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1. 某班综合实践小组开展“制作长方体纸盒”的实践活动.
【知识准备】
在图①②③④中,可能是无盖正方体纸盒的表面展开图的有________;(填序号)
【制作纸盒】
综合实践小组利用边长为20 cm的正方形纸板,按以下两种方式制作长方体盒子:
如图⑤,先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为3 cm的小正方形,再沿虚线折合起来,可制作一个无盖长方体盒子.如图⑥,先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为3 cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来,可制作一个有盖的长方体盒子.则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的________倍;
【拓展探究】
若有盖长方体盒子的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,则该长方体盒子表面展开图的外围周长最小为________cm.
【知识准备】
在图①②③④中,可能是无盖正方体纸盒的表面展开图的有________;(填序号)
【制作纸盒】
综合实践小组利用边长为20 cm的正方形纸板,按以下两种方式制作长方体盒子:
如图⑤,先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为3 cm的小正方形,再沿虚线折合起来,可制作一个无盖长方体盒子.如图⑥,先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为3 cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来,可制作一个有盖的长方体盒子.则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的________倍;
【拓展探究】
若有盖长方体盒子的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,则该长方体盒子表面展开图的外围周长最小为________cm.
答案
1.【知识准备】①③
【制作纸盒】2
【拓展探究】50
【制作纸盒】2
【拓展探究】50
解析
【分析】
本题分为三个模块，逐步考查立体图形展开相关知识：
1. 知识准备模块：无盖正方体展开图共由5个正方形组成，首先排除含6个正方形的图④；再判断剩余图形折叠时是否会出现面重叠，图②折叠时存在面重叠的问题，无法拼成无盖正方体，仅①③符合要求。
2. 制作纸盒模块：分别计算两种盒子的体积再求倍数：无盖盒子剪去边长3cm的小正方形后，折叠的高为3cm，长、宽均为原正方形边长减去2个3cm，用长方体体积公式计算即可；有盖盒子高同样为3cm，长为20减去2个3cm，宽为（20减去2个3cm）的一半，计算体积后用无盖体积除以有盖体积即可得到倍数。
3. 拓展探究模块：要使展开图外围周长最小，需尽量让长度更大的棱作为展开时内部重合的棱，减少长棱暴露在外围，结合长宽高选择最优展开方式计算即可。
【解析】
知识准备
无盖正方体的表面展开图共含5个正方形，先排除有6个正方形的④；
图②折叠时会出现面重叠，无法拼成无盖正方体；
图①③均可顺利折叠为无盖正方体，故填①③。
制作纸盒
1. 无盖盒子体积计算：
剪去的小正方形边长为3cm，折叠后盒子高$h_1=3\mathrm{cm}$，
长和宽均为$20-2×3=14\mathrm{cm}$，
体积$V_1=14×14×3=588\mathrm{cm}^3$。
2. 有盖盒子体积计算：
折叠后盒子高$h_2=3\mathrm{cm}$，
长为$20-2×3=14\mathrm{cm}$，
宽为$(20-2×3)÷2=7\mathrm{cm}$，
体积$V_2=14×7×3=294\mathrm{cm}^3$。
3. 求倍数：$588÷294=2$。
拓展探究
要使展开图外围周长最小，需让未剪开的公共棱总长度最大，优先选择更长的棱作为公共棱，经计算最优展开方式下外围周长为50cm。
【答案】
【知识准备】①③；【制作纸盒】2；【拓展探究】50
【知识点】
正方体展开图识别；长方体体积计算；长方体展开图最值
【点评】
本题结合实践操作场景考查立体图形的展开与计算，既要求掌握基础的体积计算公式，也需要具备一定的空间想象能力，贴合综合实践的考查方向。
【难度系数】
0.6
本题分为三个模块，逐步考查立体图形展开相关知识：
1. 知识准备模块：无盖正方体展开图共由5个正方形组成，首先排除含6个正方形的图④；再判断剩余图形折叠时是否会出现面重叠，图②折叠时存在面重叠的问题，无法拼成无盖正方体，仅①③符合要求。
2. 制作纸盒模块：分别计算两种盒子的体积再求倍数：无盖盒子剪去边长3cm的小正方形后，折叠的高为3cm，长、宽均为原正方形边长减去2个3cm，用长方体体积公式计算即可；有盖盒子高同样为3cm，长为20减去2个3cm，宽为（20减去2个3cm）的一半，计算体积后用无盖体积除以有盖体积即可得到倍数。
3. 拓展探究模块：要使展开图外围周长最小，需尽量让长度更大的棱作为展开时内部重合的棱，减少长棱暴露在外围，结合长宽高选择最优展开方式计算即可。
【解析】
知识准备
无盖正方体的表面展开图共含5个正方形，先排除有6个正方形的④；
图②折叠时会出现面重叠，无法拼成无盖正方体；
图①③均可顺利折叠为无盖正方体，故填①③。
制作纸盒
1. 无盖盒子体积计算：
剪去的小正方形边长为3cm，折叠后盒子高$h_1=3\mathrm{cm}$，
长和宽均为$20-2×3=14\mathrm{cm}$，
体积$V_1=14×14×3=588\mathrm{cm}^3$。
2. 有盖盒子体积计算：
折叠后盒子高$h_2=3\mathrm{cm}$，
长为$20-2×3=14\mathrm{cm}$，
宽为$(20-2×3)÷2=7\mathrm{cm}$，
体积$V_2=14×7×3=294\mathrm{cm}^3$。
3. 求倍数：$588÷294=2$。
拓展探究
要使展开图外围周长最小，需让未剪开的公共棱总长度最大，优先选择更长的棱作为公共棱，经计算最优展开方式下外围周长为50cm。
【答案】
【知识准备】①③；【制作纸盒】2；【拓展探究】50
【知识点】
正方体展开图识别；长方体体积计算；长方体展开图最值
【点评】
本题结合实践操作场景考查立体图形的展开与计算，既要求掌握基础的体积计算公式，也需要具备一定的空间想象能力，贴合综合实践的考查方向。
【难度系数】
0.6
2. 如图①为一个长方体，$AD=AB=10$，$AE=6$，图②为图①的表面展开图(字在外表面上)，请根据要求回答问题：
(1)“扬”所在的面的对面写的字是________；
(2)如果“丽”在右面，“美”在后面，那么上面的字是________；
(3)图①中，$M,N$为所在棱的中点，试在图②中画出点$M,N$的位置，并求出图②中三角形$ABM$的面积.
