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7. 如图①是边长为 18 cm 的正方形纸板,截掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子.已知该长方体的宽是高的 2倍,则它的体积是
216
$\mathrm{cm}^3$.答案
7.216
解析
【分析】
要解这道题，首先结合长方体展开图的特征，找到正方形边长和长方体长、宽、高的对应关系。我们先设长方体的高为未知数，根据“宽是高的2倍”表示出宽，再利用正方形边长为18cm的条件列方程求出高和宽，接着求出长，最后根据长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
解：设长方体盒子的高为$x\ \mathrm{cm}$，则宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
观察正方形纸板的纵向边长，可得等量关系：2个高 + 2个宽 = 正方形边长18cm，列方程：
$2x + 2×2x = 18$
合并同类项得：$6x = 18$
解得：$x = 3$
因此高为$3\ \mathrm{cm}$，宽为$2×3=6\ \mathrm{cm}$。
再观察正方形纸板的横向边长，可得长 = 正方形边长 - 2个高，即长为$18 - 2×3 = 12\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式：体积 = 长×宽×高，代入得：
$V=12×6×3 = 216(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
216
【知识点】
一元一次方程应用，长方体展开图，长方体体积计算
【点评】
本题重点考查立体图形展开图与原立体图形的对应关系，解题核心是找准边长的等量关系列方程，能有效锻炼空间想象能力和代数方程的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先结合长方体展开图的特征，找到正方形边长和长方体长、宽、高的对应关系。我们先设长方体的高为未知数，根据“宽是高的2倍”表示出宽，再利用正方形边长为18cm的条件列方程求出高和宽，接着求出长，最后根据长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
解：设长方体盒子的高为$x\ \mathrm{cm}$，则宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
观察正方形纸板的纵向边长，可得等量关系：2个高 + 2个宽 = 正方形边长18cm，列方程：
$2x + 2×2x = 18$
合并同类项得：$6x = 18$
解得：$x = 3$
因此高为$3\ \mathrm{cm}$，宽为$2×3=6\ \mathrm{cm}$。
再观察正方形纸板的横向边长，可得长 = 正方形边长 - 2个高，即长为$18 - 2×3 = 12\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式：体积 = 长×宽×高，代入得：
$V=12×6×3 = 216(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
216
【知识点】
一元一次方程应用，长方体展开图，长方体体积计算
【点评】
本题重点考查立体图形展开图与原立体图形的对应关系，解题核心是找准边长的等量关系列方程，能有效锻炼空间想象能力和代数方程的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图为一个长方体的表面展开图，且长方体的底面为正方形.根据图中标示的长度，则此长方体的体积为
224
.答案
8.224
解析
【分析】
首先明确长方体底面是正方形，即长与宽长度相等，我们可设底面正方形边长为a，长方体的高为h。第一步观察展开图中标注的12，它对应3个底面正方形边长的和，可求出a的值；第二步观察标注的22，它对应长方体的高与2个底面正方形边长的和，代入a的值可求出高h；最后根据长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
解：设长方体底面正方形的边长为$a$，长方体的高为$h$。
1. 求底面正方形边长：
由展开图可知，3个底面边长的和为12，即
$3a=12$
解得$a=4$
2. 求长方体的高：
由展开图可知，高加2个底面边长的和为22，即
$h+2a=22$
将$a=4$代入得：$h+2×4=22$
解得$h=14$
3. 计算长方体体积：
长方体体积公式为$V=长×宽×高=a× a× h$
代入数值得：$V=4×4×14=224$
【答案】
224
【知识点】
长方体展开图特征、长方体体积计算、正方形性质
【点评】
本题解题核心是能准确识别长方体表面展开图中各条线段对应的棱长，结合底面是正方形的条件找到等量关系求出未知棱长，再代入体积公式求解，易错点是误判展开图中长度对应的棱长组成。
【难度系数】
0.7
首先明确长方体底面是正方形，即长与宽长度相等，我们可设底面正方形边长为a，长方体的高为h。第一步观察展开图中标注的12，它对应3个底面正方形边长的和，可求出a的值；第二步观察标注的22，它对应长方体的高与2个底面正方形边长的和，代入a的值可求出高h；最后根据长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
解：设长方体底面正方形的边长为$a$，长方体的高为$h$。
1. 求底面正方形边长：
由展开图可知，3个底面边长的和为12，即
$3a=12$
解得$a=4$
2. 求长方体的高：
由展开图可知，高加2个底面边长的和为22，即
$h+2a=22$
将$a=4$代入得：$h+2×4=22$
解得$h=14$
3. 计算长方体体积：
长方体体积公式为$V=长×宽×高=a× a× h$
代入数值得：$V=4×4×14=224$
【答案】
224
【知识点】
长方体展开图特征、长方体体积计算、正方形性质
【点评】
本题解题核心是能准确识别长方体表面展开图中各条线段对应的棱长，结合底面是正方形的条件找到等量关系求出未知棱长，再代入体积公式求解，易错点是误判展开图中长度对应的棱长组成。
【难度系数】
0.7
9.如图是一个正方体的表面展开图,若将它折叠成正方体后,相对的两个面上的数字互为相反数,则 $xy=$
8
.答案
9.8
解析
【分析】
解决本题的思路分为三步：第一步先判断正方体展开图中相对的面，可依据“同行间隔一个面的两个面为相对面，异列对应位置的面为相对面”的规律找相对面；第二步根据“相对的两个面上的数字互为相反数，即两数之和为0”的性质，分别列出关于x和y的一元一次方程；第三步解方程求出x、y的值，代入计算xy即可。
