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2. 把24和36的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。
答案
2.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先分别有序找出24和36的所有因数，找因数时可以按从小到大的顺序一对一对找，避免遗漏；第二步区分两个数的独有因数和公有因数：两个数都有的因数就是公因数，放在两个椭圆重叠的公共区域，只属于24的因数填在左边椭圆不重叠的位置，只属于36的因数填在右边椭圆不重叠的位置；第三步在公因数里找到最大的那个数，就是最大公因数，把它圈出来即可。
【解析】
1. 找24的因数：因为$1×24=24$，$2×12=24$，$3×8=24$，$4×6=24$，所以24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24。
2. 找36的因数：因为$1×36=36$，$2×18=36$，$3×12=36$，$4×9=36$，$6×6=36$，所以36的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。
3. 区分公有和独有因数：
24和36的公因数（重叠区域）：1、2、3、4、6、12
24独有的因数（左侧非重叠区）：8、24
36独有的因数（右侧非重叠区）：9、18、36
4. 找最大公因数：公因数里最大的是12，将12圈出即可完成填写。
【答案】
【知识点】
因数的找法、公因数、最大公因数
【点评】
本题借助集合图直观考查因数、公因数、最大公因数的相关概念，掌握有序列举因数的方法是解题基础，通过练习能帮助我们更清晰地理解独有因数和公有因数的区别，为后续学习约分等知识打下基础。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先分别有序找出24和36的所有因数，找因数时可以按从小到大的顺序一对一对找，避免遗漏；第二步区分两个数的独有因数和公有因数：两个数都有的因数就是公因数，放在两个椭圆重叠的公共区域，只属于24的因数填在左边椭圆不重叠的位置，只属于36的因数填在右边椭圆不重叠的位置；第三步在公因数里找到最大的那个数，就是最大公因数，把它圈出来即可。
【解析】
1. 找24的因数：因为$1×24=24$，$2×12=24$，$3×8=24$，$4×6=24$，所以24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24。
2. 找36的因数：因为$1×36=36$，$2×18=36$，$3×12=36$，$4×9=36$，$6×6=36$，所以36的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。
3. 区分公有和独有因数：
24和36的公因数（重叠区域）：1、2、3、4、6、12
24独有的因数（左侧非重叠区）：8、24
36独有的因数（右侧非重叠区）：9、18、36
4. 找最大公因数：公因数里最大的是12，将12圈出即可完成填写。
【答案】
【知识点】
因数的找法、公因数、最大公因数
【点评】
本题借助集合图直观考查因数、公因数、最大公因数的相关概念，掌握有序列举因数的方法是解题基础，通过练习能帮助我们更清晰地理解独有因数和公有因数的区别，为后续学习约分等知识打下基础。
【难度系数】
0.8
三、找出下面每组数的最大公因数。
15 和 50
7 和 19
33 和 121
84 和 21
15 和 50
7 和 19
33 和 121
84 和 21
答案
5 1 11 21
解析
【分析】
求两个数的最大公因数，常用两种适合该学段的方法：一是列举法，分别写出两个数的所有因数，再找出共有因数里最大的那个；二是分解质因数法，把两个数分解成质数相乘的形式，公有的质因数的乘积就是最大公因数。遇到特殊情况可直接判断：如果两个数是互质数（只有公因数1），最大公因数就是1；如果两个数是倍数关系，最大公因数就是较小的那个数，我们按这个思路逐组计算即可。
【解析】
1. 计算15和50的最大公因数：
15的因数有：1、3、5、15
50的因数有：1、2、5、10、25、50
二者的公因数为1、5，最大的是5。
2. 计算7和19的最大公因数：
7是质数，因数只有1、7；19是质数，因数只有1、19，两数只有公因数1，属于互质数，所以最大公因数是1。
3. 计算33和121的最大公因数：
分解质因数可得：33=3×11，121=11×11
二者公有的质因数是11，所以最大公因数是11。
4. 计算84和21的最大公因数：
84÷21=4，说明84是21的倍数，两数为倍数关系，最大公因数是较小的数21。
【答案】
5 1 11 21
【知识点】
最大公因数求法、互质数性质、倍数关系公因数规律
【点评】
本题考查不同类型数对的最大公因数计算，掌握互质、倍数两类特殊数对的公因数规律可以大幅提升解题速度，是约分学习的基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
