11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$。
(1) 填空:$x_{1}+x_{2}=$,$x_{1}x_{2}=$;
(2) 求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$;
(3) 已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,求$p$的值。

11. (1) $p$ 1 (2) $p$ $p$ (3) $p=3$

【分析】
本题围绕一元二次方程的根的性质展开，解题思路如下：
1. 第(1)问考查韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，直接代入方程系数即可得到结果；
2. 第(2)问，求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$需先通分，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入第(1)问的结果；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时，利用$x_1$是方程的根，代入方程变形即可；
3. 第(3)问，利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，结合已知条件列方程求解，同时需注意方程有两个不相等实根，要满足判别式$\Delta＞0$，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px +1=0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = p$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}=1$；
(2) ① $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$，代入(1)的结果得：$\frac{p}{1}=p$；
② 因为$x_1$是方程$x^2 -px +1=0$的根，所以$x_1^2 -px_1 +1=0$，移项得$x_1^2 +1 = px_1$，两边同除以$x_1$（$x_1≠0$，因$x_1x_2=1$），得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$；
(3) 由完全平方公式：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$及(1)的结果：
$p^2 - 2×1 = 2p +1$，整理得$p^2 -2p -3=0$，因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，解得$p=3$或$p=-1$；
又因方程有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta=(-p)^2 -4×1×1=p^2 -4＞0$，即$p^2＞4$，$p=-1$时$p^2=1＜4$舍去，因此$p=3$；
【答案】
(1) $p$；$1$ (2) $p$；$p$ (3) $p=3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查韦达定理的应用及方程根的性质，解题时需注意第(3)问要结合判别式舍去不符合条件的解，避免出错，是学生需熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.6

12. 已知$m、n$是一元二次方程$x^{2}+2x-5=0$的两个根,则$m^{2}-mn+2m$的值为 ()
A. 0
B. $-10$
C. 10
D. 3

12. C

【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义和韦达定理简化所求式子：首先，根据m是方程的根，代入方程可得到m²+2m的值；再通过韦达定理求出两根之积mn，最后将所求式子变形后代入计算即可。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2+2x-5=0$的根，
∴将m代入方程得：$m^2 + 2m -5 =0$，
即 $m^2 + 2m =5$；
又
∵m、n是方程$x^2+2x-5=0$的两个根，
根据韦达定理，两根之积 $mn = -5$；
∴原式 $m^2 - mn +2m = (m^2 +2m) - mn =5 - (-5)=10$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义与韦达定理的应用，核心是通过根的定义将高次项转化为低次项，结合韦达定理简化计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

13. 已知方程$x^{2}-2x-2=0$的两个根分别为$x_{1}、x_{2}$,则$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+4x_{2}$的值为。

13. 4

【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程根的定义和韦达定理化简求值：首先利用方程根满足方程的性质，将高次幂$x_1^2、x_2^2$转化为一次式；再代入所求代数式化简，最后用韦达定理计算结果。
【解析】
解：因为$x_1、x_2$是方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的根，所以：
$x_1^2 - 2x_1 - 2 = 0$，即$x_1^2 = 2x_1 + 2$；
$x_2^2 - 2x_2 - 2 = 0$，即$x_2^2 = 2x_2 + 2$。
将上述两式代入$x_1^2 - x_2^2 + 4x_2$得：
$\begin{aligned}&(2x_1 + 2) - (2x_2 + 2) + 4x_2\\=&2x_1 + 2 - 2x_2 - 2 + 4x_2\\=&2x_1 + 2x_2\\=&2(x_1 + x_2)\end{aligned}$
对于方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，由韦达定理得两根之和$x_1 + x_2 = 2$，因此：
$2(x_1 + x_2) = 2×2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，核心是利用根的定义对高次幂降次，结合韦达定理简化计算，解题思路清晰，步骤明确，适合中等水平学生掌握。
【难度系数】
0.6

14. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有$x_{1},x_{2}$两实数根。
(1) 若$x_{1}=5$,求$x_{2}$及$m$的值。
(2) 是否存在实数$m$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=-\frac{6}{m-7}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由。

14. (1) $x_{2}=1,m=3;$
(2) 存在$m=4$,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=-\frac{6}{m-7}$.

【分析】
本题围绕一元二次方程的根的性质设置两小问：第(1)问已知方程的一个根，利用韦达定理（根与系数的关系）可直接求另一个根和参数，无需解方程；第(2)问需先保证方程有两个实根（判别式≥0），再展开待求等式并代入韦达定理结果得到关于m的方程，解方程后需验证解是否满足判别式条件及分式分母不为0的要求，最终确定是否存在符合条件的m值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m-1$。根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=6$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1$。
已知$x_1=5$，则$x_2=6 - x_1=6-5=1$；
代入两根之积得：$5×1=2m -1$，解得$2m=6$，即$m=3$。
(2) 方程有两个实数根，故判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×1×(2m-1)=36 -8m +4=40 -8m ≥0$，解得$m ≤5$。
将$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开得：$x_1x_2 -x_1 -x_2 +1$，代入韦达定理结果得：$(2m -1) -6 +1 =2m -6$。
根据题意列方程：$2m -6 = -\frac{6}{m -7}$，注意分母$m-7≠0$（即$m≠7$），结合$m ≤5$，该条件自动满足。
方程两边同乘$(m -7)$得：$2(m -3)(m -7) = -6$，展开整理得$m^2 -10m +24=0$，因式分解得$(m -4)(m -6)=0$，解得$m=4$或$m=6$。
结合$m ≤5$，舍去$m=6$，故$m=4$符合条件，存在这样的实数$m$。
【答案】
(1) $x_2=1$，$m=3$；(2) 存在，$m=4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、分式方程的解法
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的性质，需熟练运用韦达定理，同时注意隐含条件（判别式≥0、分式分母不为0），避免因忽略条件导致错误，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5

15. 已知$x_{1}、x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$的两个不相等的实数根。
(1) 求$k$的取值范围。
(2) 若$k＜5$,且$k、x_{1}、x_{2}$都是整数,求$k$的值。

15. (1) $k＞1$ (2) 2

【分析】
要解决这道题，首先利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，求出k的取值范围；再结合整数条件和k的范围，筛选出符合条件的k值。步骤如下：1. 对于有两个不相等实数根的一元二次方程，判别式Δ＞0，据此列不等式求k的范围；2. 根据k的范围确定可能的整数值，再结合韦达定理验证对应的根是否为整数，从而确定k的值。
【解析】
(1) 因为方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\Delta = (-2k)^2 - 4 × 1 × (k^2 - k + 1) = 4k^2 - 4k^2 + 4k - 4 = 4k - 4$
令$\Delta ＞ 0$，即$4k - 4 ＞ 0$，解得$k ＞ 1$。
(2) 由(1)知$k ＞ 1$，又已知$k ＜ 5$，且k为整数，所以k的可能取值为2、3、4。
根据韦达定理，方程的两根和$x_1 + x_2 = 2k$，两根积$x_1x_2 = k^2 - k + 1$，分别验证：
当$k = 2$时，方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$，均为整数，符合条件；
当$k = 3$时，方程为$x^2 - 6x + 7 = 0$，根为$x = 3 \pm \sqrt{2}$，不是整数，不符合；
当$k = 4$时，方程为$x^2 - 8x + 13 = 0$，根为$x = 4 \pm \sqrt{3}$，不是整数，不符合；
因此，k的值为2。
【答案】
(1) $k ＞ 1$；(2) $2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是先利用判别式确定参数范围，再结合整数条件筛选参数，难度适中，需注意判别式的化简和根的整数性验证。
【难度系数】
0.6