1. 用配方法解方程 $x^{2}+4x+1=0$ 时,配方结果正确的是（）

A.$(x-2)^{2}=5$
B.$(x-2)^{2}=3$
C.$(x+2)^{2}=5$
D.$(x+2)^{2}=3$

1. D

【分析】要解决该配方法解方程的问题，需明确配方法的核心：将一元二次方程转化为完全平方形式，依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$变形。具体步骤为：先移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式，右侧合并常数项即可。
【解析】解：对于方程$x^2+4x+1=0$，
1. 移项：将常数项$1$移到等号右边，得$x^2+4x=-1$；
2. 配方：一次项系数为$4$，其一半的平方为$(4÷2)^2=4$，在方程两边同时加$4$，左侧变为$x^2+4x+4=(x+2)^2$，右侧变为$-1+4=3$；
因此配方结果为$(x+2)^2=3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作流程，只要掌握“移项→加一次项系数一半的平方→化为完全平方式”的步骤，即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】0.8

2. 一元二次方程 $-x^{2}+7x=0$ 的根是（）

A.$x_{1}=0,x_{2}=7$
B.$x_{1}=1,x_{2}=7$
C.$x_{1}=0,x_{2}=-7$
D.$x_{1}=1,x_{2}=-7$

2. A

【分析】
要解一元二次方程$-x^2 +7x=0$，可采用因式分解法：先提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两因式乘积为0，则至少一个因式为0”的性质求解，得到方程的根后即可选出正确选项。
【解析】
对原方程$-x^2 +7x=0$提取公因式$-x$，得：
$-x(x -7)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$-x=0$ 或 $x -7=0$
解上述两个一元一次方程：
当$-x=0$时，$x=0$；
当$x -7=0$时，$x=7$。
因此，方程的根为$x_1=0$，$x_2=7$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础题，考查用因式分解法求解方程的根，步骤简单清晰，适合巩固一元二次方程的基础解法，难度较低。
【难度系数】
0.9

3. 方程 $x^{2}-4x=0$ 的实数解是.

3. $x_1=0,x_2=4$

【分析】
要解一元二次方程$x^2 - 4x = 0$，可采用因式分解法：先将方程左边的多项式提取公因式转化为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的实数解。
【解析】
对原方程左边因式分解：
$x^2 - 4x = x(x - 4)$
则原方程转化为：
$x(x - 4) = 0$
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解这两个一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 4$
【答案】
$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
一元二次方程解法（因式分解法）
【点评】
本题是一元二次方程的基础求解题，采用因式分解法步骤简洁，是巩固一元二次方程解法的典型基础题型，适合学生掌握基础解题方法。
【难度系数】
0.9

4. 用公式法解方程 $2x^{2}-3x+3=0$ 时，根的判别式 $b^{2}-4ac$ 的值为。

4. $-15$

【分析】
要计算一元二次方程的根的判别式，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），根的判别式公式为$\Delta = b^2 - 4ac$。解题时先确定题目中方程的$a、b、c$的值，再代入公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x + 3 = 0$，其一般形式中$a = 2$，$b = -3$，$c = 3$。将$a、b、c$代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×3 = 9 - 24 = -15$
【答案】
-15
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础计算，只需准确确定方程中$a、b、c$的值并代入公式运算即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.2

5. 用适当的方法解下列方程：
(1) $x^{2}-2x=5$;
(2) $x(x-1)=2-2x$;
(3) $x^{2}-5x-6=0$.

5. 解:(1) 等号两边都加1,得 $x^{2}-2x+1=6$,所以$(x-1)^{2}=6$,所以 $x-1=\pm\sqrt{6}$,所以$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$.
(2) 原方程可变形为 $x(x-1)+2(x-1)=0$,所以$(x+2)(x-1)=0$,所以 $x+2=0$ 或 $x-1=0$,解得 $x_1=-2,x_2=1$.
(3) 原方程可变形为$(x-6)(x+1)=0$,所以 $x-6=0$ 或 $x+1=0$,解得 $x_1=6$,$x_2=-1$.

