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9. [2024·合肥四十五中期中]用配方法解下列方程时,配方错误的是 (
A.$x^2 - 8x + 5 = 0$ 化为 $(x - 4)^2 = 11$
B.$x^2 + 2x - 99 = 0$ 化为 $(x + 1)^2 = 100$
C.$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$ 化为 $(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
C
)A.$x^2 - 8x + 5 = 0$ 化为 $(x - 4)^2 = 11$
B.$x^2 + 2x - 99 = 0$ 化为 $(x + 1)^2 = 100$
C.$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$ 化为 $(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
答案
9.C
解析
【分析】
这道题要求判断配方法解方程时的错误选项，解题思路是严格按照配方法的步骤逐一验证每个选项：配方法解一元二次方程的步骤为：①若二次项系数不为1，先把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号两边同时加上一次项系数一半的平方；④左侧写成完全平方形式，计算右侧常数项结果。按该步骤逐个核对即可找出错误选项。
【解析】
我们对四个选项逐一验证：
A选项：方程$x^2 - 8x + 5 = 0$，移项得$x^2 -8x = -5$，一次项系数-8的一半的平方为$(-4)^2=16$，两边加16得$x^2 -8x +16 = -5+16$，即$(x-4)^2=11$，配方正确。
B选项：方程$x^2 + 2x -99 =0$，移项得$x^2 +2x =99$，一次项系数2的一半的平方为$1^2=1$，两边加1得$x^2 +2x +1=99+1$，即$(x+1)^2=100$，配方正确。
C选项：方程$x^2 - \frac{2}{3}x -1=0$，移项得$x^2 - \frac{2}{3}x =1$，一次项系数$-\frac{2}{3}$的一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，两边加$\frac{1}{9}$得$x^2 - \frac{2}{3}x +\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{10}{9}$，和选项中的$\frac{8}{9}$不符，配方错误。
D选项：方程$3x^2 -4x -2=0$，先把二次项系数化为1，两边除以3得$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}=0$，移项得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，一次项系数$-\frac{4}{3}$的一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边加$\frac{4}{9}$得$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$，计算右侧得$\frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，配方正确。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数不为1时需先化为1再配方，同时要保证常数项计算的准确性。
【难度系数】
0.7
这道题要求判断配方法解方程时的错误选项，解题思路是严格按照配方法的步骤逐一验证每个选项：配方法解一元二次方程的步骤为：①若二次项系数不为1，先把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号两边同时加上一次项系数一半的平方；④左侧写成完全平方形式，计算右侧常数项结果。按该步骤逐个核对即可找出错误选项。
【解析】
我们对四个选项逐一验证：
A选项：方程$x^2 - 8x + 5 = 0$，移项得$x^2 -8x = -5$，一次项系数-8的一半的平方为$(-4)^2=16$，两边加16得$x^2 -8x +16 = -5+16$，即$(x-4)^2=11$，配方正确。
B选项：方程$x^2 + 2x -99 =0$，移项得$x^2 +2x =99$，一次项系数2的一半的平方为$1^2=1$，两边加1得$x^2 +2x +1=99+1$，即$(x+1)^2=100$，配方正确。
C选项：方程$x^2 - \frac{2}{3}x -1=0$，移项得$x^2 - \frac{2}{3}x =1$，一次项系数$-\frac{2}{3}$的一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，两边加$\frac{1}{9}$得$x^2 - \frac{2}{3}x +\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{10}{9}$，和选项中的$\frac{8}{9}$不符，配方错误。
D选项：方程$3x^2 -4x -2=0$，先把二次项系数化为1，两边除以3得$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}=0$，移项得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，一次项系数$-\frac{4}{3}$的一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边加$\frac{4}{9}$得$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$，计算右侧得$\frac{10}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，配方正确。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的实际应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意二次项系数不为1时需先化为1再配方，同时要保证常数项计算的准确性。
【难度系数】
0.7
10. [2024·亳州蒙城期末]已知$x^2+y^2+2x-6y+10=0$，则$y^x=$
$\frac{1}{3}$
.答案
10.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
遇到含有两个未知数的平方项与一次项的和等于0的式子，优先考虑用配方法将左边拆成两个完全平方式的和。完全平方数具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可求出x、y的值，再代入计算$y^x$即可。
【解析】
对原式左边进行配方：
$\begin{aligned}x^2+y^2+2x-6y+10&=0\\(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)&=0\\(x+1)^2+(y-3)^2&=0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(x+1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}x+1=0\\y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$
将$x=-1$，$y=3$代入$y^x$得：
$y^x=3^{-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；负整数指数幂运算
【点评】
本题是代数求值类的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，灵活运用配方法变形，再结合非负数的性质求出未知量的值，侧重对基础方法的考察。
【难度系数】
0.7
遇到含有两个未知数的平方项与一次项的和等于0的式子，优先考虑用配方法将左边拆成两个完全平方式的和。完全平方数具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，据此可求出x、y的值，再代入计算$y^x$即可。
【解析】
对原式左边进行配方：
$\begin{aligned}x^2+y^2+2x-6y+10&=0\\(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)&=0\\(x+1)^2+(y-3)^2&=0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，$(x+1)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}x+1=0\\y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$
将$x=-1$，$y=3$代入$y^x$得：
$y^x=3^{-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；负整数指数幂运算
【点评】
本题是代数求值类的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，灵活运用配方法变形，再结合非负数的性质求出未知量的值，侧重对基础方法的考察。
【难度系数】
0.7
11. 解下列方程：
(1)$2x^2 - 8x + 3 = 0$；
(2)$2x^2 - 4x = 6 - 3x$.
