7 新考向 探究题 [2024 成都]在综合实践活动中，数学兴趣小组对 1～n 这 n 个自然数，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究。发现：当 $ n=2 $ 时，只有 $\{1,2\}$ 一种取法，即 $ k=1 $；当 $ n=3 $ 时，有 $\{1,3\}$ 和 $\{2,3\}$ 两种取法，即 $ k=2 $；当 $ n=4 $ 时，可得 $ k=4 $。若 $ n=6 $，则 $ k $ 的值为。

7. 9 【解析】当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,取两个数的和大于6,取法为{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},所以k=5+3+1=9.

【分析】
要解决该问题，可采用分类计数的思路避免重复或遗漏。解题时固定两个数中较大的数，从最大的数开始依次讨论，找出每个较大数对应的满足“两数之和大于6”的另一个数的个数，最后将所有个数相加即可得到总取法种数。
【解析】
当n=6时，从1~6中任取两个不同的数，要求两数之和大于6，按较大数分类讨论：
1. 若较大数为6：另一个数可以是1、2、3、4、5，共5种取法；
2. 若较大数为5：另一个数需满足与5的和大于6且小于5，即可以是2、3、4，共3种取法；
3. 若较大数为4：另一个数需满足与4的和大于6且小于4，即只能是3，共1种取法；
4. 若较大数≤3：两数相加最大为3+2=5＜6，没有符合要求的取法。
总取法种数k=5+3+1=9，也可枚举所有组合验证：{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3}，共9种。
【答案】
9
【知识点】
分类计数；有理数加法；规律探究
【点评】
本题属于探究类基础题，核心考查有序计数的能力，通过固定较大数分类讨论的方法，能有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，也可通过前面给出的小数值案例总结规律快速求解。
【难度系数】
0.7

8（1）观察分析:在一次数学综合实践活动中,老师向同学们展示了如图①②③所示的三幅图形,观察图中涂色部分构成的图案,请写出两个这三个图案的共同特征；
（2）动手操作:请在图④中设计一个新的图案,使其满足你在(1)中发现的共同特征.

8. 答案不唯一,如(1) ① 沿一条直线翻折后,直线两侧的图案可以重合;② 涂色部分的面积之和相等 (2) 如图所示

【分析】
找多个图案的共同特征，通常可从图形的对称性、面积、形状等角度入手思考：第一步先观察对称性，尝试将图案沿中线折叠，判断能否重合；第二步计算阴影部分面积，设定每个小方格面积为单位1，分别数出三个图案阴影面积对比；第（2）问设计图案时，只要满足你归纳出的两个共同特征即可。
【解析】
（1）① 对称性分析：观察三幅图，都存在至少一条直线，沿这条直线翻折后，直线两侧的阴影图案能够完全重合，说明三个图案都属于轴对称图形；
② 面积分析：设每个小正方形的面积为1：
图①阴影是4个完整的小正方形，总面积=4×1=4；
图②阴影由8个直角边为1的等腰直角三角形组成，每个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，总面积=$8×\frac{1}{2}=4$；
图③阴影同样由8个上述等腰直角三角形组成，总面积也为4；
因此三个图案的涂色部分面积相等。
（2）设计图案时，只要保证图案是轴对称图形，且涂色部分面积为4即可，参考设计如下。
【答案】
答案不唯一，如(1) ① 沿一条直线翻折后，直线两侧的图案可以重合;② 涂色部分的面积之和相等 (2) 如图所示
【知识点】
轴对称图形识别、面积计算、图案设计
【点评】
本题属于开放性探究题，既考查对图形基础性质的观察归纳能力，也锻炼动手实践的创新能力，只要设计的图案符合归纳的共同特征即为正确。
【难度系数】
0.8

9 新考向 探究题 七年级学生站队,每排5人多2人,每排6人多3人,每排4人少3人.如果七年级学生的人数不超过200,那么七年级学生最多有多少人?

9. 因为5,6互质,所以5,6的最小公倍数为5×6=30.因为七年级学生的人数不超过200,所以200以内5,6的公倍数有30,60,90,120,150,180.所以七年级的学生可能有30-3=27(人),60-3=57(人),90-3=87(人),120-3=117(人),150-3=147(人),180-3=177(人).把可能的人数除以4,如果还剩下1人,那么这个数就是七年级的学生人数.27÷4=6(排)……3(人),不符合题意;57÷4=14(排)……1(人),符合题意;87÷4=21(排)……3(人),不符合题意;117÷4=29(排)……1(人),符合题意;147÷4=36(排)……3(人),不符合题意;177÷4=44(排)……1(人),符合题意.因为57＜117＜177,所以七年级学生最多有177人