【分析】
本题是解一元二次方程的基础题，需根据每个方程的结构特点选择合适的解法：第(1)题二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法；第(2)题移项后可提取公因式，适合用提公因式法因式分解；第(3)题二次三项式可通过十字相乘法因式分解，通过对应解法逐步求解即可。
【解析】
(1) 对原方程配方，等号两边同时加1，得：$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x - 1)^2 = 6$，开方得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$，解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$；
(2) 移项得：$x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$，提取公因式$(x - 1)$得：$(x - 1)(x + 2) = 0$，则$x - 1 = 0$或$x + 2 = 0$，解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -2$；
(3) 对二次三项式因式分解，得：$(x - 6)(x + 1) = 0$，则$x - 6 = 0$或$x + 1 = 0$，解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；(2) $x_1=-2,x_2=1$；(3) $x_1=6,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法（配方法）、一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法，涵盖配方法、提公因式法与十字相乘法因式分解，是初中代数的核心基础内容，需熟练掌握不同解法的操作步骤，根据方程特点灵活选择。
【难度系数】
0.8

6.（2025 南通市期中）解方程：
(1) 用直接开平方法: $(x-2)^2-4=0$；
(2) 用配方法: $x^2-4x-3=0$；
(3) 用公式法: $x^2-3x+1=0$；
(4) 用因式分解法: $(5x-1)^2=3(5x-1)$.

6. 解:(1) 原方程可变形为$(x-2)^2=4$,$x-2=\pm2$,所以 $x_1=4,x_2=0$.
(2) 原方程可变形为 $x^2-4x=3$,$x^2-4x+4=7$,$(x-2)^2=7$,$x-2=\pm\sqrt{7}$,所以$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$.
(3) 因为 $a=1,b=-3,c=1$,所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$,所以$x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2×1} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, 所以 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(4) 原方程可变形为$(5x-1)^2-3(5x-1)=0$,$(5x-1)(5x-4)=0$,$5x-1=0$ 或$5x-4=0$,所以 $x_1=\frac{1}{5},x_2=\frac{4}{5}$.

【分析】
本题考查一元二次方程的四种基本解法，需根据每种方法的操作步骤逐一求解：
(1) 直接开平方法：先将方程变形为“平方项=常数”的形式，再对两边开平方，得到两个一次方程求解；
(2) 配方法：先移项使常数项在右边，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方，开平方后求解；
(3) 公式法：先确定方程中a、b、c的值，计算判别式Δ=b²-4ac，判断根的情况，再代入求根公式计算；
(4) 因式分解法：先移项使右边为0，再提取公因式分解左边的多项式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式为0求解。
【解析】
(1) 用直接开平方法解方程：
原方程变形为：$(x-2)^2 = 4$，
两边开平方得：$x - 2 = ±2$，
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 0$；
(2) 用配方法解方程：
原方程移项得：$x^2 - 4x = 3$，
两边加4得：$x^2 - 4x + 4 = 3 + 4$，
即$(x - 2)^2 = 7$，
开平方得：$x - 2 = ±\sqrt{7}$，
解得：$x_1 = 2 + \sqrt{7}$，$x_2 = 2 - \sqrt{7}$；
(3) 用公式法解方程：
对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，确定$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式：$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 ± \sqrt{5}}{2}$，
解得：$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$；
(4) 用因式分解法解方程：
原方程移项得：$(5x - 1)^2 - 3(5x - 1) = 0$，
提取公因式得：$(5x - 1)(5x - 4) = 0$，
令每个因式为0：$5x - 1 = 0$ 或 $5x - 4 = 0$，
解得：$x_1 = \frac{1}{5}$，$x_2 = \frac{4}{5}$；
【答案】
(1) $x_1=4, x_2=0$；(2) $x_1=2+\sqrt{7}, x_2=2-\sqrt{7}$；(3) $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；(4) $x_1=\frac{1}{5}, x_2=\frac{4}{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种常用解法，要求学生熟练掌握每种解法的操作步骤，根据方程特点选择合适方法求解，属于基础题型，需注意计算准确性。
【难度系数】
0.8

