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一、填一填。
1.20 的因数有(
20 和 35 的公因数有(
1.20 的因数有(
1,2,4,5,10,20
),35 的因数有(1,5,7,35
),20 和 35 的公因数有(
1,5
),20 和 35 的最大公因数是(5
)。答案
1. 20的因数：1,2,4,5,10,20；35的因数：1,5,7,35；20和35的公因数：1,5；20和35的最大公因数：5
解析
【分析】
解题时首先回忆找因数的方法：找一个数的因数，就是找所有能整除这个数的非零自然数，通常可以从小到大一对一对地找，能避免遗漏或者重复。先分别找出20和35的所有因数，再从中找出两个数共有的因数就是公因数，公因数里最大的数就是它们的最大公因数，按照这个思路逐步计算即可。
【解析】
1. 求20的因数：
枚举乘积为20的整数乘法算式：$1×20=20$，$2×10=20$，$4×5=20$，因此20的因数为1,2,4,5,10,20。
2. 求35的因数：
枚举乘积为35的整数乘法算式：$1×35=35$，$5×7=35$，因此35的因数为1,5,7,35。
3. 求20和35的公因数：
对比两个数的因数，同时出现在两个因数列表里的数是1、5，因此公因数为1,5。
4. 求20和35的最大公因数：
在公因数1和5中，最大的数是5，因此最大公因数是5。
【答案】
20的因数：1,2,4,5,10,20；35的因数：1,5,7,35；20和35的公因数：1,5；20和35的最大公因数：5
【知识点】
因数的认识、公因数、最大公因数
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查因数的查找方法以及公因数、最大公因数的识别，掌握成对枚举找因数的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆找因数的方法：找一个数的因数，就是找所有能整除这个数的非零自然数，通常可以从小到大一对一对地找，能避免遗漏或者重复。先分别找出20和35的所有因数，再从中找出两个数共有的因数就是公因数，公因数里最大的数就是它们的最大公因数，按照这个思路逐步计算即可。
【解析】
1. 求20的因数：
枚举乘积为20的整数乘法算式：$1×20=20$，$2×10=20$，$4×5=20$，因此20的因数为1,2,4,5,10,20。
2. 求35的因数：
枚举乘积为35的整数乘法算式：$1×35=35$，$5×7=35$，因此35的因数为1,5,7,35。
3. 求20和35的公因数：
对比两个数的因数，同时出现在两个因数列表里的数是1、5，因此公因数为1,5。
4. 求20和35的最大公因数：
在公因数1和5中，最大的数是5，因此最大公因数是5。
【答案】
20的因数：1,2,4,5,10,20；35的因数：1,5,7,35；20和35的公因数：1,5；20和35的最大公因数：5
【知识点】
因数的认识、公因数、最大公因数
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查因数的查找方法以及公因数、最大公因数的识别，掌握成对枚举找因数的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.5和13的公因数有(
1
),最大公因数是(1
)。答案
2. 5和13的公因数：1，最大公因数：1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确公因数和最大公因数的定义：两个非0自然数公有的因数叫做它们的公因数，公因数中最大的数就是最大公因数。我们可以先分别找出两个数的所有因数，再从中找出公有的部分，即可得到公因数和最大公因数。另外，质数的因数只有1和它本身，本题中5和13都是质数，也可以结合这个特征快速推导。
【解析】
1. 找5的因数：5是质数，它的因数有1、5；
2. 找13的因数：13是质数，它的因数有1、13；
3. 对比两个数的因数，公有的因数只有1，因此5和13的公因数是1，最大的公因数也是1。
【答案】
公因数有1，最大公因数是1
【知识点】
公因数，最大公因数，质数的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时既可以用列举因数的方法逐步推导，也可以利用“两个不同的质数公因数只有1”的规律直接判断，重点考查对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确公因数和最大公因数的定义：两个非0自然数公有的因数叫做它们的公因数，公因数中最大的数就是最大公因数。我们可以先分别找出两个数的所有因数，再从中找出公有的部分，即可得到公因数和最大公因数。另外，质数的因数只有1和它本身，本题中5和13都是质数，也可以结合这个特征快速推导。
【解析】
1. 找5的因数：5是质数，它的因数有1、5；
2. 找13的因数：13是质数，它的因数有1、13；
3. 对比两个数的因数，公有的因数只有1，因此5和13的公因数是1，最大的公因数也是1。
【答案】
