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六、把一张长 81 cm、宽 63 cm 的长方形硬纸板裁成若干个面积相等的小正方形且没有剩余,裁出的小正方形的边长最长是多少厘米？能裁出多少个这样的小正方形？(小正方形的边长是整厘米数)
答案
小正方形的边长最长是9 cm。
63 个
63 个
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求：裁出的小正方形边长为整厘米数且没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长81cm和宽63cm的公因数；要求边长最长，本质就是求81和63的最大公因数。求出边长后，分别计算长方形长、宽方向能裁出的小正方形数量，两个方向的数量相乘就是总个数。
【解析】
1. 求81和63的最大公因数：
用短除法计算：
首先把81和63同时除以公因数3，得到27和21；
再把27和21同时除以公因数3，得到9和7，9和7只有公因数1，互为质数。
因此81和63的最大公因数是 $3×3=9$，即裁出的小正方形边长最长是9cm。
2. 计算小正方形总数量：
长方向可裁个数：$81÷9=9$（个）
宽方向可裁个数：$63÷9=7$（个）
总个数：$9×7=63$（个）
【答案】
小正方形的边长最长是9 cm，能裁出63个这样的小正方形。
【知识点】
最大公因数的应用；短除法求最大公因数
【点评】
这是公因数在实际裁剪问题中的典型应用，解题核心是将“无剩余的最大正方形边长”转化为求两个数的最大公因数，掌握短除法求最大公因数的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目要求：裁出的小正方形边长为整厘米数且没有剩余，说明小正方形的边长必须同时是长方形长81cm和宽63cm的公因数；要求边长最长，本质就是求81和63的最大公因数。求出边长后，分别计算长方形长、宽方向能裁出的小正方形数量，两个方向的数量相乘就是总个数。
【解析】
1. 求81和63的最大公因数：
用短除法计算：
首先把81和63同时除以公因数3，得到27和21；
再把27和21同时除以公因数3，得到9和7，9和7只有公因数1，互为质数。
因此81和63的最大公因数是 $3×3=9$，即裁出的小正方形边长最长是9cm。
2. 计算小正方形总数量：
长方向可裁个数：$81÷9=9$（个）
宽方向可裁个数：$63÷9=7$（个）
总个数：$9×7=63$（个）
【答案】
小正方形的边长最长是9 cm，能裁出63个这样的小正方形。
【知识点】
最大公因数的应用；短除法求最大公因数
【点评】
这是公因数在实际裁剪问题中的典型应用，解题核心是将“无剩余的最大正方形边长”转化为求两个数的最大公因数，掌握短除法求最大公因数的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
七、把一个分数进行约分,先用3约2次,再用5约1次后是$\frac{2}{5}$,这个分数是多少？
答案
$\frac{90}{225}$
解析
【分析】
约分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变。要还原约分前的分数，只需把约分的过程反向操作即可：题中先用3约了2次，说明约分时分母、分子同时除以了2次3；再用5约了1次，说明又同时除以了1次5，因此还原时要把最终分数的分子、分母分别乘2次3、1次5，就能得到原来的分数。
【解析】
先计算原分数的分子：
最终分子是2，反向乘约掉的数，即$2×3×3×5=90$
再计算原分数的分母：
最终分母是5，反向乘约掉的数，即$5×3×3×5=225$
因此原来的分数是$\frac{90}{225}$。
【答案】
$\frac{90}{225}$
【知识点】
分数的基本性质、约分、逆推还原
【点评】
本题考查对约分本质的理解，解题关键是明确约分是分子分母同时除以公因数，还原时就要同乘对应次数的公因数，注意不要漏乘约分的次数。
【难度系数】
0.7
约分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变。要还原约分前的分数，只需把约分的过程反向操作即可：题中先用3约了2次，说明约分时分母、分子同时除以了2次3；再用5约了1次，说明又同时除以了1次5，因此还原时要把最终分数的分子、分母分别乘2次3、1次5，就能得到原来的分数。
【解析】
先计算原分数的分子：
最终分子是2，反向乘约掉的数，即$2×3×3×5=90$
再计算原分数的分母：
最终分母是5，反向乘约掉的数，即$5×3×3×5=225$
因此原来的分数是$\frac{90}{225}$。
【答案】
$\frac{90}{225}$
【知识点】
分数的基本性质、约分、逆推还原
【点评】
本题考查对约分本质的理解，解题关键是明确约分是分子分母同时除以公因数，还原时就要同乘对应次数的公因数，注意不要漏乘约分的次数。
【难度系数】
0.7
小优有48张正方形卡纸，她想用这些正方形卡纸拼一个长方形，有多少种不同的拼法？
答案
5 种
解析
【分析】
要解决用48张正方形卡纸拼长方形的拼法数量问题，首先要明确拼出的长方形总面积等于48张正方形卡纸的总面积，即长方形的长×宽=48，其中长和宽都是正整数（使用整张卡纸）。为了避免重复计数，我们只需找出所有满足长≥宽、乘积为48的正整数组合即可，本质是找48的所有因数对。
【解析】
解：用48张正方形拼长方形，可得关系：长方形的长×宽=48（长、宽均为正整数，且规定长≥宽，避免重复计数）。
首先列出48的所有正因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
将因数两两配对，乘积为48的组合有：
$1×48=48$
$2×24=48$
$3×16=48$
$4×12=48$
$6×8=48$
共有5组不同的因数对，对应5种不同的拼法。
【答案】
5种
【知识点】
因数的应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查将实际拼接问题转化为数学问题的能力，解题核心是把拼法计数转化为找因数对的操作，注意排除重复的长宽互换情况即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决用48张正方形卡纸拼长方形的拼法数量问题，首先要明确拼出的长方形总面积等于48张正方形卡纸的总面积，即长方形的长×宽=48，其中长和宽都是正整数（使用整张卡纸）。为了避免重复计数，我们只需找出所有满足长≥宽、乘积为48的正整数组合即可，本质是找48的所有因数对。
【解析】
解：用48张正方形拼长方形，可得关系：长方形的长×宽=48（长、宽均为正整数，且规定长≥宽，避免重复计数）。
首先列出48的所有正因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
将因数两两配对，乘积为48的组合有：
$1×48=48$
$2×24=48$
$3×16=48$
$4×12=48$
$6×8=48$
共有5组不同的因数对，对应5种不同的拼法。
【答案】
5种
【知识点】
因数的应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查将实际拼接问题转化为数学问题的能力，解题核心是把拼法计数转化为找因数对的操作，注意排除重复的长宽互换情况即可快速求解。
【难度系数】
0.7
