1. 如图，在平面直角坐标系中，三角形$ABC$三个顶点的坐标分别为$A(0,2)$，$B(-2,0)$，$C(4,0)$，则三角形$ABC$的面积为。

1. 6

如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,-1)$，$B(1,3)$，$C(2,-3)$，求三角形$ABC$的面积。
解 过点$B$作$y$轴的垂线$BD$，过点$A$作$x$轴的垂线与$BD$交于点$D$，过点$C$作$x$轴的垂线交$DB$的延长线于点$E$，如图。

所以四边形$ADEC$为直角梯形，三角形$ADB$和三角形$CBE$为直角三角形。
因为$A(-3,-1)$，$B(1,3)$，$C(2,-3)$，
所以$AD=4$，$BD=4$，$BE=1$，$CE=6$，
$DE=5$。
$S_{\mathrm{梯形}ADEC}=\frac{1}{2}×(AD+CE)× DE=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$。
$S_{\mathrm{三角形}ADB}=\frac{1}{2}AD× BD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
$S_{\mathrm{三角形}CBE}=\frac{1}{2}BE× CE=\frac{1}{2}×1×6=3$。
所以$S_{\mathrm{三角形}ABC}=S_{\mathrm{梯形}ADEC}-S_{\mathrm{三角形}ADB}-S_{\mathrm{三角形}CBE}=25-8-3=14$。

解：过点$B$作$y$轴的垂线$BD$，过点$A$作$x$轴的垂线与$BD$交于点$D$，过点$C$作$x$轴的垂线交$DB$的延长线于点$E$。
则四边形$ADEC$为直角梯形，$△ ADB$和$△ CBE$为直角三角形。
因为$A(-3,-1)$，$B(1,3)$，$C(2,-3)$，
所以$AD=3 - (-1)=4$，$BD=1 - (-3)=4$，$BE=2 - 1=1$，$CE=3 - (-3)=6$，$DE=2 - (-3)=5$。
$S_{\mathrm{梯形}ADEC}=\frac{1}{2}×(AD+CE)× DE=\frac{1}{2}×(4+6)×5=25$，
$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}×AD× BD=\frac{1}{2}×4×4=8$，
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}×BE× CE=\frac{1}{2}×1×6=3$，
$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{梯形}ADEC}-S_{△ ADB}-S_{△ CBE}=25-8-3=14$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，三角形$ABO$的顶点坐标分别为$A(-1,3)$，$B(2,1)$，$O(0,0)$，求三角形$ABO$的面积。

2. 解 过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，如图.

因为$AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴，所以四边形ACDB为直角梯形.因为点$A(-1,3)$，$B(2,1)$，所以$AC=3$，$OC=1$，$BD=1$，$OD=2$.所以$CD=OC+OD=1+2=3$.因为$S_{三角形AOC}=\frac{1}{2}OC× AC=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，
$S_{三角形BOD}=\frac{1}{2}BD× OD=\frac{1}{2}×1×2=1$，
$S_{梯形ACDB}=\frac{1}{2}(AC+BD)× CD=\frac{1}{2}×(3+1)×3=6$，
所以$S_{三角形ABO}=S_{梯形ACDB}-S_{三角形AOC}-S_{三角形BOD}=6-1.5-1=3.5$.