公因数有1，最大公因数是1
【知识点】
公因数，最大公因数，质数的特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时既可以用列举因数的方法逐步推导，也可以利用“两个不同的质数公因数只有1”的规律直接判断，重点考查对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.9
3.像$\frac{1}{7}$、$\frac{4}{9}$、$\frac{11}{13}$这样的分数，分子和分母都只有公因数(
1
)，这样的分数叫作(最简分数
)。答案
3. 公因数：1，这样的分数叫作：最简分数
解析
【分析】
解题时首先回忆公因数的概念，分别计算题干中三个分数分子和分母的公因数，再结合分数的相关定义判断对应名称。第一步：分别找每个分数分子、分母的所有因数，再筛选出二者共有的因数，观察公因数的特点；第二步：匹配对应分数类型的定义，完成填空即可。
【解析】
1. 分析三个分数的分子分母公因数：
① $\frac{1}{7}$：分子1的因数只有1，分母7的因数为1、7，二者公因数只有1；
② $\frac{4}{9}$：分子4的因数为1、2、4，分母9的因数为1、3、9，二者公因数只有1；
③ $\frac{11}{13}$：分子11的因数为1、11，分母13的因数为1、13，二者公因数只有1。
2. 结合定义判断：根据相关概念，分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。
因此两个空依次填1、最简分数。
【答案】
1；最简分数
【知识点】
公因数的概念；最简分数的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对最简分数定义的掌握程度，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆公因数的概念，分别计算题干中三个分数分子和分母的公因数，再结合分数的相关定义判断对应名称。第一步：分别找每个分数分子、分母的所有因数，再筛选出二者共有的因数，观察公因数的特点；第二步：匹配对应分数类型的定义，完成填空即可。
【解析】
1. 分析三个分数的分子分母公因数：
① $\frac{1}{7}$：分子1的因数只有1，分母7的因数为1、7，二者公因数只有1；
② $\frac{4}{9}$：分子4的因数为1、2、4，分母9的因数为1、3、9，二者公因数只有1；
③ $\frac{11}{13}$：分子11的因数为1、11，分母13的因数为1、13，二者公因数只有1。
2. 结合定义判断：根据相关概念，分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。
因此两个空依次填1、最简分数。
【答案】
1；最简分数
【知识点】
公因数的概念；最简分数的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对最简分数定义的掌握程度，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. $\frac{42}{54}$的分子、分母的最大公因数是(
6
)，约分后，得到的最简分数是($\frac{7}{9}$
)。答案
4. 最大公因数：6，最简分数：$\frac{7}{9}$
解析
【分析】
要解决这道题我们分两步思考：第一步先求42和54的最大公因数，可以用列举法分别列出两个数的所有因数，再从中找出公有的最大的那个因数；第二步对分数约分，约分的规则是分子和分母同时除以它们的最大公因数，最终得到分子和分母只有公因数1的分数，就是最简分数。
【解析】
1. 求42和54的最大公因数：
42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54
两个数公有的因数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此42和54的最大公因数是6。
2. 约分求最简分数：
把$\frac{42}{54}$的分子和分母同时除以最大公因数6，计算得：
$\frac{42}{54}=\frac{42÷6}{54÷6}=\frac{7}{9}$
7和9只有公因数1，因此$\frac{7}{9}$是最简分数。
【答案】
6；$\frac{7}{9}$
【知识点】
最大公因数的求解、分数约分方法、最简分数认识
【点评】
本题属于约分模块的基础题型，重点考察最大公因数的求法和约分的基本规则，熟练掌握列举法求公因数、约分的操作方法即可快速解答，是巩固约分基础的典型练习题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题我们分两步思考：第一步先求42和54的最大公因数，可以用列举法分别列出两个数的所有因数，再从中找出公有的最大的那个因数；第二步对分数约分，约分的规则是分子和分母同时除以它们的最大公因数，最终得到分子和分母只有公因数1的分数，就是最简分数。
【解析】
1. 求42和54的最大公因数：
