疑难点拨
某校为响应全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆600人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆2850人次.若进馆人次的月平均增长率为x,则可列方程为.
点拨 注意"到第三个月末累计进馆2850人次"这句话,2850是三个月的累计人次数.

$600+600(1+x)+600(1+x)^{2}=2\ 850$

【分析】
首先明确题目核心：进馆人次逐月增长，月平均增长率为x，需计算到第三个月末的累计进馆人次。第一个月进馆600人次，第二个月是第一个月的(1+x)倍，第三个月是第二个月的(1+x)倍，累计人次为三个月的和，据此可列方程。
【解析】
解：第一个月进馆人次为600；
第二个月进馆人次为600(1+x)；
第三个月进馆人次为600(1+x)²；
因为到第三个月末累计进馆2850人次，即三个月进馆人次之和为2850，所以列方程：
600 + 600(1+x) + 600(1+x)² = 2850
【答案】
600+600(1+x)+600(1+x)²=2850
【知识点】
一元二次方程应用、增长率问题
【点评】
本题考查增长率问题中累计量的方程列写，关键是准确表示每个月的进馆人次，明确“累计”为三个月人次之和，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

1. 一个两位数等于它的个位数字的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为.

1. 25或36

【分析】首先，设这个两位数的个位数字为$ x $，根据“个位数字比十位数字大3”，可表示出十位数字为$ x-3 $。两位数的表示方法是“十位数字×10 + 个位数字”，结合题目中“两位数等于它的个位数字的平方”的条件，列出一元二次方程，求解后得到个位数字，进而计算出对应的两位数即可。
【解析】设这个两位数的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x - 3 $。
根据题意列方程：
$10(x - 3) + x = x^2$
整理得：
$x^2 - 11x + 30 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 6) = 0$
解得$ x = 5 $或$ x = 6 $。
当$ x = 5 $时，十位数字为$ 5 - 3 = 2 $，这个两位数是$ 10×2 + 5 = 25 $；
当$ x = 6 $时，十位数字为$ 6 - 3 = 3 $，这个两位数是$ 10×3 + 6 = 36 $。
【答案】25或36
【知识点】一元二次方程的应用、两位数的表示
【点评】本题通过设未知数建立一元二次方程求解，核心是正确表示两位数并结合题意列方程，需注意解出的数字要符合数位的取值范围，整体难度适中。
【难度系数】0.6

2. 某社交平台上,一条有趣的视频最初只有1人转发,经过两轮转发后,共有36人转发了这条视频.设每一轮转发中平均每人邀请x位新朋友进行转发,则可得到方程.

2. $1+x+x(1+x)=36$

【分析】要解决这个问题，需理清两轮转发的人数变化逻辑：初始转发人数为1人；第一轮转发时，这1人每人邀请x位新朋友，因此第一轮新增x人，第一轮结束后总转发人数为$1+x$人；第二轮转发时，新增人数是第一轮总人数$(1+x)$每人邀请x位，即新增$x(1+x)$人；两轮后总转发人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，结合题目中“两轮后共36人转发”的条件，即可列出方程。
【解析】初始转发人数为1人，第一轮转发后总人数为$1 + x$；第二轮转发新增人数为$x(1 + x)$，因此两轮后总转发人数为$1 + x + x(1 + x)$，根据题意总人数为36，故方程为$1+x+x(1+x)=36$。
【答案】$1+x+x(1+x)=36$
【知识点】一元二次方程应用、增长率问题
【点评】本题是一元二次方程在实际转发场景的基础应用，核心是明确每一轮转发的新增人数基于上一轮的总人数计算，属于常见的实际应用题型，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】0.5

3. 某中学九年级学生数学交流会上,每两名学生握手一次,统计后发现共握手66次,则参加这次数学交流会的学生有多少人?