求两个数的最大公因数，常用两种适合该学段的方法：一是列举法，分别写出两个数的所有因数，再找出共有因数里最大的那个；二是分解质因数法，把两个数分解成质数相乘的形式，公有的质因数的乘积就是最大公因数。遇到特殊情况可直接判断：如果两个数是互质数（只有公因数1），最大公因数就是1；如果两个数是倍数关系，最大公因数就是较小的那个数，我们按这个思路逐组计算即可。
【解析】
1. 计算15和50的最大公因数：
15的因数有：1、3、5、15
50的因数有：1、2、5、10、25、50
二者的公因数为1、5，最大的是5。
2. 计算7和19的最大公因数：
7是质数，因数只有1、7；19是质数，因数只有1、19，两数只有公因数1，属于互质数，所以最大公因数是1。
3. 计算33和121的最大公因数：
分解质因数可得：33=3×11，121=11×11
二者公有的质因数是11，所以最大公因数是11。
4. 计算84和21的最大公因数：
84÷21=4，说明84是21的倍数，两数为倍数关系，最大公因数是较小的数21。
【答案】
5 1 11 21
【知识点】
最大公因数求法、互质数性质、倍数关系公因数规律
【点评】
本题考查不同类型数对的最大公因数计算，掌握互质、倍数两类特殊数对的公因数规律可以大幅提升解题速度，是约分学习的基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
四、先约分，再化成带分数。
$\frac{42}{16}$
$\frac{26}{14}$
$\frac{40}{30}$
$\frac{45}{18}$
$\frac{91}{28}$
$\frac{42}{16}$
$\frac{26}{14}$
$\frac{40}{30}$
$\frac{45}{18}$
$\frac{91}{28}$
答案
$\frac{21}{8}=2\frac{5}{8}$ $\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}$ $\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ $\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$
$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ $\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步约分，先找到每个分数分子和分母的最大公因数，再将分子、分母同时除以这个最大公因数，得到最简分数；第二步将约分后的假分数化成带分数，用分子除以分母，所得的商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子，分母保持不变。
【解析】
1. 计算$\frac{42}{16}$：
42和16的最大公因数是2，约分：$\frac{42÷2}{16÷2}=\frac{21}{8}$；
21÷8=2余5，化成带分数：$2\frac{5}{8}$。
2. 计算$\frac{26}{14}$：
26和14的最大公因数是2，约分：$\frac{26÷2}{14÷2}=\frac{13}{7}$；
13÷7=1余6，化成带分数：$1\frac{6}{7}$。
3. 计算$\frac{40}{30}$：
40和30的最大公因数是10，约分：$\frac{40÷10}{30÷10}=\frac{4}{3}$；
4÷3=1余1，化成带分数：$1\frac{1}{3}$。
4. 计算$\frac{45}{18}$：
45和18的最大公因数是9，约分：$\frac{45÷9}{18÷9}=\frac{5}{2}$；
5÷2=2余1，化成带分数：$2\frac{1}{2}$。
5. 计算$\frac{91}{28}$：
91和28的最大公因数是7，约分：$\frac{91÷7}{28÷7}=\frac{13}{4}$；
13÷4=3余1，化成带分数：$3\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{21}{8}=2\frac{5}{8}$ $\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}$ $\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ $\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$
【知识点】
约分、假分数化带分数、最大公因数
【点评】
本题是分数基础运算题，核心考察约分规则和假分数转带分数的方法，解题的关键是准确找到分子分母的最大公因数，熟练掌握转换规则后即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：第一步约分，先找到每个分数分子和分母的最大公因数，再将分子、分母同时除以这个最大公因数，得到最简分数；第二步将约分后的假分数化成带分数，用分子除以分母，所得的商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子，分母保持不变。
