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1 [2024 牡丹江]如图所示为由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图案,第 1 个图案中有4 个三角形,第 2 个图案中有 7 个三角形,第 3 个图案中有 10 个三角形……按照此规律排列下去,则第 674 个图案中三角形的个数是
(
A.2 022
B.2 023
C.2 024
D.2 025
(
B
)A.2 022
B.2 023
C.2 024
D.2 025
答案
1. B
解析
【分析】
首先观察已知的前3个图案的三角形数量：第1个4个，第2个7个，第3个10个，先对比相邻两个图案的数量差，发现后一个图案比前一个多3个三角形，属于等差变化规律。接下来建立图案序号n和三角形个数的对应关系，推导第n个图案的三角形个数的通用表达式，最后将n=674代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察图案的三角形个数规律：
第1个图案：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图案：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图案：$3×3 + 1 = 10$（个）
……
由此可归纳出，第$n$个图案中三角形的个数为$3n + 1$（$n$为正整数）。
当$n=674$时，三角形的个数为：
$3×674 + 1 = 2022 + 1 = 2023$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，找出数量随图形序号变化的通用规律，再代入指定序号计算即可，是规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的前3个图案的三角形数量：第1个4个，第2个7个，第3个10个，先对比相邻两个图案的数量差，发现后一个图案比前一个多3个三角形，属于等差变化规律。接下来建立图案序号n和三角形个数的对应关系，推导第n个图案的三角形个数的通用表达式，最后将n=674代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察图案的三角形个数规律：
第1个图案：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图案：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图案：$3×3 + 1 = 10$（个）
……
由此可归纳出，第$n$个图案中三角形的个数为$3n + 1$（$n$为正整数）。
当$n=674$时，三角形的个数为：
$3×674 + 1 = 2022 + 1 = 2023$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，找出数量随图形序号变化的通用规律，再代入指定序号计算即可，是规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
2 在如图所示的各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是
74
.答案
2. 74
解析
【分析】
首先分位置观察前三个正方形中四个数的变化规律：第一步看左上角的数，依次是0、2、4，每次增加2；右上角的数依次是4、6、8，每次增加2，且比同组左上角的数大4；左下角的数依次是2、4、6，每次增加2，且比同组左上角的数大2。第二步推导右下角的数与另外三个数的运算关系，验证发现右下角的数=右上角的数×左下角的数-左上角的数。最后根据规律算出第四个正方形的未知项，代入运算得到m的值。
【解析】
1. 观察各位置数字的变化规律：
左上角数：0→2→4，依次加2，第四组左上角为6，符合规律；
右上角数：每组右上角数=同组左上角数+4，因此第四组右上角数为$6+4=10$；
左下角数：每组左下角数=同组左上角数+2，因此第四组左下角数为$6+2=8$。
2. 验证右下角的运算规律：
第一组：$4×2-0=8$，符合；
第二组：$6×4-2=22$，符合；
第三组：$8×6-4=44$，符合；
规律：右下角数=右上角数×左下角数-左上角数。
3. 计算m的值：
$m=10×8-6=74$
【答案】
74
【知识点】
