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例 2 经过平面上 $ A $，$ B $，$ C $ 三点中的两点，可以画出多少条直线？请画一画。
答案
解析
【分析】本题未明确平面上A、B、C三点是否在同一直线上，需运用分类讨论思想分情况分析，核心依据是“两点确定一条直线”的基本事实，需避免漏解，分别计算两种情况下可画出的直线数量。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，经过任意两点可画1条直线，即直线AB、直线AC、直线BC，共3条；
2. 当A、B、C三点在同一条直线上时，经过这三点中的任意两点只能画1条直线。
综上，经过平面上A、B、C三点中的两点，可以画出1条或3条直线。
【答案】
【知识点】两点确定一条直线，分类讨论思想
【点评】本题考查直线的基本性质，重点在于审题时需考虑三点是否共线的两种情况，运用分类讨论思想全面解题，属于基础题，需注意避免遗漏情况。
【难度系数】0.5
【解析】分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，经过任意两点可画1条直线，即直线AB、直线AC、直线BC，共3条；
2. 当A、B、C三点在同一条直线上时，经过这三点中的任意两点只能画1条直线。
综上，经过平面上A、B、C三点中的两点，可以画出1条或3条直线。
【答案】
【知识点】两点确定一条直线，分类讨论思想
【点评】本题考查直线的基本性质，重点在于审题时需考虑三点是否共线的两种情况，运用分类讨论思想全面解题，属于基础题，需注意避免遗漏情况。
【难度系数】0.5
【变式训练 2】 如图，平面上有 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点。请根据下列语句作图：
(1)画直线 $ AC $；
(2)画线段 $ AD $，$ BC $，线段 $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $；
(3)画射线 $ AB $，$ CD $，射线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ P $。
(1)画直线 $ AC $；
(2)画线段 $ AD $，$ BC $，线段 $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $；
(3)画射线 $ AB $，$ CD $，射线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ P $。
答案
变式训练2 如图所示。
解析
【分析】
要完成本题的作图，需先明确直线、线段、射线的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸。再按题目要求分步操作：①画直线AC，连接A、C并向两端延长；②画线段AD、BC，找到两线段的交点O；③画射线AB（以A为端点过B向外延伸）和射线CD（以C为端点过D向外延伸），找到两射线的交点P，即可完成作图。
【解析】
1. 画直线AC：经过点A和点C作直线，直线向两方无限延伸，无需标注端点；
2. 画线段AD与BC：用线段连接A、D两点，再用线段连接B、C两点，两条线段的交点即为点O；
3. 画射线AB与CD：以A为端点，沿AB方向（过B点）向外作射线；以C为端点，沿CD方向（过D点）向外作射线，两条射线的交点即为点P，最终得到符合要求的图形。
【答案】
【知识点】
直线、线段、射线的作图
【点评】
本题考查直线、线段、射线的基本作图，属于基础题型，需准确把握三种线的特征，按要求完成作图即可。
【难度系数】
0.5
要完成本题的作图，需先明确直线、线段、射线的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸。再按题目要求分步操作：①画直线AC，连接A、C并向两端延长；②画线段AD、BC，找到两线段的交点O；③画射线AB（以A为端点过B向外延伸）和射线CD（以C为端点过D向外延伸），找到两射线的交点P，即可完成作图。
【解析】
1. 画直线AC：经过点A和点C作直线，直线向两方无限延伸，无需标注端点；
2. 画线段AD与BC：用线段连接A、D两点，再用线段连接B、C两点，两条线段的交点即为点O；
3. 画射线AB与CD：以A为端点，沿AB方向（过B点）向外作射线；以C为端点，沿CD方向（过D点）向外作射线，两条射线的交点即为点P，最终得到符合要求的图形。
【答案】
【知识点】
直线、线段、射线的作图
【点评】
本题考查直线、线段、射线的基本作图，属于基础题型，需准确把握三种线的特征，按要求完成作图即可。
【难度系数】
0.5
1. 如图，下列说法不正确的是(