3. 12人

【分析】
这是典型的握手问题，属于组合类实际应用问题。每两名学生握手一次，不考虑顺序，总握手次数等于从学生人数中选2人的组合数，公式为$\frac{n(n-1)}{2}$（n为学生人数）。解题时先设学生人数为未知数，根据总握手次数列一元二次方程，再结合实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
设参加这次数学交流会的学生有$x$人。
因为每两人握手一次，总握手次数为$\frac{x(x-1)}{2}$，根据题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=66$
整理得：$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：$(x - 12)(x + 11) = 0$
解得：$x_1=12$，$x_2=-11$（人数不能为负数，舍去）
因此参加这次数学交流会的学生有12人。
【答案】
12人
【知识点】
一元二次方程的应用、握手问题
【点评】
本题将实际握手场景转化为数学中的组合问题，核心是避免重复计算，列方程后需根据实际意义舍去不合理的负解，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.6

4. 某市2023年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实"绿水青山就是金山银山"的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2025年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,依据题意可列方程为.

4. $0.64(1+x)^{2}=0.69$

【分析】首先明确年平均增长率的计算模型：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，则经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$。本题中，2023年底的森林覆盖率是初始量，经过2年到2025年底，对应$n=2$，最终量为2025年底的覆盖率，据此建立等量关系即可列出方程。
【解析】2023年底森林覆盖率为64%，即初始量为$0.64$；年平均增长率为$x$，经过2年增长后，2025年底的森林覆盖率为$0.64(1+x)^2$；已知2025年底森林覆盖率为69%，即$0.69$，因此可列方程为$0.64(1+x)^2=0.69$。
【答案】$0.64(1+x)^{2}=0.69$
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题考查一元二次方程在实际增长率问题中的应用，核心是掌握年平均增长率的基本公式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

5. [新情境·生态环境]为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18 m长的篱笆围成.生态园的面积能否为40 $\mathrm{m^2}$? 如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.

5. 生态园的面积能为$40\ \mathrm{m}^{2}$,$AB$的长为10 m或8 m.

【分析】
要解决这个问题，需明确矩形生态园一面靠墙，篱笆仅围另外三面，先设AB的长为未知数，用篱笆总长表示出矩形的另一边长，再结合面积公式列出一元二次方程，通过解方程判断是否存在符合实际的解，进而确定面积能否为$40\ \mathrm{m^2}$并求出AB的长。
【解析】
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，因为AB靠墙，所以垂直于墙的边AD（与BC相等）的长度为$\frac{18 - x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，若生态园面积为$40\ \mathrm{m^2}$，可列方程：
$x · \frac{18 - x}{2} = 40$
整理得：
$x^2 - 18x + 80 = 0$
计算判别式$\Delta = (-18)^2 - 4 × 1 × 80 = 4$，
解得$x = \frac{18 \pm 2}{2}$，即$x_1 = 10$，$x_2 = 8$，两个解均为正数，符合实际意义。
【答案】
能，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，关键是理清篱笆长度与矩形边长的关系，正确列方程并验证解的合理性，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

6. 某校"研学"活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是()
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

6. C

【分析】首先明确植物各部分的数量关系：主干仅1个；设每个支干长出的小分支个数为$x$，则支干数量为$x$个；每个支干长出$x$个小分支，因此小分支总数为$x^2$个。根据“主干、支干和小分支总数是43”的条件，可列出一元二次方程，求解后结合选项得出答案。
【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数为$x$。
根据题意，列方程：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = -7$（分支个数不能为负，舍去），$x_2 = 6$
因此每个支干长出的小分支个数是6，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用
【点评】本题是一元二次方程在实际场景的典型应用，关键是理清各部分数量关系并建立方程，求解时需舍去不符合实际意义的负根，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

7. 一个小组内组员新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,设这个小组有x人,列方程得.

7. $x(x-1)=72$

【分析】
要解决这个问题，需先明确“互送贺卡”的数量关系：每个人要给除自己之外的其他组员各送1张贺卡，因此先确定每人送的贺卡数，再结合总人数得到总贺卡数的表达式，最后根据已知总贺卡数建立方程。
【解析】
设这个小组有$x$人，由于互送贺卡时，每个人不需要给自己送贺卡，所以每个人送的贺卡数为$(x-1)$张；总共有$x$个组员，那么全组送的贺卡总数为$x(x-1)$张，已知全组共送贺卡72张，因此可列方程为$x(x-1)=72$。
【答案】
$x(x-1)=72$
【知识点】
一元二次方程应用，实际问题与方程
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理解“互送”的双向性，需区分其与“握手（单循环）”问题的差异，准确推导总数量的表达式是解题关键。
【难度系数】
0.6