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14. 已知$m$，$n$为实数，且$m - n = 6$，$m ≥ -2n$，则下列关于$\frac{n+1}{m}$的说法中正确的是（）
A.有最大值，且最大值为$\frac{1}{4}$
B.有最小值，且最小值为$\frac{1}{4}$
C.有最大值，且最大值为$-\frac{1}{4}$
D.有最小值，且最小值为$-\frac{1}{4}$
A.有最大值，且最大值为$\frac{1}{4}$
B.有最小值，且最小值为$\frac{1}{4}$
C.有最大值，且最大值为$-\frac{1}{4}$
D.有最小值，且最小值为$-\frac{1}{4}$
答案
D
解析
由$m-n=6$可得$n=m-6$，将其代入不等式$m≥ -2n$：
$m≥ -2(m-6)$，展开移项得$3m≥12$，解得$m≥4$。
将$n=m-6$代入$\frac{n+1}{m}$，变形得：
$\frac{n+1}{m}=\frac{(m-6)+1}{m}=\frac{m-5}{m}=1-\frac{5}{m}$。
由$m≥4$可得$0＜\frac{1}{m}≤\frac{1}{4}$，两边同乘$-5$得$-\frac{5}{4}≤-\frac{5}{m}＜0$，两边加1得$-\frac{1}{4}≤1-\frac{5}{m}＜1$。
因此$\frac{n+1}{m}$有最小值，最小值为$-\frac{1}{4}$。
$m≥ -2(m-6)$，展开移项得$3m≥12$，解得$m≥4$。
将$n=m-6$代入$\frac{n+1}{m}$，变形得：
$\frac{n+1}{m}=\frac{(m-6)+1}{m}=\frac{m-5}{m}=1-\frac{5}{m}$。
由$m≥4$可得$0＜\frac{1}{m}≤\frac{1}{4}$，两边同乘$-5$得$-\frac{5}{4}≤-\frac{5}{m}＜0$，两边加1得$-\frac{1}{4}≤1-\frac{5}{m}＜1$。
因此$\frac{n+1}{m}$有最小值，最小值为$-\frac{1}{4}$。
15. 已知$a-\frac{1}{a}=3$，且$\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 - a}=5$，则$x$的值是（）
A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{8}{3}$
A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{8}{3}$
答案
B
解析
1. 由$a-\frac{1}{a}=3$，两边平方得：$(a-\frac{1}{a})^2=a^2-2+\frac{1}{a^2}=9$，因此$a^2+\frac{1}{a^2}=11$。
2. 因为$a≠0$，将等式$\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 - a}=5$的分子、分母同时除以$a^2$：
分子化简为：$2a^2-3x+\frac{2}{a^2}=2(a^2+\frac{1}{a^2})-3x=2×11-3x=22-3x$
分母化简为：$a-\frac{1}{a}=3$
3. 原等式转化为$\frac{22-3x}{3}=5$，解得$22-3x=15$，即$x=\frac{7}{3}$。
2. 因为$a≠0$，将等式$\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 - a}=5$的分子、分母同时除以$a^2$：
分子化简为：$2a^2-3x+\frac{2}{a^2}=2(a^2+\frac{1}{a^2})-3x=2×11-3x=22-3x$
分母化简为：$a-\frac{1}{a}=3$
3. 原等式转化为$\frac{22-3x}{3}=5$，解得$22-3x=15$，即$x=\frac{7}{3}$。
16. 定义运算：$f(x_n)=\dfrac{3x_{n-1}}{x_{n-1}+3}(n≥2,且n为正整数)$。若$x_1=\dfrac{1}{2},f(x_2)=\dfrac{3x_1}{x_1+3}=\dfrac{3×\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+3}=\dfrac{3}{7};f(x_3)=\dfrac{3x_2}{x_2+3}=\dfrac{3×\dfrac{3}{7}}{\dfrac{3}{7}+3}=\dfrac{3}{8};···,化简：f(x_n)+\dfrac{2n-20}{25-n^2}=（ ）$
A.$\dfrac{1}{n-5}$
B.$\dfrac{n-5}{n^2-25}$
C.$\dfrac{1}{n+5}$
D.$\dfrac{n+5}{n^2-25}$
A.$\dfrac{1}{n-5}$
B.$\dfrac{n-5}{n^2-25}$
C.$\dfrac{1}{n+5}$
D.$\dfrac{n+5}{n^2-25}$
答案
A
解析
1. 推导$f(x_n)$的表达式：观察已知运算结果$f(x_2)=\frac{3}{7}$，$f(x_3)=\frac{3}{8}$，$f(x_4)=\frac{3}{9}$，可归纳得$f(x_n)=\frac{3}{n+5}$；也可对定义式取倒数，得$\frac{1}{f(x_n)}=\frac{x_{n-1}+3}{3x_{n-1}}=\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{3}$，推导得$\frac{1}{f(x_n)}=\frac{n+5}{3}$，即$f(x_n)=\frac{3}{n+5}$。
2. 通分化简代数式：
$\begin{aligned}f(x_n)+\frac{2n-20}{25-n^2}&=\frac{3}{n+5}+\frac{2n-20}{-(n^2-25)}\\&=\frac{3}{n+5}-\frac{2n-20}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{3(n-5)-2n+20}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{n+5}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{1}{n-5}\end{aligned}$