【分析】
解题时先转化题目中的余数条件：每排5人多2人，即总人数加3可被5整除；每排6人多3人，即总人数加3可被6整除，因此总人数加3后是5和6的公倍数。我们先找出200以内5和6的所有公倍数，将公倍数减3得到总人数的候选值，再结合“每排4人少3人”（即总人数除以4余1）的条件逐一验证候选值，最后选出不超过200的最大符合值即可。
【解析】
解：① 求5和6的最小公倍数：5和6互质，最小公倍数为$5×6=30$。
② 列出200以内5和6的所有公倍数：30、60、90、120、150、180。
③ 结合前两个站队条件，总人数=公倍数-3，可得候选人数：
$30-3=27$（人），$60-3=57$（人），$90-3=87$（人），$120-3=117$（人），$150-3=147$（人），$180-3=177$（人）。
④ 验证“每排4人少3人”的条件：每排4人少3人即总人数除以4余1，分别计算：
$27÷4=6······3$，不符合；
$57÷4=14······1$，符合；
$87÷4=21······3$，不符合；
$117÷4=29······1$，符合；
$147÷4=36······3$，不符合；
$177÷4=44······1$，符合。
⑤ 比较符合条件的人数：$57＜117＜177$，且177＜200。
【答案】
177人
【知识点】
公倍数应用，有余数的除法，最小公倍数计算
【点评】
这是结合生活实际的余数探究题，解题核心是将不同的余数表述转化为公倍数相关的统一条件，先缩小候选数范围再逐一验证，能有效考查学生的条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

10 [2024 北京]联欢会有 A,B,C,D 四个节目需要彩排,所有演员到场后节目彩排开始,一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下表:
| 节 目 | A | B | C | D |
| ------- | --- | --- | --- | --- |
| 演员人数 | 10 | | 10 | 1 |
| 彩排时长 | 30 | 10 | 20 | 10 |
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).
(1) 若节目按“A→B→C→D”的先后顺序彩排,则节目 D 的演员的候场时间为min;
(2) 若使这 23 位演员的候场时间之和最小,则节目应按的先后顺序彩排.

10. (1) 60 【解析】节目D的演员的候场时间为30+10+20=60(min).
(2) C→A→B→D 【解析】第一步:因为A和C的演员人数一样,彩排时长不一样,那么时长较长的节目应该往后排,因此C在A的前面.因为B和D彩排时长一样,人数不一样,那么人数较少的应该往后排,这样等待的时长之和会少一些,因此B在D前面.第二步:列举出所有符合“C在A前面、B在D前面”的情况,并计算对应的23位演员候场时间之和,列表如下:
| 情 况 | 彩排顺序 | 23位演员候场时间之和/min |
| --- | --- | --- |
| ① | C→A→B→D | 10×20+2×50+1×60=360 |
| ② | C→B→A→D | 2×20+10×30+1×60=400 |
| ③ | C→B→D→A | 2×20+1×30+10×40=470 |
| ④ | B→C→A→D | 10×10+10×30+1×60=460 |
| ⑤ | B→C→D→A | 10×10+1×30+10×40=530 |
| ⑥ | B→D→C→A | 1×10+10×20+10×40=610 |

【分析】
(1) 首先明确候场时间的定义：演员的候场时间是其参演节目开始前所有已彩排节目的时长总和。要求节目D演员的候场时间，只需将D之前的A、B、C三个节目的彩排时长相加即可。
(2) 要让23位演员的候场时间总和最小，核心逻辑是：总候场时间=每个节目演员人数×该节目之前的总彩排时长的累加和。首先可先确定部分节目的顺序：①演员人数相同的节目，时长更短的排在前面，能减少后续大量演员的等待时间，A和C都是10人，C时长20min短于A的30min，所以C排在A前面；②时长相同的节目，人数更多的排在前面，能减少后续更少人数的等待时间，B和D都是10min，B的2人多于D的1人，所以B排在D前面。接下来只需列出所有满足“C在A前、B在D前”的排列，分别计算总候场时间，比较得到最小值对应的顺序即可。
【解析】
(1) 按“A→B→C→D”顺序彩排，节目D开始前的总时长为A、B、C的彩排时长之和：$30+10+20=60(\mathrm{min})$，因此节目D的演员候场时间为60min。
(2) 总候场时间计算规则：每个节目的演员人数乘该节目之前所有节目的总时长，再相加求和。
首先确定排序规则：A、C演员人数相同，C时长更短，故C排在A前；B、D时长相同，B人数更多，故B排在D前。
列出所有符合上述规则的彩排顺序，分别计算总候场时间：
① 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=10×20 + 2×(20+30) + 1×(20+30+10) = 200 + 100 + 60 = 360(\mathrm{min})$
② 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{B}\to\mathrm{A}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=2×20 + 10×(20+10) + 1×(20+10+30) = 40 + 300 + 60 = 400(\mathrm{min})$
③ 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=2×20 + 1×(20+10) + 10×(20+10+10) = 40 + 30 + 400 = 470(\mathrm{min})$
④ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=10×10 + 10×(10+20) + 1×(10+20+30) = 100 + 300 + 60 = 460(\mathrm{min})$
⑤ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{D}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=10×10 + 1×(10+20) + 10×(10+20+10) = 100 + 30 + 400 = 530(\mathrm{min})$
⑥ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{D}\to\mathrm{C}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=1×10 + 10×(10+10) + 10×(10+10+20) = 10 + 200 + 400 = 610(\mathrm{min})$
对比可知总候场时间最小为360min，对应顺序为$\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$。
【答案】
(1) $60$；(2) $\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$
【知识点】
有理数四则运算，最优方案选择，列举法
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对新概念的理解和应用能力，第一问较为基础，直接计算即可；第二问需要先通过逻辑分析缩小排列范围，再通过列举计算对比得到最优结果，锻炼了逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6