【解析】
1. 计算$\frac{42}{16}$：
42和16的最大公因数是2，约分：$\frac{42÷2}{16÷2}=\frac{21}{8}$；
21÷8=2余5，化成带分数：$2\frac{5}{8}$。
2. 计算$\frac{26}{14}$：
26和14的最大公因数是2，约分：$\frac{26÷2}{14÷2}=\frac{13}{7}$；
13÷7=1余6，化成带分数：$1\frac{6}{7}$。
3. 计算$\frac{40}{30}$：
40和30的最大公因数是10，约分：$\frac{40÷10}{30÷10}=\frac{4}{3}$；
4÷3=1余1，化成带分数：$1\frac{1}{3}$。
4. 计算$\frac{45}{18}$：
45和18的最大公因数是9，约分：$\frac{45÷9}{18÷9}=\frac{5}{2}$；
5÷2=2余1，化成带分数：$2\frac{1}{2}$。
5. 计算$\frac{91}{28}$：
91和28的最大公因数是7，约分：$\frac{91÷7}{28÷7}=\frac{13}{4}$；
13÷4=3余1，化成带分数：$3\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{21}{8}=2\frac{5}{8}$ $\frac{13}{7}=1\frac{6}{7}$ $\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
$\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ $\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$
【知识点】
约分、假分数化带分数、最大公因数
【点评】
本题是分数基础运算题，核心考察约分规则和假分数转带分数的方法，解题的关键是准确找到分子分母的最大公因数，熟练掌握转换规则后即可快速解答。
【难度系数】
0.8
五、小培准备把一张长 20 cm、宽 16 cm 的长方形彩纸裁成大小相等的小正方形,且没有剩余。小正方形的边长可能是多少厘米？最长是多少厘米？(小正方形的边长是整厘米数)
答案
可能是1 cm,2 cm,4 cm,最长是4 cm。
解析
【分析】
要把长方形彩纸裁成大小相等的小正方形且没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长20cm的因数和宽16cm的因数，也就是小正方形的边长是20和16的公因数。因此求可能的边长就是找20和16的所有公因数，求最长的边长就是找20和16的最大公因数。我们可以先分别列举出20和16的所有因数，再从中找出公共的因数即可得到结果。
【解析】
1. 先列举20的所有因数：
20÷1=20，20÷2=10，20÷4=5，20÷5=4，20÷10=2，20÷20=1
所以20的因数有：1、2、4、5、10、20
2. 再列举16的所有因数：
16÷1=16，16÷2=8，16÷4=4，16÷8=2，16÷16=1
所以16的因数有：1、2、4、8、16
3. 找出20和16的公因数：两个数共有的因数是1、2、4，其中最大的公因数是4。
【答案】
可能是1 cm,2 cm,4 cm,最长是4 cm。
【知识点】
公因数的概念，最大公因数的应用，因数的求法
【点评】
本题结合实际裁纸的场景，考察对公因数和最大公因数的理解与应用能力，解题的关键是将“裁纸无剩余”的实际要求转化为求两个数公因数的数学问题，能有效锻炼学生把实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.7
要把长方形彩纸裁成大小相等的小正方形且没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长20cm的因数和宽16cm的因数，也就是小正方形的边长是20和16的公因数。因此求可能的边长就是找20和16的所有公因数，求最长的边长就是找20和16的最大公因数。我们可以先分别列举出20和16的所有因数，再从中找出公共的因数即可得到结果。
【解析】
1. 先列举20的所有因数：
20÷1=20，20÷2=10，20÷4=5，20÷5=4，20÷10=2，20÷20=1
所以20的因数有：1、2、4、5、10、20
2. 再列举16的所有因数：
16÷1=16，16÷2=8，16÷4=4，16÷8=2，16÷16=1
所以16的因数有：1、2、4、8、16
3. 找出20和16的公因数：两个数共有的因数是1、2、4，其中最大的公因数是4。
【答案】
可能是1 cm,2 cm,4 cm,最长是4 cm。
【知识点】
公因数的概念，最大公因数的应用，因数的求法
【点评】
本题结合实际裁纸的场景，考察对公因数和最大公因数的理解与应用能力，解题的关键是将“裁纸无剩余”的实际要求转化为求两个数公因数的数学问题，能有效锻炼学生把实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.7
