补实现。已知BE、DE分别是∠ABD和∠BDC的角平分线，结合∠1+∠2=90°，可推出∠ABD+∠BDC=180°，再根据平行线判定定理即可得证。
(2) 要证明∠2+∠3=90°，已知∠1+∠2=90°，只需证明∠1=∠3即可。首先由AB//CD可得内错角∠ABF=∠3，再结合角平分线性质∠1=∠ABF，等量代换得到∠1=∠3，代入已知等式即可得证。
【解析】
(1) 因为BF平分$∠ ABD$，所以$∠ 1=\dfrac{1}{2}∠ ABD$。
同理，DE平分$∠ BDC$，所以$∠ 2=\dfrac{1}{2}∠ BDC$。
已知$∠ 1+∠ 2=90°$，代入得$\dfrac{1}{2}∠ ABD+\dfrac{1}{2}∠ BDC=90°$，整理得$∠ ABD+∠ BDC=180°$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 3=∠ ABF$。
又因为BF平分$∠ ABD$，所以$∠ 1=∠ ABF$，因此$∠ 1=∠ 3$。
已知$∠ 1+∠ 2=90°$，将$∠ 1$替换为$∠ 3$，可得$∠ 2+∠ 3=90°$。
【答案】
(1) $AB// CD$；(2) $∠ 2+∠ 3=90°$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和平行线判定、性质的应用条件，找准角之间的数量关系，合理进行等量代换完成推导。
【难度系数】
0.7