2. 通分化简代数式：
$\begin{aligned}f(x_n)+\frac{2n-20}{25-n^2}&=\frac{3}{n+5}+\frac{2n-20}{-(n^2-25)}\\&=\frac{3}{n+5}-\frac{2n-20}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{3(n-5)-2n+20}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{n+5}{(n-5)(n+5)}\\&=\frac{1}{n-5}\end{aligned}$
17.若实数$x$和$y$互为倒数，则$\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y} ÷ ( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} )$的值为________。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y} ÷ ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} )&=\frac{(x+y)^2}{x+y} ÷ \frac{x+y}{xy}\\&=(x+y) · \frac{xy}{x+y}\\&=xy\end{aligned}$
∵ 实数x和y互为倒数，
∴ $xy=1$，
即原式的值为$\boldsymbol{1}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y} ÷ ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} )&=\frac{(x+y)^2}{x+y} ÷ \frac{x+y}{xy}\\&=(x+y) · \frac{xy}{x+y}\\&=xy\end{aligned}$
∵ 实数x和y互为倒数，
∴ $xy=1$，
即原式的值为$\boldsymbol{1}$。
18.若$\frac{2x+3}{x-1}=A-\frac{5}{1-x}$，则A的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
移项可得：
$A = \frac{2x+3}{x-1} + \frac{5}{1-x}$
将$\frac{5}{1-x}$变形为$-\frac{5}{x-1}$，代入得：
$A = \frac{2x+3}{x-1} - \frac{5}{x-1}$
同分母分式相加减，得：
$A = \frac{2x+3-5}{x-1} = \frac{2x-2}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1}$
由分式有意义可知$x≠1$，约分后得$A=2$。
移项可得：
$A = \frac{2x+3}{x-1} + \frac{5}{1-x}$
将$\frac{5}{1-x}$变形为$-\frac{5}{x-1}$，代入得：
$A = \frac{2x+3}{x-1} - \frac{5}{x-1}$
同分母分式相加减，得：
$A = \frac{2x+3-5}{x-1} = \frac{2x-2}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1}$
由分式有意义可知$x≠1$，约分后得$A=2$。
19. 当$x=\sqrt{2024}+3$时，$(\dfrac{x+3}{x^2 -3x} - \dfrac{x-1}{x^2 -6x +9}) ÷ \dfrac{x-9}{x}$的值是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2024}}$
解析
解：
先对原式化简：
$\begin{aligned}&(\frac{x+3}{x^2 -3x} - \frac{x-1}{x^2 -6x +9}) ÷ \frac{x-9}{x}\\=&[\frac{x+3}{x(x-3)} - \frac{x-1}{(x-3)^2}] · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{(x+3)(x-3) - x(x-1)}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{x^2 -9 -x^2 +x}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{x-9}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{1}{(x-3)^2}\end{aligned}$
将$x=\sqrt{2024}+3$代入，得$x-3=\sqrt{2024}$，因此：
$\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{1}{(\sqrt{2024})^2}=\frac{1}{2024}$
最终
先对原式化简：
$\begin{aligned}&(\frac{x+3}{x^2 -3x} - \frac{x-1}{x^2 -6x +9}) ÷ \frac{x-9}{x}\\=&[\frac{x+3}{x(x-3)} - \frac{x-1}{(x-3)^2}] · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{(x+3)(x-3) - x(x-1)}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{x^2 -9 -x^2 +x}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{x-9}{x(x-3)^2} · \frac{x}{x-9}\\=&\frac{1}{(x-3)^2}\end{aligned}$