(1)$2x^2 - 8x + 3 = 0$；
(2)$2x^2 - 4x = 6 - 3x$.
答案
11. 解:(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$.
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$.
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$.
解析
【分析】
解一元二次方程时需先观察方程特征选择合适的解法：
(1)题是一元二次方程的一般形式，可选用公式法求解，先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(2)题先移项合并同类项化为一般形式，观察系数特征可选用因式分解法求解，计算更简便。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 8x + 3 = 0$，这里$a=2$，$b=-8$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4×2×3 = 64 - 24 = 40 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{2}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$。
(2) 先对方程$2x^2 - 4x = 6 - 3x$移项整理，将右侧项全部移到左侧：
$2x^2 - 4x + 3x - 6 = 0$，
合并同类项得：$2x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得：$(2x + 3)(x - 2) = 0$，
因此$2x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，
分别解得：$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=2$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$；
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$。
【知识点】
一元二次方程的解法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时可根据方程的结构灵活选择解法，提升解题效率，计算过程中要注意判别式的计算、根式化简的正确性，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时需先观察方程特征选择合适的解法：
(1)题是一元二次方程的一般形式，可选用公式法求解，先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(2)题先移项合并同类项化为一般形式，观察系数特征可选用因式分解法求解，计算更简便。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 8x + 3 = 0$，这里$a=2$，$b=-8$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4×2×3 = 64 - 24 = 40 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{2}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$。
(2) 先对方程$2x^2 - 4x = 6 - 3x$移项整理，将右侧项全部移到左侧：
$2x^2 - 4x + 3x - 6 = 0$，
合并同类项得：$2x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得：$(2x + 3)(x - 2) = 0$，
因此$2x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，
分别解得：$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=2$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$；
(2)$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$。
【知识点】
一元二次方程的解法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时可根据方程的结构灵活选择解法，提升解题效率，计算过程中要注意判别式的计算、根式化简的正确性，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
12. 已知代数式 $4m^2 - 4(m + 1) + 9$.
(1)求证:不论 $m$ 取任何实数,代数式的值总是正数.
(2)当 $m$ 为何值时,此代数式的值最小? 并求出这个最小值.
(1)求证:不论 $m$ 取任何实数,代数式的值总是正数.
(2)当 $m$ 为何值时,此代数式的值最小? 并求出这个最小值.
答案
12. 解:(1)证明:$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4≥4$,$\therefore$不论$m$取任何实数,代数式$4m^2-4(m+1)+9$的值总是正数.
(2)$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,此代数式的值最小,这个最小值是4.
(2)$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,此代数式的值最小,这个最小值是4.
解析
【分析】
(1)要证明不论m取任何实数值，代数式恒为正数，可先通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的结构，再结合完全平方的非负性即可完成证明；(2)根据完全平方式的最小值为0，即可求出代数式取最小值时对应的m值以及最小值。
【解析】
(1) 先对代数式展开、合并同类项后配方：
$\begin{aligned}4m^2 - 4(m + 1) + 9&=4m^2 - 4m - 4 + 9\\&=4m^2 - 4m + 5\\&=(2m-1)^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(2m-1)^2≥0$
∴ $(2m-1)^2 + 4≥4＞0$
因此不论m取任何实数，代数式的值总是正数。
(2) 由(1)可知代数式可变形为$(2m-1)^2 + 4$
∵ $(2m-1)^2$的最小值为0，当且仅当$2m-1=0$时取到最小值
解$2m-1=0$得$m=\frac{1}{2}$
此时代数式的最小值为$0+4=4$
【答案】
(1)证明:$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4≥4$,$\therefore$不论$m$取任何实数,代数式$4m^2-4(m+1)+9$的值总是正数.
(2)$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,此代数式的值最小,这个最小值是4.
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的核心，通过配方将原式转化为含完全平方式的形式，结合非负数的性质即可快速解题，是基础的代数变形类题型。
【难度系数】
0.8
(1)要证明不论m取任何实数值，代数式恒为正数，可先通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的结构，再结合完全平方的非负性即可完成证明；(2)根据完全平方式的最小值为0，即可求出代数式取最小值时对应的m值以及最小值。
【解析】
(1) 先对代数式展开、合并同类项后配方：
$\begin{aligned}4m^2 - 4(m + 1) + 9&=4m^2 - 4m - 4 + 9\\&=4m^2 - 4m + 5\\&=(2m-1)^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(2m-1)^2≥0$
∴ $(2m-1)^2 + 4≥4＞0$
因此不论m取任何实数，代数式的值总是正数。
(2) 由(1)可知代数式可变形为$(2m-1)^2 + 4$
∵ $(2m-1)^2$的最小值为0，当且仅当$2m-1=0$时取到最小值
解$2m-1=0$得$m=\frac{1}{2}$
此时代数式的最小值为$0+4=4$
【答案】
(1)证明:$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4≥4$,$\therefore$不论$m$取任何实数,代数式$4m^2-4(m+1)+9$的值总是正数.
(2)$\because 4m^2-4(m+1)+9=(2m-1)^2+4$,$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时,此代数式的值最小,这个最小值是4.
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的核心，通过配方将原式转化为含完全平方式的形式，结合非负数的性质即可快速解题，是基础的代数变形类题型。
【难度系数】
0.8