数字规律探究、有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先按位置归纳单个位置的数字变化规律，再推导不同位置数字的运算关系，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先分位置观察前三个正方形中四个数的变化规律：第一步看左上角的数，依次是0、2、4，每次增加2；右上角的数依次是4、6、8，每次增加2，且比同组左上角的数大4；左下角的数依次是2、4、6，每次增加2，且比同组左上角的数大2。第二步推导右下角的数与另外三个数的运算关系，验证发现右下角的数=右上角的数×左下角的数-左上角的数。最后根据规律算出第四个正方形的未知项，代入运算得到m的值。
【解析】
1. 观察各位置数字的变化规律：
左上角数：0→2→4，依次加2，第四组左上角为6，符合规律；
右上角数：每组右上角数=同组左上角数+4，因此第四组右上角数为$6+4=10$；
左下角数：每组左下角数=同组左上角数+2，因此第四组左下角数为$6+2=8$。
2. 验证右下角的运算规律：
第一组：$4×2-0=8$，符合；
第二组：$6×4-2=22$，符合；
第三组：$8×6-4=44$，符合；
规律：右下角数=右上角数×左下角数-左上角数。
3. 计算m的值：
$m=10×8-6=74$
【答案】
74
【知识点】
数字规律探究、有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先按位置归纳单个位置的数字变化规律，再推导不同位置数字的运算关系，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
3 新情境游戏活动 有一种“抢30”的游戏，规则如下：甲先说“1”或“1,2”，当甲先说“1”时，乙接着说“2”或“2,3”；当甲先说“1,2”时，乙接着说“3”或“3,4”，然后甲再接着按次序往下说一个或两个数。这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先说到“30”，谁就获胜。如果采取适当的策略，那么结果是________获胜（填“甲”或“乙”）。
答案
3. 乙
解析
【分析】
我们可以用倒推的思路来思考这道题：要想抢到30获胜，上一轮必须先抢到27，这样不管对方接下来报1个数（28）还是2个数（28、29），你都能刚好报到30。同理，要抢到27就需要先抢到24，依次往前推，制胜的关键数就是3、6、9……27、30，也就是所有3的倍数。接下来看谁能抢到第一个关键数3：因为甲先报数，第一次最多只能报到2，所以后报的乙可以直接抢到3，之后只要乙每次报的数的个数和甲报的个数加起来等于3，就能一直抢到所有3的倍数，最终抢到30。
【解析】
解：根据游戏规则，每次每人可报1个或2个数，因此两人每轮报数的总个数可以控制为3个（甲报1个则乙报2个，甲报2个则乙报1个）。
倒推获胜条件：若要先报到30，需保证上一轮自己报到27，此时无论甲接下来报1个还是2个数，乙都能刚好报到30；同理要抢到27需先抢到24，以此类推，制胜的关键数为3、6、9……27、30，均为3的倍数。
因为甲先报数，甲第一次最多报2个数，乙可以直接抢到第一个关键数3；之后每一轮乙都按照“甲报a个数（a=1或2），乙就报(3-a)个数”的策略，就能依次抢到6、9……27，最终抢到30。
因此乙采取该策略必定获胜。
【答案】
乙
【知识点】
倍数应用，逻辑推理，对策问题
【点评】
本题是典型的对策类趣味题，核心是通过倒推找到游戏中的制胜规律，利用每轮可控的报数总量锁定关键节点，对提升逻辑分析和归纳能力很有帮助。
【难度系数】
0.6
我们可以用倒推的思路来思考这道题：要想抢到30获胜，上一轮必须先抢到27，这样不管对方接下来报1个数（28）还是2个数（28、29），你都能刚好报到30。同理，要抢到27就需要先抢到24，依次往前推，制胜的关键数就是3、6、9……27、30，也就是所有3的倍数。接下来看谁能抢到第一个关键数3：因为甲先报数，第一次最多只能报到2，所以后报的乙可以直接抢到3，之后只要乙每次报的数的个数和甲报的个数加起来等于3，就能一直抢到所有3的倍数，最终抢到30。
【解析】
解：根据游戏规则，每次每人可报1个或2个数，因此两人每轮报数的总个数可以控制为3个（甲报1个则乙报2个，甲报2个则乙报1个）。
倒推获胜条件：若要先报到30，需保证上一轮自己报到27，此时无论甲接下来报1个还是2个数，乙都能刚好报到30；同理要抢到27需先抢到24，以此类推，制胜的关键数为3、6、9……27、30，均为3的倍数。
因为甲先报数，甲第一次最多报2个数，乙可以直接抢到第一个关键数3；之后每一轮乙都按照“甲报a个数（a=1或2），乙就报(3-a)个数”的策略，就能依次抢到6、9……27，最终抢到30。
因此乙采取该策略必定获胜。
【答案】
乙
【知识点】
倍数应用，逻辑推理，对策问题
【点评】
本题是典型的对策类趣味题，核心是通过倒推找到游戏中的制胜规律，利用每轮可控的报数总量锁定关键节点，对提升逻辑分析和归纳能力很有帮助。
【难度系数】
0.6
4 新情境 环境保护 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱.