将$x=\sqrt{2024}+3$代入，得$x-3=\sqrt{2024}$，因此：
$\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{1}{(\sqrt{2024})^2}=\frac{1}{2024}$
最终
20.对于某一个正数$x$，规定$f(x)=\frac{x}{1+x}$，例如：$f(5)=\frac{5}{1+5}=\frac{5}{6}$，则式子$f(\frac{1}{2026})+f(\frac{1}{2025})+f(\frac{1}{2024})+\dots +f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(2024)+f(2025)+f(2026)$的值为。
答案
解：
对任意正数x，有：
$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+1}$
因此：
$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}=\frac{x+1}{1+x}=1$
又：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
将原式分组配对得：
$\begin{aligned}&[f(\frac{1}{2026})+f(2026)]+[f(\frac{1}{2025})+f(2025)]+\dots+[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)\\=&\underbrace{1+1+\dots+1}_{共2025个1}+\frac{1}{2}\\=&2025+\frac{1}{2}\\=&\frac{4051}{2}\end{aligned}$
最终答案为$\frac{4051}{2}$（或$2025\frac{1}{2}$）。
对任意正数x，有：
$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+1}$
因此：
$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}=\frac{x+1}{1+x}=1$
又：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
将原式分组配对得：
$\begin{aligned}&[f(\frac{1}{2026})+f(2026)]+[f(\frac{1}{2025})+f(2025)]+\dots+[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)\\=&\underbrace{1+1+\dots+1}_{共2025个1}+\frac{1}{2}\\=&2025+\frac{1}{2}\\=&\frac{4051}{2}\end{aligned}$
最终答案为$\frac{4051}{2}$（或$2025\frac{1}{2}$）。
21.定义:若分式$A,B$满足$A+B=1$,则$A$与$B$互为“平衡分式”。
(1)若$M=\dfrac{x^2 -1}{x^2 + y^2},N=\dfrac{y^2 +1}{x^2 + y^2}$,判断$M$与$N$是否互为“平衡分式”,并说明理由；
(2)若实数$k$能使$\dfrac{x -2}{2x +5}$与$\dfrac{(k +2)x +7}{2x +5}$互为“平衡分式”,求实数$k$的值。
(1)若$M=\dfrac{x^2 -1}{x^2 + y^2},N=\dfrac{y^2 +1}{x^2 + y^2}$,判断$M$与$N$是否互为“平衡分式”,并说明理由；
(2)若实数$k$能使$\dfrac{x -2}{2x +5}$与$\dfrac{(k +2)x +7}{2x +5}$互为“平衡分式”,求实数$k$的值。
答案
解：(1) M与N互为“平衡分式”，理由如下：
$\begin{aligned}M+N&=\frac{x^2-1}{x^2+y^2}+\frac{y^2+1}{x^2+y^2}\\&=\frac{x^2-1+y^2+1}{x^2+y^2}\\&=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\\&=1\end{aligned}$
满足$A+B=1$的定义，因此M与N互为“平衡分式”。
(2) 根据“平衡分式”的定义可得：
$\frac{x-2}{2x+5}+\frac{(k+2)x+7}{2x+5}=1$
同分母分式相加得：
$\frac{(x-2)+(k+2)x+7}{2x+5}=1$
化简分子：
$\frac{(k+3)x +5}{2x+5}=1$
等式两边同乘$2x+5$（$2x+5≠0$），得：
$(k+3)x +5 = 2x +5$
整理得：$(k+1)x=0$。
该等式对所有使分母有意义的实数$x$均成立，因此系数必须为0：
$k+1=0$
解得$k=-1$。
综上，(1) M与N互为“平衡分式”；(2) 实数$k$的值为$-1$。
$\begin{aligned}M+N&=\frac{x^2-1}{x^2+y^2}+\frac{y^2+1}{x^2+y^2}\\&=\frac{x^2-1+y^2+1}{x^2+y^2}\\&=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\\&=1\end{aligned}$
满足$A+B=1$的定义，因此M与N互为“平衡分式”。
(2) 根据“平衡分式”的定义可得：
$\frac{x-2}{2x+5}+\frac{(k+2)x+7}{2x+5}=1$
同分母分式相加得：
$\frac{(x-2)+(k+2)x+7}{2x+5}=1$
化简分子：
$\frac{(k+3)x +5}{2x+5}=1$
等式两边同乘$2x+5$（$2x+5≠0$），得：
$(k+3)x +5 = 2x +5$
整理得：$(k+1)x=0$。
该等式对所有使分母有意义的实数$x$均成立，因此系数必须为0：
$k+1=0$
解得$k=-1$。
综上，(1) M与N互为“平衡分式”；(2) 实数$k$的值为$-1$。