【解析】
首先判断相对面：观察展开图可知，$y+2$和$2y-8$为相对面，$\frac{1}{2}x+1$和$2x-11$为相对面，3和-3为相对面，已经满足互为相反数。
根据相对面的数字互为相反数，两数和为0，列方程：
1. 求y的值：
$\begin{aligned}(y+2)+(2y-8)&=0\\3y-6&=0\\3y&=6\\y&=2\end{aligned}$
2. 求x的值：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2}x+1)+(2x-11)&=0\\\frac{5}{2}x-10&=0\\\frac{5}{2}x&=10\\x&=4\end{aligned}$
3. 计算$xy$：
$xy=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
正方体展开图相对面判断、相反数的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将空间几何的展开图知识和代数方程知识结合，核心是准确识别相对面，再利用相反数性质列方程求解，掌握展开图相对面的判断规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路分为三步：第一步先判断正方体展开图中相对的面，可依据“同行间隔一个面的两个面为相对面，异列对应位置的面为相对面”的规律找相对面；第二步根据“相对的两个面上的数字互为相反数，即两数之和为0”的性质，分别列出关于x和y的一元一次方程；第三步解方程求出x、y的值，代入计算xy即可。
【解析】
首先判断相对面：观察展开图可知，$y+2$和$2y-8$为相对面，$\frac{1}{2}x+1$和$2x-11$为相对面，3和-3为相对面，已经满足互为相反数。
根据相对面的数字互为相反数，两数和为0，列方程：
1. 求y的值：
$\begin{aligned}(y+2)+(2y-8)&=0\\3y-6&=0\\3y&=6\\y&=2\end{aligned}$
2. 求x的值：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2}x+1)+(2x-11)&=0\\\frac{5}{2}x-10&=0\\\frac{5}{2}x&=10\\x&=4\end{aligned}$
3. 计算$xy$：
$xy=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
正方体展开图相对面判断、相反数的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将空间几何的展开图知识和代数方程知识结合，核心是准确识别相对面，再利用相反数性质列方程求解，掌握展开图相对面的判断规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积是
144或384π
.答案
10.144或384π
解析
【分析】
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征分类讨论求解：首先明确圆柱侧面展开得到的长方形，相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，两种边长分别作为底面周长的情况都要考虑；再根据圆的周长公式求出底面半径，最后代入圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算即可。
【解析】
圆柱侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，分两种情况计算：
情况1：当底面周长为$16π$，高为6时：
底面半径$ r = \frac{C}{2π} = \frac{16π}{2π} = 8 $
底面积$ S = π r^2 = π × 8^2 = 64π $
圆柱体积$ V = S × h = 64π × 6 = 384π $
情况2：当底面周长为6，高为$16π$时：
底面半径$ r = \frac{C}{2π} = \frac{6}{2π} = \frac{3}{π} $
底面积$ S = π r^2 = π × (\frac{3}{π})^2 = \frac{9}{π} $
圆柱体积$ V = S × h = \frac{9}{π} × 16π = 144 $
综上，圆柱的体积是144或$384π$。
【答案】
144或$384π$
【知识点】
圆柱侧面展开特征、圆的周长计算、圆柱体积计算
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况，解题时要注意侧面展开图的两条边都有可能是底面周长或高，计算时注意$π$的约分可简化运算。
【难度系数】
0.6
本题需要结合圆柱侧面展开图的特征分类讨论求解：首先明确圆柱侧面展开得到的长方形，相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，两种边长分别作为底面周长的情况都要考虑；再根据圆的周长公式求出底面半径，最后代入圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算即可。
【解析】
圆柱侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的高和底面圆的周长，分两种情况计算：
情况1：当底面周长为$16π$，高为6时：
底面半径$ r = \frac{C}{2π} = \frac{16π}{2π} = 8 $
底面积$ S = π r^2 = π × 8^2 = 64π $
圆柱体积$ V = S × h = 64π × 6 = 384π $
情况2：当底面周长为6，高为$16π$时：
底面半径$ r = \frac{C}{2π} = \frac{6}{2π} = \frac{3}{π} $
底面积$ S = π r^2 = π × (\frac{3}{π})^2 = \frac{9}{π} $
圆柱体积$ V = S × h = \frac{9}{π} × 16π = 144 $
综上，圆柱的体积是144或$384π$。
【答案】
144或$384π$
【知识点】
圆柱侧面展开特征、圆的周长计算、圆柱体积计算
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，只计算其中一种情况，解题时要注意侧面展开图的两条边都有可能是底面周长或高，计算时注意$π$的约分可简化运算。
【难度系数】
0.6
11. 在如图所示的正方体的表面展开图中,确定正方体上的点 M,N 的位置.