7. (2025 扬州市江都区期中)阅读下面的材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.
例如: 解方程 $x^4 - x^2 - 6 = 0$, 可将方程变形为 $(x^2)^2 - x^2 - 6 = 0$, 设 $x^2 = y$, 则 $(x^2)^2 = y^2$, 原方程化为 $y^2 - y - 6 = 0$, 解得 $y_1 = -2, y_2 = 3$. 当 $y_1 = -2$ 时, $x^2 = -2$ 无意义,舍去; 当 $y_2 = 3$ 时, $x^2 = 3$, 解得 $x = \pm\sqrt{3}$, 所以原方程的解为 $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1) 解方程: $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$;
(2) 已知实数 $x, y$ 满足 $(2x^2 + 2y^2 + 3)·(2x^2 + 2y^2 - 5) = -7$, 求 $x^2 + y^2$ 的值.

7. 解:(1) 设 $x^2 = y$, 因为 $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$,所以 $y^2 - 4y - 12 = 0$, 所以 $(y - 6)(y + 2)=0$. 因为对于任意实数 $x$ 都有 $y=x^2≥0$, 所以 $y+2≥2＞0$. 所以 $y-6=0$, 即 $y=6$. 所以 $x^2=6$. 所以 $x=\pm\sqrt{6}$.
(2) 设 $m=2x^2+2y^2$, 因为 $(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2-5)=-7$, 所以 $m^2-2m-8=0$. 所以 $(m-4)(m+2)=0$. 因为 $2x^2+2y^2+2=m+2≥2$, 所以 $m-4=0$, 即 $m=4$. 所以 $2x^2+2y^2=4$. 所以 $x^2+y^2=2$.

【分析】本题主要运用换元法将复杂的高次方程或多变量式子转化为简单的一元二次方程求解，核心思路是把结构相同的部分设为新变量简化问题，再结合平方的非负性舍去不合理的解。第(1)问将四次方程中的$x^2$设为新变量，转化为一元二次方程；第(2)问将$2x^2+2y^2$设为整体，转化为一元二次方程后求解。
【解析】
(1) 设$x^2 = y$，则原方程$x^4 - 4x^2 - 12 = 0$可化为$y^2 - 4y - 12 = 0$，因式分解得$(y - 6)(y + 2) = 0$。
因为对任意实数$x$，$y = x^2 ≥ 0$，所以$y + 2 ≥ 2 ＞ 0$，故$y - 6 = 0$，即$y = 6$。
因此$x^2 = 6$，解得$x = \pm\sqrt{6}$。
(2) 设$m = 2x^2 + 2y^2$，则原等式$(2x^2 + 2y^2 + 3)(2x^2 + 2y^2 - 5) = -7$可化为$(m + 3)(m - 5) = -7$，展开整理得$m^2 - 2m - 8 = 0$，因式分解得$(m - 4)(m + 2) = 0$。
因为$m = 2(x^2 + y^2) ≥ 0$，所以$m + 2 ≥ 2 ＞ 0$，故$m - 4 = 0$，即$m = 4$。
因此$2x^2 + 2y^2 = 4$，两边同除以2得$x^2 + y^2 = 2$。
【答案】(1)$x = \pm\sqrt{6}$；(2)$2$
【知识点】换元法、一元二次方程的解法、平方的非负性
【点评】本题是换元法解代数问题的典型应用，通过换元将复杂问题转化为熟悉的一元二次方程，体现了化归思想，解题关键是利用平方的非负性舍去无意义的解，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5