(1)“扬”所在的面的对面写的字是________；
(2)如果“丽”在右面，“美”在后面，那么上面的字是________；
(3)图①中，$M,N$为所在棱的中点，试在图②中画出点$M,N$的位置，并求出图②中三角形$ABM$的面积.
答案
(1)爱
(2)扬
(3)解:标出点 M,N 的位置如答图.
情况 1:根据三角形的边长求出三角形 $ABM_1$ 的面积为
$10×5×\frac{1}{2}=25.$
情况 2:根据三角形的边长求出三角形 $ABM_2$ 的面积为
$(6+5)×10×\frac{1}{2}=55.$
第2题答图
(2)扬
(3)解:标出点 M,N 的位置如答图.
情况 1:根据三角形的边长求出三角形 $ABM_1$ 的面积为
$10×5×\frac{1}{2}=25.$
情况 2:根据三角形的边长求出三角形 $ABM_2$ 的面积为
$(6+5)×10×\frac{1}{2}=55.$
第2题答图
解析
【分析】
(1) 解决第一问需掌握长方体表面展开图相对面的判断方法：相对的面在展开图中不相邻，没有公共边和公共顶点，据此找到“扬”所在面的对面即可。
(2) 第二问根据给定的“丽”在右面、“美”在后面的方位，结合相对面的对应关系，通过空间想象还原长方体的方位，判断出上面的字。
(3) 第三问首先确定M是所在棱的中点，因此中点将长为10的棱分为长度为5的两段；由于长方体展开后，M所在的面有两种位置与AB所在的面相邻，因此分两种情况计算△ABM的面积：分别找到两种情况下AB边上的高，再用三角形面积公式（面积=底×高÷2）计算即可。
【解析】
(1) 观察长方体展开图，相对面分别为：“丽”对“州”，“美”对“我”，“扬”对“爱”，因此“扬”所在面的对面是“爱”。
(2) 若“丽”在右面，“美”在后面，结合相对面关系可知“州”在左面，“我”在前面，此时剩下的上下面对应为“扬”和“爱”，结合外表面的字的朝向，可得上面的字是“扬”。
(3) 首先标记M、N的位置（M为所在棱中点，展开图中存在2个对应M的位置，N同理标记即可）：
情况1：M到AB的垂直距离为5，以AB=10为底，此时$△ ABM$的面积为$\frac{1}{2}×10×5=25$；
情况2：M到AB的垂直距离为$6+5=11$，以AB=10为底，此时$△ ABM$的面积为$\frac{1}{2}×10×(6+5)=55$。
【答案】
(1) 爱
(2) 扬
(3) 点M、N位置略，$△ ABM$的面积为25或55
【知识点】
长方体展开图、相对面判断、三角形面积计算
【点评】
本题主要考查长方体展开图的相关性质，既需要学生具备一定的空间想象能力还原立体图形，也需要在计算面积时考虑所有可能的位置情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问需掌握长方体表面展开图相对面的判断方法：相对的面在展开图中不相邻，没有公共边和公共顶点，据此找到“扬”所在面的对面即可。
(2) 第二问根据给定的“丽”在右面、“美”在后面的方位，结合相对面的对应关系，通过空间想象还原长方体的方位，判断出上面的字。
(3) 第三问首先确定M是所在棱的中点，因此中点将长为10的棱分为长度为5的两段；由于长方体展开后，M所在的面有两种位置与AB所在的面相邻，因此分两种情况计算△ABM的面积：分别找到两种情况下AB边上的高，再用三角形面积公式（面积=底×高÷2）计算即可。
【解析】
(1) 观察长方体展开图，相对面分别为：“丽”对“州”，“美”对“我”，“扬”对“爱”，因此“扬”所在面的对面是“爱”。
(2) 若“丽”在右面，“美”在后面，结合相对面关系可知“州”在左面，“我”在前面，此时剩下的上下面对应为“扬”和“爱”，结合外表面的字的朝向，可得上面的字是“扬”。
(3) 首先标记M、N的位置（M为所在棱中点，展开图中存在2个对应M的位置，N同理标记即可）：
情况1：M到AB的垂直距离为5，以AB=10为底，此时$△ ABM$的面积为$\frac{1}{2}×10×5=25$；
情况2：M到AB的垂直距离为$6+5=11$，以AB=10为底，此时$△ ABM$的面积为$\frac{1}{2}×10×(6+5)=55$。
【答案】
(1) 爱
(2) 扬
(3) 点M、N位置略，$△ ABM$的面积为25或55
【知识点】
长方体展开图、相对面判断、三角形面积计算
【点评】
本题主要考查长方体展开图的相关性质，既需要学生具备一定的空间想象能力还原立体图形，也需要在计算面积时考虑所有可能的位置情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