某汽车店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售.据了解，甲型号新能源汽车每辆进价为25万元，乙型号新能源汽车每辆进价为15万元.若该汽车店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，则有哪几种购车方案？从节约成本的角度考虑，应选择哪种购车方案？
某汽车店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售.据了解，甲型号新能源汽车每辆进价为25万元，乙型号新能源汽车每辆进价为15万元.若该汽车店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，则有哪几种购车方案？从节约成本的角度考虑，应选择哪种购车方案？
答案
4. 如果购进甲型号新能源汽车1辆,乙型号新能源汽车9辆,所需费用为25×1+15×9=160(万元),不符合要求;如果购进甲型号新能源汽车2辆,乙型号新能源汽车8辆,所需费用为25×2+15×8=170(万元),符合要求;如果购进甲型号新能源汽车3辆,乙型号新能源汽车7辆,所需费用为25×3+15×7=180(万元),符合要求;如果购进甲型号新能源汽车4辆,乙型号新能源汽车6辆,所需费用为25×4+15×6=190(万元),不符合要求,易得甲型号新能源汽车辆数越多,所需费用越多.所以共有两种购车方案,方案1:购进甲型号新能源汽车2辆,乙型号新能源汽车8辆,所需费用为170万元;方案2:购进甲型号新能源汽车3辆,乙型号新能源汽车7辆,所需费用为180万元.从节约成本的角度考虑,应选择购车方案1
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先可以设购进甲型号新能源汽车的数量为未知数，那么乙型号的数量可通过总车辆数减去甲的数量得到。接下来根据总费用“不少于170万元、不超过180万元”的限制条件列出关系，求出未知数的取值范围。由于车辆数量只能是非负整数，我们只需在取值范围内找出符合条件的整数，就能对应得到不同的购车方案，最后对比各方案的成本，选择成本最低的方案即可。
【解析】
解：设购进甲型号新能源汽车$x$辆，则购进乙型号新能源汽车$(10-x)$辆。
根据总费用的限制要求可得：$170 ≤ 25x + 15(10-x) ≤ 180$
化简总费用的表达式：$25x + 15(10-x) = 10x + 150$
因此不等式可转化为：$170 ≤ 10x + 150 ≤ 180$
对不等式做变形计算：
三边同时减去150，得$20 ≤ 10x ≤ 30$
三边同时除以10，得$2 ≤ x ≤ 3$
因为$x$是车辆数，只能取正整数，所以$x$的取值为2或3：
1. 当$x=2$时，乙型号车辆数为$10-2=8$辆，总费用为$25×2 + 15×8 = 170$万元，符合要求；
2. 当$x=3$时，乙型号车辆数为$10-3=7$辆，总费用为$25×3 + 15×7 = 180$万元，符合要求；
其余取值（$x=1$时总费用160万元、$x=4$时总费用190万元）均不符合费用范围要求。
对比两个可行方案的成本，170万元＜180万元，因此选择成本更低的方案即可。
【答案】
共有两种购车方案，方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆，所需费用为170万元；方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆，所需费用为180万元。从节约成本的角度考虑，应选择购车方案1
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 方案设计问题
3. 实际问题整数解
【点评】
本题结合绿色出行的热点新情境，考查了数学知识在实际生活中的应用，解题核心是准确根据费用限制条件求出甲型号车辆的取值范围，结合实际意义筛选可行方案，再通过成本对比得到最优解，能够有效锻炼学生解决实际应用问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们首先可以设购进甲型号新能源汽车的数量为未知数，那么乙型号的数量可通过总车辆数减去甲的数量得到。接下来根据总费用“不少于170万元、不超过180万元”的限制条件列出关系，求出未知数的取值范围。由于车辆数量只能是非负整数，我们只需在取值范围内找出符合条件的整数，就能对应得到不同的购车方案，最后对比各方案的成本，选择成本最低的方案即可。