42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54
两个数公有的因数是1、2、3、6，其中最大的是6，因此42和54的最大公因数是6。
2. 约分求最简分数：
把$\frac{42}{54}$的分子和分母同时除以最大公因数6，计算得：
$\frac{42}{54}=\frac{42÷6}{54÷6}=\frac{7}{9}$
7和9只有公因数1，因此$\frac{7}{9}$是最简分数。
【答案】
6；$\frac{7}{9}$
【知识点】
最大公因数的求解、分数约分方法、最简分数认识
【点评】
本题属于约分模块的基础题型，重点考察最大公因数的求法和约分的基本规则，熟练掌握列举法求公因数、约分的操作方法即可快速解答，是巩固约分基础的典型练习题。
【难度系数】
0.9
5. 在$\frac{5}{9}$、$\frac{5}{7}$、$\frac{8}{18}$三个分数中，最大的分数是（
$\frac{5}{7}$
）。答案
5. 最大的分数：$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
解题时先观察三个分数的特征：首先$\frac{8}{18}$不是最简分数，可先约分简化；其次$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{7}$是同分子分数，可直接用同分子分数大小比较规则判断大小，约分后的$\frac{8}{18}$和$\frac{5}{9}$是同分母分数，再用同分母分数大小比较规则判断，最终就能得出三个分数的大小顺序，找到最大的分数。
【解析】
步骤1：先对$\frac{8}{18}$约分，分子分母同时除以最大公因数2：
$\frac{8}{18}=\frac{8÷2}{18÷2}=\frac{4}{9}$
步骤2：比较同分子分数$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{7}$的大小：
分子相同的分数，分母越小分数越大，因为$7＜9$，所以$\frac{5}{7}＞\frac{5}{9}$
步骤3：比较同分母分数$\frac{5}{9}$和$\frac{4}{9}$的大小：
分母相同的分数，分子越大分数越大，因为$5＞4$，所以$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}=\frac{8}{18}$
综上可得大小关系：$\frac{5}{7}＞\frac{5}{9}＞\frac{8}{18}$，因此最大的分数是$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
分数约分、同分子分数比较大小、同分母分数比较大小
【点评】
本题是分数大小比较的基础题型，解题核心是先通过约分简化分数，再灵活运用同分母、同分子分数的大小比较规则快速判断，不需要复杂通分就能得出结果，是分数单元的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察三个分数的特征：首先$\frac{8}{18}$不是最简分数，可先约分简化；其次$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{7}$是同分子分数，可直接用同分子分数大小比较规则判断大小，约分后的$\frac{8}{18}$和$\frac{5}{9}$是同分母分数，再用同分母分数大小比较规则判断，最终就能得出三个分数的大小顺序，找到最大的分数。
【解析】
步骤1：先对$\frac{8}{18}$约分，分子分母同时除以最大公因数2：
$\frac{8}{18}=\frac{8÷2}{18÷2}=\frac{4}{9}$
步骤2：比较同分子分数$\frac{5}{9}$和$\frac{5}{7}$的大小：
分子相同的分数，分母越小分数越大，因为$7＜9$，所以$\frac{5}{7}＞\frac{5}{9}$
步骤3：比较同分母分数$\frac{5}{9}$和$\frac{4}{9}$的大小：
分母相同的分数，分子越大分数越大，因为$5＞4$，所以$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}=\frac{8}{18}$
综上可得大小关系：$\frac{5}{7}＞\frac{5}{9}＞\frac{8}{18}$，因此最大的分数是$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
分数约分、同分子分数比较大小、同分母分数比较大小
【点评】
本题是分数大小比较的基础题型，解题核心是先通过约分简化分数，再灵活运用同分母、同分子分数的大小比较规则快速判断，不需要复杂通分就能得出结果，是分数单元的常考基础题。
【难度系数】
0.8
6.如果$a÷ b=18$,那么a和b的最大公因数是(
b
)。答案
6. 最大公因数：b
解析
【分析】
首先从题目给出的算式入手，$a÷ b=18$说明a是b的18倍，也就是a和b属于倍数关系。接下来回忆成倍数关系的两个数的最大公因数规律：当两个非零自然数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的那个数。对比a和b的大小，b是更小的数，由此就能推导出最终结果。