A.直线 $ AB $ 与直线 $ BA $ 是同一条直线
B.线段 $ AB $ 与线段 $ BA $ 是同一条线段
C.射线 $ OA $ 与射线 $ OB $ 是同一条射线
D.射线 $ OA $ 与射线 $ AB $ 是同一条射线
D
)A.直线 $ AB $ 与直线 $ BA $ 是同一条直线
B.线段 $ AB $ 与线段 $ BA $ 是同一条线段
C.射线 $ OA $ 与射线 $ OB $ 是同一条射线
D.射线 $ OA $ 与射线 $ AB $ 是同一条射线
答案
1. D
解析
【分析】要判断各选项的正误，需明确直线、线段、射线的定义：直线无端点，向两方无限延伸，用两个大写字母表示时顺序无关；线段有两个端点，用两个端点字母表示时顺序无关；射线有一个端点，向一方无限延伸，用两个字母表示时，第一个为端点，第二个为延伸方向上的点，端点或方向不同则不是同一条射线。据此逐一分析选项。
【解析】
选项A：直线的表示与字母顺序无关，直线AB和直线BA是同一条直线，该说法正确；
选项B：线段的表示与字母顺序无关，线段AB和线段BA是同一条线段，该说法正确；
选项C：射线OA的端点是O，延伸方向为A方向；射线OB的端点是O，延伸方向为B方向，A、B在同一直线上，二者端点相同、方向相同，是同一条射线，该说法正确；
选项D：射线OA的端点是O，延伸方向为A；射线AB的端点是A，延伸方向为B，二者端点不同，不是同一条射线，该说法错误。
综上，不正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
直线、射线、线段的概念
【点评】
本题考查直线、射线、线段的基本概念，核心是区分射线的端点和延伸方向，属于基础概念题，需准确掌握各图形的表示规则。
【难度系数】
0.5
【解析】
选项A：直线的表示与字母顺序无关，直线AB和直线BA是同一条直线，该说法正确；
选项B：线段的表示与字母顺序无关，线段AB和线段BA是同一条线段，该说法正确；
选项C：射线OA的端点是O，延伸方向为A方向；射线OB的端点是O，延伸方向为B方向，A、B在同一直线上，二者端点相同、方向相同，是同一条射线，该说法正确；
选项D：射线OA的端点是O，延伸方向为A；射线AB的端点是A，延伸方向为B，二者端点不同，不是同一条射线，该说法错误。
综上，不正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
直线、射线、线段的概念
【点评】
本题考查直线、射线、线段的基本概念，核心是区分射线的端点和延伸方向，属于基础概念题，需准确掌握各图形的表示规则。
【难度系数】
0.5
2. 如图，下列说法错误的是(
A.点 $ B $ 在直线 $ MC $ 上
B.点 $ A $ 在直线 $ BC $ 外
C.点 $ C $ 在线段 $ MB $ 上
D.点 $ M $ 在线段 $ BC $ 上
D
)A.点 $ B $ 在直线 $ MC $ 上
B.点 $ A $ 在直线 $ BC $ 外
C.点 $ C $ 在线段 $ MB $ 上
D.点 $ M $ 在线段 $ BC $ 上
答案
2. D
解析
【分析】本题考查点与直线、线段的位置关系，解题时需结合图形，依据直线可向两端无限延伸、线段是直线上两点间有限部分的几何定义，逐一分析各选项描述的点与线的位置是否正确。
【解析】逐个分析选项：
1. 选项A：直线MC是图中的水平直线，点B在该直线上，因此“点B在直线MC上”的说法正确；
2. 选项B：直线BC是水平直线的一部分，点A在直线BC的上方，不在该直线上，因此“点A在直线BC外”的说法正确；
3. 选项C：线段MB的端点为M和B，点C位于M与B之间，因此“点C在线段MB上”的说法正确；
4. 选项D：线段BC的端点为B和C，点M在点C的左侧，不在B与C之间，因此“点M在线段BC上”的说法错误。
综上，错误的说法为选项D。
【答案】D
【知识点】点与直线位置关系、线段的定义
【点评】本题是几何入门基础题，核心考查直线、线段的基本概念，掌握点与线的位置关系即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】逐个分析选项：
1. 选项A：直线MC是图中的水平直线，点B在该直线上，因此“点B在直线MC上”的说法正确；
2. 选项B：直线BC是水平直线的一部分，点A在直线BC的上方，不在该直线上，因此“点A在直线BC外”的说法正确；
3. 选项C：线段MB的端点为M和B，点C位于M与B之间，因此“点C在线段MB上”的说法正确；
4. 选项D：线段BC的端点为B和C，点M在点C的左侧，不在B与C之间，因此“点M在线段BC上”的说法错误。
综上，错误的说法为选项D。
【答案】D
【知识点】点与直线位置关系、线段的定义
【点评】本题是几何入门基础题，核心考查直线、线段的基本概念，掌握点与线的位置关系即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 下列选项中，两线能相交的是(