答案
11.解:如答图.
解析
【分析】
要确定M、N在展开图中的位置，需先建立正方体与展开图的对应关系：首先明确展开图中A、B、C、D四个面折叠后和原正方体对应面的位置关系；再观察原正方体上M、N所在的棱的位置：M在D面的上侧棱上，N在靠近C、B面的上方棱上；最后在展开图中找到折叠后与这两条棱对应的位置，标注M、N即可。
【解析】
解：1. 先将展开图想象折叠为正方体，可得到展开图的A、B、C、D面和原正方体的四个面完全对应。
2. 观察原正方体：点M在正方体D面的左侧上棱处，点N在正方体右侧面、靠近C面和B面的上棱处。
3. 在展开图中找到折叠后和上述两条棱重合的棱，分别在对应位置标注M、N即可。
【答案】
【知识点】
正方体表面展开图；展开与折叠
【点评】
本题主要考察空间想象能力，核心是掌握正方体展开图折叠还原过程中面、棱的对应关系，是几何入门阶段的常见题型。
【难度系数】
0.7
要确定M、N在展开图中的位置，需先建立正方体与展开图的对应关系：首先明确展开图中A、B、C、D四个面折叠后和原正方体对应面的位置关系；再观察原正方体上M、N所在的棱的位置：M在D面的上侧棱上，N在靠近C、B面的上方棱上；最后在展开图中找到折叠后与这两条棱对应的位置，标注M、N即可。
【解析】
解：1. 先将展开图想象折叠为正方体，可得到展开图的A、B、C、D面和原正方体的四个面完全对应。
2. 观察原正方体：点M在正方体D面的左侧上棱处，点N在正方体右侧面、靠近C面和B面的上棱处。
3. 在展开图中找到折叠后和上述两条棱重合的棱，分别在对应位置标注M、N即可。
【答案】
【知识点】
正方体表面展开图；展开与折叠
【点评】
本题主要考察空间想象能力，核心是掌握正方体展开图折叠还原过程中面、棱的对应关系，是几何入门阶段的常见题型。
【难度系数】
0.7
12.如图①是一个无盖的正方体盒子,请把下列不完整的展开图补充完整.(请画出三种)
答案
12.解:如答图.(答案不唯一)
解析
【分析】
要补充无盖正方体的不完整展开图，首先明确无盖正方体共有5个面，题目给出的不完整展开图已有4个正方形，只需补充1个正方形即可。解题时先回忆无盖正方体展开图的特征：折叠后各个面不重叠，能围成缺少顶面的正方体，不能出现“田”字形、“凹”字形这类无法折叠成正方体的结构。接下来尝试在现有图形的不同空白位置添加正方形，验证折叠后是否符合无盖正方体的结构，即可得到符合要求的补充方案。
【解析】
1. 首先明确无盖正方体的展开图由5个完全相同的正方形组成，折叠后可围成只有5个面的正方体，本题需补充1个正方形。
2. 排除会形成“田”字、“凹”形的位置，这类位置补充后无法折叠为无盖正方体。
3. 分别在现有图形的合理位置添加正方形，验证折叠后无面重叠、可围成无盖正方体，即可得到符合要求的补充结果。
【答案】
解:如答图.(答案不唯一)
【知识点】
正方体展开图；展开与折叠
【点评】
本题是开放型题目，考查无盖正方体展开图的相关知识，需要学生结合空间想象能力判断补充面的合理位置，答案不唯一，能有效锻炼学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.7
要补充无盖正方体的不完整展开图，首先明确无盖正方体共有5个面，题目给出的不完整展开图已有4个正方形，只需补充1个正方形即可。解题时先回忆无盖正方体展开图的特征：折叠后各个面不重叠，能围成缺少顶面的正方体，不能出现“田”字形、“凹”字形这类无法折叠成正方体的结构。接下来尝试在现有图形的不同空白位置添加正方形，验证折叠后是否符合无盖正方体的结构，即可得到符合要求的补充方案。
【解析】
1. 首先明确无盖正方体的展开图由5个完全相同的正方形组成，折叠后可围成只有5个面的正方体，本题需补充1个正方形。
2. 排除会形成“田”字、“凹”形的位置，这类位置补充后无法折叠为无盖正方体。
3. 分别在现有图形的合理位置添加正方形，验证折叠后无面重叠、可围成无盖正方体，即可得到符合要求的补充结果。
【答案】
解:如答图.(答案不唯一)
【知识点】
正方体展开图；展开与折叠
【点评】
本题是开放型题目，考查无盖正方体展开图的相关知识，需要学生结合空间想象能力判断补充面的合理位置，答案不唯一，能有效锻炼学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.7
13.小明用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了
(2)如图③，这个长方体纸盒高为10 cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是160 cm，求这个长方体纸盒的体积.