【解析】
解：已知$a÷ b=18$，可得$a=18× b$，说明a是b的18倍，a和b为倍数关系。
根据成倍数关系的两个数的最大公因数规律：两个数成倍数关系时，最大公因数是其中较小的数。
因为$b ＜ a$，所以a和b的最大公因数是$b$。
【答案】
b
【知识点】
1. 倍数的意义
2. 最大公因数的求法
【点评】
本题属于基础题，核心考查成倍数关系的两个数的最大公因数判定规律，熟练掌握相关结论就能快速解题，注意不要和最小公倍数的规律混淆。
【难度系数】
0.7
首先从题目给出的算式入手，$a÷ b=18$说明a是b的18倍，也就是a和b属于倍数关系。接下来回忆成倍数关系的两个数的最大公因数规律：当两个非零自然数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的那个数。对比a和b的大小，b是更小的数，由此就能推导出最终结果。
【解析】
解：已知$a÷ b=18$，可得$a=18× b$，说明a是b的18倍，a和b为倍数关系。
根据成倍数关系的两个数的最大公因数规律：两个数成倍数关系时，最大公因数是其中较小的数。
因为$b ＜ a$，所以a和b的最大公因数是$b$。
【答案】
b
【知识点】
1. 倍数的意义
2. 最大公因数的求法
【点评】
本题属于基础题，核心考查成倍数关系的两个数的最大公因数判定规律，熟练掌握相关结论就能快速解题，注意不要和最小公倍数的规律混淆。
【难度系数】
0.7
7.一个最简真分数,分子和分母的积是12,这个分数是(
$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{12}$
)。答案
7. 这个分数：$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{12}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：①真分数：分子小于分母，分数值小于1；②最简分数：分子和分母只有公因数1（即互质）。解题思路分三步：第一步先找出所有乘积是12、且前一个数小于后一个数的正整数数对（对应分子、分母）；第二步逐一判断每组数对是否互质；第三步筛选出符合要求的数对组成分数即可。
【解析】
1. 先列出所有乘积为12，且较小数在前、较大数在后的整数对：
$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，对应可能的分数为$\frac{1}{12}$、$\frac{2}{6}$、$\frac{3}{4}$。
2. 逐个判断是否为最简分数：
$\frac{1}{12}$：分子1和分母12只有公因数1，是最简分数，且是真分数，符合要求；
$\frac{2}{6}$：分子2和分母6有公因数2，可约分为$\frac{1}{3}$，不是最简分数，不符合要求；
$\frac{3}{4}$：分子3和分母4只有公因数1，是最简分数，且是真分数，符合要求。
【答案】
$\frac{1}{12}$或$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 最简真分数
2. 找因数
3. 互质数判断
【点评】
本题重点考查对最简真分数定义的掌握，解题时要注意有序枚举所有符合乘积条件的数对，再逐一筛选，避免漏解或错选非最简的分数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：①真分数：分子小于分母，分数值小于1；②最简分数：分子和分母只有公因数1（即互质）。解题思路分三步：第一步先找出所有乘积是12、且前一个数小于后一个数的正整数数对（对应分子、分母）；第二步逐一判断每组数对是否互质；第三步筛选出符合要求的数对组成分数即可。
【解析】
1. 先列出所有乘积为12，且较小数在前、较大数在后的整数对：
$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，对应可能的分数为$\frac{1}{12}$、$\frac{2}{6}$、$\frac{3}{4}$。
2. 逐个判断是否为最简分数：
$\frac{1}{12}$：分子1和分母12只有公因数1，是最简分数，且是真分数，符合要求；
$\frac{2}{6}$：分子2和分母6有公因数2，可约分为$\frac{1}{3}$，不是最简分数，不符合要求；
$\frac{3}{4}$：分子3和分母4只有公因数1，是最简分数，且是真分数，符合要求。
【答案】
$\frac{1}{12}$或$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 最简真分数
2. 找因数
3. 互质数判断
【点评】
本题重点考查对最简真分数定义的掌握，解题时要注意有序枚举所有符合乘积条件的数对，再逐一筛选，避免漏解或错选非最简的分数。
【难度系数】
0.7
1. 把16和30的因数、公因数分别填在相应的位置，再圈出它们的最大公因数。
答案
1.