B
)答案
3. B
解析
【分析】要判断两线是否相交，需明确直线、射线、线段的延伸特性：直线可向两端无限延伸，射线仅能向其端点外的一端无限延伸，线段不能延伸。据此逐个分析选项即可得出结果。
【解析】
选项A：AB是线段，无法延伸；CD是射线，仅向远离C的方向延伸，两线延伸后无交点，不相交。
选项B：AB是直线，可向两端无限延伸；CD是射线，向C方向延伸，两线延伸后会相交，符合要求。
选项C：AB是射线，仅向B方向延伸；CD是直线，两线延伸后无交点，不相交。
选项D：AB是射线，仅向B方向延伸；CD是线段，无法延伸，两线无交点，不相交。
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段的延伸性
【点评】本题考查直线、射线、线段的基本延伸特性，属于几何入门基础题，准确区分不同线的延伸方向即可判断结果。
【难度系数】0.6
【解析】
选项A：AB是线段，无法延伸；CD是射线，仅向远离C的方向延伸，两线延伸后无交点，不相交。
选项B：AB是直线，可向两端无限延伸；CD是射线，向C方向延伸，两线延伸后会相交，符合要求。
选项C：AB是射线，仅向B方向延伸；CD是直线，两线延伸后无交点，不相交。
选项D：AB是射线，仅向B方向延伸；CD是线段，无法延伸，两线无交点，不相交。
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段的延伸性
【点评】本题考查直线、射线、线段的基本延伸特性，属于几何入门基础题，准确区分不同线的延伸方向即可判断结果。
【难度系数】0.6
4. 用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨细木条，细木条能转动，这说明
过一点的直线有无数条
；用两个钉子把一根细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明两点确定一条直线
。答案
4. 过一点的直线有无数条 两点确定一条直线
解析
【分析】
本题结合生活中固定木条的实例，考查直线的基本性质。首先，一个钉子作为唯一固定点时，细木条可绕其转动，对应过该点能画出多条直线；两个钉子作为两个固定点时，细木条无法转动，对应两点确定唯一的一条直线，据此填写答案。
【解析】
当用一个钉子固定细木条时，该钉子是唯一的固定点，细木条可绕此点任意转动，说明过一点可以作无数条直线；当用两个钉子固定细木条时，两个钉子是两个固定点，细木条被固定无法转动，说明两点确定一条直线。
【答案】
过一点的直线有无数条；两点确定一条直线
【知识点】
直线的性质、两点确定一条直线
【点评】
本题以生活实例为载体，考查几何基础概念，贴近生活，易于理解，是几何入门阶段的基础题目，帮助学生将抽象的几何知识与实际生活建立联系。
【难度系数】
0.9
本题结合生活中固定木条的实例，考查直线的基本性质。首先，一个钉子作为唯一固定点时，细木条可绕其转动，对应过该点能画出多条直线；两个钉子作为两个固定点时，细木条无法转动，对应两点确定唯一的一条直线，据此填写答案。
【解析】
当用一个钉子固定细木条时，该钉子是唯一的固定点，细木条可绕此点任意转动，说明过一点可以作无数条直线；当用两个钉子固定细木条时，两个钉子是两个固定点，细木条被固定无法转动，说明两点确定一条直线。
【答案】
过一点的直线有无数条；两点确定一条直线
【知识点】
直线的性质、两点确定一条直线
【点评】
本题以生活实例为载体，考查几何基础概念，贴近生活，易于理解，是几何入门阶段的基础题目，帮助学生将抽象的几何知识与实际生活建立联系。
【难度系数】
0.9
5. 过平面上的两个点可以画出
一
条直线。答案
5. 一
解析
【分析】
首先回忆直线的核心基本性质：平面上，经过两个点的直线是唯一确定的，即“两点确定一条直线”，据此可推导过平面上两个点能画出的直线数量。
【解析】
根据直线的基本性质：两点确定一条直线，因此平面上任意两个不同的点，有且只有一条直线同时经过这两个点，所以过平面上的两个点可以画出1条直线。
【答案】
一
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题考查几何入门的基础概念，直接考查直线公理的应用，属于简单的概念识记类题目，学生只要牢记两点确定一条直线的知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆直线的核心基本性质：平面上，经过两个点的直线是唯一确定的，即“两点确定一条直线”，据此可推导过平面上两个点能画出的直线数量。
【解析】
根据直线的基本性质：两点确定一条直线，因此平面上任意两个不同的点，有且只有一条直线同时经过这两个点，所以过平面上的两个点可以画出1条直线。
【答案】
一