(1)小明总共剪开了
8
条棱；(2)如图③，这个长方体纸盒高为10 cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是160 cm，求这个长方体纸盒的体积.
答案
13.(1)8
(2)解:因为这个长方体的底面是正方形,高为 10 cm,所有棱长之和是 160 cm,所以这个长方体底面边长为
$(160-10×4)÷8=15(\mathrm{cm})$,所以这个长方体纸盒的体积为 $15×15×10=2250(\mathrm{cm}^3)$.
答:这个长方体纸盒的体积为 $2250\ \mathrm{cm}^3$.
(2)解:因为这个长方体的底面是正方形,高为 10 cm,所有棱长之和是 160 cm,所以这个长方体底面边长为
$(160-10×4)÷8=15(\mathrm{cm})$,所以这个长方体纸盒的体积为 $15×15×10=2250(\mathrm{cm}^3)$.
答:这个长方体纸盒的体积为 $2250\ \mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆长方体的棱的总数：长方体共有12条棱。若将长方体剪为完整的一个连通展开图，需保留5条棱连接各个面，因此正常需要剪开12-5=7条棱；本题中多剪了1条棱使纸盒分成两部分，因此总剪开棱数为7加1即可得到结果。
(2) 先明确长方体棱长总和公式：长方体棱长总和=4×(长+宽+高)，已知底面为正方形，即长=宽，结合给出的高和总棱长和，先求出长（宽）的长度，再代入长方体体积公式V=长×宽×高计算即可得到体积。
【解析】
(1) 长方体共有12条棱，完整的长方体连通展开图有5条未剪开的连接棱，正常剪开棱数为12-5=7条，多剪1条后，总共剪开的棱数为7+1=8条。
(2) 解：已知长方体纸盒高为10 cm，底面是正方形，即长=宽，所有棱长的和是160 cm。
长方体有4条高，4条长，4条宽，因此4条高的总长度为10×4=40 cm，
剩余8条等长的棱（4条长+4条宽）的总长度为160-40=120 cm，
则底面正方形的边长为120÷8=15 cm，
根据长方体体积公式，体积为15×15×10=2250（$\mathrm{cm}^3$）。
答：这个长方体纸盒的体积为$2250\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 8；(2) $2250\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体展开图；长方体棱长和计算；长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体的基本性质，结合展开图的特征和棱长、体积公式设置问题，解题的关键是熟练掌握长方体展开图的棱的数量规律，以及棱长和、体积的计算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆长方体的棱的总数：长方体共有12条棱。若将长方体剪为完整的一个连通展开图，需保留5条棱连接各个面，因此正常需要剪开12-5=7条棱；本题中多剪了1条棱使纸盒分成两部分，因此总剪开棱数为7加1即可得到结果。
(2) 先明确长方体棱长总和公式：长方体棱长总和=4×(长+宽+高)，已知底面为正方形，即长=宽，结合给出的高和总棱长和，先求出长（宽）的长度，再代入长方体体积公式V=长×宽×高计算即可得到体积。
【解析】
(1) 长方体共有12条棱，完整的长方体连通展开图有5条未剪开的连接棱，正常剪开棱数为12-5=7条，多剪1条后，总共剪开的棱数为7+1=8条。
(2) 解：已知长方体纸盒高为10 cm，底面是正方形，即长=宽，所有棱长的和是160 cm。
长方体有4条高，4条长，4条宽，因此4条高的总长度为10×4=40 cm，
剩余8条等长的棱（4条长+4条宽）的总长度为160-40=120 cm，
则底面正方形的边长为120÷8=15 cm，
根据长方体体积公式，体积为15×15×10=2250（$\mathrm{cm}^3$）。
答：这个长方体纸盒的体积为$2250\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 8；(2) $2250\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体展开图；长方体棱长和计算；长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体的基本性质，结合展开图的特征和棱长、体积公式设置问题，解题的关键是熟练掌握长方体展开图的棱的数量规律，以及棱长和、体积的计算公式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