【解析】
解：设购进甲型号新能源汽车$x$辆，则购进乙型号新能源汽车$(10-x)$辆。
根据总费用的限制要求可得：$170 ≤ 25x + 15(10-x) ≤ 180$
化简总费用的表达式：$25x + 15(10-x) = 10x + 150$
因此不等式可转化为：$170 ≤ 10x + 150 ≤ 180$
对不等式做变形计算：
三边同时减去150，得$20 ≤ 10x ≤ 30$
三边同时除以10，得$2 ≤ x ≤ 3$
因为$x$是车辆数，只能取正整数，所以$x$的取值为2或3：
1. 当$x=2$时，乙型号车辆数为$10-2=8$辆，总费用为$25×2 + 15×8 = 170$万元，符合要求；
2. 当$x=3$时，乙型号车辆数为$10-3=7$辆，总费用为$25×3 + 15×7 = 180$万元，符合要求；
其余取值（$x=1$时总费用160万元、$x=4$时总费用190万元）均不符合费用范围要求。
对比两个可行方案的成本，170万元＜180万元，因此选择成本更低的方案即可。
【答案】
共有两种购车方案，方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆，所需费用为170万元；方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆，所需费用为180万元。从节约成本的角度考虑，应选择购车方案1
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 方案设计问题
3. 实际问题整数解
【点评】
本题结合绿色出行的热点新情境，考查了数学知识在实际生活中的应用，解题核心是准确根据费用限制条件求出甲型号车辆的取值范围，结合实际意义筛选可行方案，再通过成本对比得到最优解，能够有效锻炼学生解决实际应用问题的能力。
【难度系数】
0.7
5（易错题）已知4个空矿泉水瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个空矿泉水瓶，若不花钱，则最多可以喝矿泉水
（
A.3瓶
B.4瓶
C.5瓶
D.6瓶
（
C
）A.3瓶
B.4瓶
C.5瓶
D.6瓶
答案
5. C
易错分析
4个空矿泉水瓶换1瓶矿泉水时,喝完矿泉水后又得到1个空矿泉水瓶,因此实质上是3个空矿泉水瓶能喝1瓶矿泉水.
易错分析
4个空矿泉水瓶换1瓶矿泉水时,喝完矿泉水后又得到1个空矿泉水瓶,因此实质上是3个空矿泉水瓶能喝1瓶矿泉水.
解析
【分析】
解题时可以用两种符合学段的思路：第一种是分步兑换，每次用现有空瓶尽可能多换水，喝完得到新空瓶后继续兑换，最后剩余空瓶不够兑换时，可通过合理借空瓶的方式完成最后一次兑换，喝完归还空瓶无需额外花钱；第二种是通过等量代换找兑换本质：4个空瓶换1瓶带瓶的水，相当于用3个空瓶就能换到1份不带瓶的饮用水，直接用总空瓶数除以3就能快速算出结果。
【解析】
方法一：分步兑换法
① 初始有15个空瓶，每4个换1瓶水，$15÷4=3$（瓶）$\dots\dots3$（个空瓶），可换3瓶水，喝完后剩余空瓶数量为$3+3=6$个；
② 6个空瓶可换$6÷4=1$（瓶）$\dots\dots2$（个空瓶），再换1瓶水，喝完后剩余空瓶数量为$2+1=3$个；
③ 此时向商家借1个空瓶，凑够4个空瓶换1瓶水，喝完后将空瓶还给商家。
总喝水量：$3+1+1=5$瓶。
方法二：等量代换法
已知4个空瓶=1瓶矿泉水（含瓶）=1个空瓶+1份纯矿泉水（不含瓶），等式两边同时减去1个空瓶，可得：3个空瓶=1份纯矿泉水。
总共有15个空瓶，最多可喝矿泉水$15÷3=5$瓶。
【答案】
C
【知识点】
等量代换，最优策略
【点评】
本题是生活类统筹易错题，常见错误是忽略兑换后产生的新空瓶，或不知道可合理借空瓶完成最后一次兑换，从而错算成3瓶或4瓶，解题核心是理清空瓶和可饮用水的等价关系，找到最优兑换方案。
【难度系数】
0.6
解题时可以用两种符合学段的思路：第一种是分步兑换，每次用现有空瓶尽可能多换水，喝完得到新空瓶后继续兑换，最后剩余空瓶不够兑换时，可通过合理借空瓶的方式完成最后一次兑换，喝完归还空瓶无需额外花钱；第二种是通过等量代换找兑换本质：4个空瓶换1瓶带瓶的水，相当于用3个空瓶就能换到1份不带瓶的饮用水，直接用总空瓶数除以3就能快速算出结果。