解析
【分析】
解题时首先要明确找因数的方法：用列乘法算式的方法，从1开始，一对一对找出能整除该数的所有整数，就是这个数的因数。解题步骤为：①先分别找出16和30的所有因数；②筛选出同时是16和30因数的数，也就是二者的公因数；③把16独有的因数填在左侧椭圆不重叠的区域，30独有的因数填在右侧椭圆不重叠的区域，公因数填在两个椭圆重叠的区域；④在公因数里找出最大的那个，圈出来就是最大公因数。
【解析】
1. 找16的因数：
因为$1×16=16$，$2×8=16$，$4×4=16$，所以16的因数为：1、2、4、8、16。
2. 找30的因数：
因为$1×30=30$，$2×15=30$，$3×10=30$，$5×6=30$，所以30的因数为：1、2、3、5、6、10、15、30。
3. 找公因数：对比两个数的因数，共同的因数是1、2，即16和30的公因数为1、2，其中最大公因数是2。
4. 填写维恩图：
左侧16的因数独有的区域填：4、8、16
中间重叠的公因数区域填：1、2，圈出2
右侧30的因数独有的区域填：3、5、6、10、15、30
【答案】
【知识点】
找因数的方法、公因数、最大公因数
【点评】
本题考查因数、公因数相关概念的实际应用，通过维恩图的形式区分独有的因数和公因数，是后续学习约分、求最大公因数的基础，需要熟练掌握找因数的方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确找因数的方法：用列乘法算式的方法，从1开始，一对一对找出能整除该数的所有整数，就是这个数的因数。解题步骤为：①先分别找出16和30的所有因数；②筛选出同时是16和30因数的数，也就是二者的公因数；③把16独有的因数填在左侧椭圆不重叠的区域，30独有的因数填在右侧椭圆不重叠的区域，公因数填在两个椭圆重叠的区域；④在公因数里找出最大的那个，圈出来就是最大公因数。
【解析】
1. 找16的因数：
因为$1×16=16$，$2×8=16$，$4×4=16$，所以16的因数为：1、2、4、8、16。
2. 找30的因数：
因为$1×30=30$，$2×15=30$，$3×10=30$，$5×6=30$，所以30的因数为：1、2、3、5、6、10、15、30。
3. 找公因数：对比两个数的因数，共同的因数是1、2，即16和30的公因数为1、2，其中最大公因数是2。
4. 填写维恩图：
左侧16的因数独有的区域填：4、8、16
中间重叠的公因数区域填：1、2，圈出2
右侧30的因数独有的区域填：3、5、6、10、15、30
【答案】
【知识点】
找因数的方法、公因数、最大公因数
【点评】
本题考查因数、公因数相关概念的实际应用，通过维恩图的形式区分独有的因数和公因数，是后续学习约分、求最大公因数的基础，需要熟练掌握找因数的方法。
【难度系数】
0.8