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题考查几何入门的基础概念，直接考查直线公理的应用，属于简单的概念识记类题目，学生只要牢记两点确定一条直线的知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
6. 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠两站，则甲、乙两地之间有
6
种不同的票价(每两站之间的票价不一样，来回的票价一样)，车站需要准备12
种车票。答案
6. 6 12
解析
【分析】首先确定甲、乙两地中途停靠两站，总共有4个站点。票价是两站之间的价格，来回票价相同，属于不考虑顺序的组合问题；车票需要考虑往返方向，属于考虑顺序的排列问题。先计算总站点数，再分别用组合、排列公式计算对应数量。
【解析】甲、乙两地中途停靠两站，总站点数为：2（甲、乙）+2（中途站）=4个。
1. 计算不同票价：因来回票价相同，每两个站点对应1种票价，属于从4个站点中选2个的组合，公式为$C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入$n=4$得：$\frac{4×3}{2}=6$种。
2. 计算车票种类：车票有往返方向，属于从4个站点中选2个的排列，公式为$P(n,2)=n(n-1)$，代入$n=4$得：$4×3=12$种。
【答案】6 12
【知识点】组合应用、排列应用
【点评】本题核心是区分票价（无方向，组合）和车票（有方向，排列）的差异，需先确定总站点数，再对应计算，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】甲、乙两地中途停靠两站，总站点数为：2（甲、乙）+2（中途站）=4个。
1. 计算不同票价：因来回票价相同，每两个站点对应1种票价，属于从4个站点中选2个的组合，公式为$C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入$n=4$得：$\frac{4×3}{2}=6$种。
2. 计算车票种类：车票有往返方向，属于从4个站点中选2个的排列，公式为$P(n,2)=n(n-1)$，代入$n=4$得：$4×3=12$种。
【答案】6 12
【知识点】组合应用、排列应用
【点评】本题核心是区分票价（无方向，组合）和车票（有方向，排列）的差异，需先确定总站点数，再对应计算，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
7. 如图，在同一平面内有 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点。请根据下列语句作图：
(1)作直线 $ AB $，射线 $ CD $；
(2)作射线 $ DB $，连接 $ BC $；
(3)作线段 $ CA $。
(1)作直线 $ AB $，射线 $ CD $；
(2)作射线 $ DB $，连接 $ BC $；
(3)作线段 $ CA $。
答案
7. 如图所示。
解析
【分析】
要完成本题作图，需先明确直线、射线、线段的定义：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸。按照题目给出的要求，依次进行对应作图操作即可。
【解析】
1. 作直线AB：连接点A与点B，并将线段AB向两端无限延长，得到直线AB；
2. 作射线CD：以点C为端点，经过点D向CD方向无限延伸，得到射线CD；
3. 作射线DB：以点D为端点，经过点B向DB方向无限延伸，得到射线DB；
4. 连接BC：用线段连接点B和点C，得到线段BC；
5. 作线段CA：用线段连接点C和点A，得到线段CA。
【答案】
【知识点】
直线、射线、线段的作图
【点评】
本题是基础几何作图题，考查直线、射线、线段的基本作图方法，只要掌握各图形的特征，按要求操作即可完成，难度较低。
【难度系数】
0.6
要完成本题作图，需先明确直线、射线、线段的定义：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有一个端点，可向一端无限延伸；线段有两个端点，不可延伸。按照题目给出的要求，依次进行对应作图操作即可。
【解析】
1. 作直线AB：连接点A与点B，并将线段AB向两端无限延长，得到直线AB；
2. 作射线CD：以点C为端点，经过点D向CD方向无限延伸，得到射线CD；
3. 作射线DB：以点D为端点，经过点B向DB方向无限延伸，得到射线DB；
4. 连接BC：用线段连接点B和点C，得到线段BC；
5. 作线段CA：用线段连接点C和点A，得到线段CA。
【答案】
【知识点】
直线、射线、线段的作图
【点评】
本题是基础几何作图题，考查直线、射线、线段的基本作图方法，只要掌握各图形的特征，按要求操作即可完成，难度较低。
【难度系数】
0.6