【解析】
方法一：分步兑换法
① 初始有15个空瓶，每4个换1瓶水，$15÷4=3$（瓶）$\dots\dots3$（个空瓶），可换3瓶水，喝完后剩余空瓶数量为$3+3=6$个；
② 6个空瓶可换$6÷4=1$（瓶）$\dots\dots2$（个空瓶），再换1瓶水，喝完后剩余空瓶数量为$2+1=3$个；
③ 此时向商家借1个空瓶，凑够4个空瓶换1瓶水，喝完后将空瓶还给商家。
总喝水量：$3+1+1=5$瓶。
方法二：等量代换法
已知4个空瓶=1瓶矿泉水（含瓶）=1个空瓶+1份纯矿泉水（不含瓶），等式两边同时减去1个空瓶，可得：3个空瓶=1份纯矿泉水。
总共有15个空瓶，最多可喝矿泉水$15÷3=5$瓶。
【答案】
C
【知识点】
等量代换，最优策略
【点评】
本题是生活类统筹易错题，常见错误是忽略兑换后产生的新空瓶，或不知道可合理借空瓶完成最后一次兑换，从而错算成3瓶或4瓶，解题核心是理清空瓶和可饮用水的等价关系，找到最优兑换方案。
【难度系数】
0.6
6 新考向 新定义题 [2024宜宾]如果一个数等于它的全部真因数(一个自然数除自身以外的因数)的和,那么这个数称为“完美数”.例如:6的真因数是1,2,3,且$6=1+2+3$,则称6为“完美数”.下列数中为“完美数”的是 (
A.8
B.18
C.28
D.32
C
)A.8
B.18
C.28
D.32
答案
6. C 【解析】8的真因数是1,2,4.因为1+2+4=7,所以8不是“完美数”.18的真因数是1,2,3,6,9.因为1+2+3+6+9=21,所以18不是“完美数”.28的真因数是1,2,4,7,14.因为1+2+4+7+14=28,所以28是“完美数”.32的真因数是1,2,4,8,16.因为1+2+4+8+16=31,所以32不是“完美数”.
解析
【分析】
首先明确“完美数”的定义：若一个数等于它全部真因数（除自身以外的因数）的和，这个数就是完美数。解题时按以下思路逐个排查选项：第一步先找出每个选项对应数字的所有真因数，第二步计算这些真因数的总和，第三步将总和与原数对比，二者相等即为完美数。
【解析】
A. 8的真因数是1、2、4，计算得$1+2+4=7$，$7≠8$，所以8不是完美数；
B. 18的真因数是1、2、3、6、9，计算得$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，所以18不是完美数；
C. 28的真因数是1、2、4、7、14，计算得$1+2+4+7+14=28$，和与原数相等，所以28是完美数；
D. 32的真因数是1、2、4、8、16，计算得$1+2+4+8+16=31$，$31≠32$，所以32不是完美数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义问题，因数的概念，有理数加法
【点评】
本题是典型的新定义类考题，重点考查对新定义的理解应用能力、因数查找能力以及基础加法运算能力，只要准确把握“真因数”“完美数”的含义，逐项计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确“完美数”的定义：若一个数等于它全部真因数（除自身以外的因数）的和，这个数就是完美数。解题时按以下思路逐个排查选项：第一步先找出每个选项对应数字的所有真因数，第二步计算这些真因数的总和，第三步将总和与原数对比，二者相等即为完美数。
【解析】
A. 8的真因数是1、2、4，计算得$1+2+4=7$，$7≠8$，所以8不是完美数；
B. 18的真因数是1、2、3、6、9，计算得$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，所以18不是完美数；
C. 28的真因数是1、2、4、7、14，计算得$1+2+4+7+14=28$，和与原数相等，所以28是完美数；
D. 32的真因数是1、2、4、8、16，计算得$1+2+4+8+16=31$，$31≠32$，所以32不是完美数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义问题，因数的概念，有理数加法
【点评】
本题是典型的新定义类考题，重点考查对新定义的理解应用能力、因数查找能力以及基础加法运算能力，只要准确把握“真因数”“完美数”的含义，逐项计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
