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1. 一题多解 如图，$AB // CD$，$△ ACE$为等边三角形，$∠ DCE = 40°$，则$∠ EAB$等于（
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
C
）A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
1. C
通解
∵ AB // CD,
∴ ∠DCA + ∠CAB = 180°, 即∠DCE + ∠ECA + ∠EAC + ∠EAB = 180°.
∵ △ACE为等边三角形,
∴ ∠ECA = ∠EAC = 60°,
∴ ∠EAB = 180° - 40° - 60° - 60° = 20°.
另解 过点E作EF//CD交AC于点F,
∴ ∠CEF = ∠DCE = 40°.
∵ △ACE为等边三角形,
∴ ∠CEA = 60°,
∴ ∠AEF = 20°.
∵ AB//CD,
∴ EF//AB,
∴ ∠EAB = ∠AEF = 20°.
通解
∵ AB // CD,
∴ ∠DCA + ∠CAB = 180°, 即∠DCE + ∠ECA + ∠EAC + ∠EAB = 180°.
∵ △ACE为等边三角形,
∴ ∠ECA = ∠EAC = 60°,
∴ ∠EAB = 180° - 40° - 60° - 60° = 20°.
另解 过点E作EF//CD交AC于点F,
∴ ∠CEF = ∠DCE = 40°.
∵ △ACE为等边三角形,
∴ ∠CEA = 60°,
∴ ∠AEF = 20°.
∵ AB//CD,
∴ EF//AB,
∴ ∠EAB = ∠AEF = 20°.
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路一，先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，得到∠DCA与∠CAB的和为180°，再将这两个角分别拆分为已知的∠DCE、等边三角形的内角∠ECA，以及等边三角形的内角∠EAC、待求的∠EAB，结合等边三角形内角均为60°的性质，代入已知角度即可计算结果；思路二，过点E作EF平行于CD，利用平行线的传递性得到EF也平行于AB，再结合“两直线平行，内错角相等”的性质，配合等边三角形的内角特征计算待求角度。
【解析】
通解：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠DCA + ∠CAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
观察角的组成可得：$∠DCA = ∠DCE + ∠ECA$，$∠CAB = ∠EAC + ∠EAB$，
代入得：$∠DCE + ∠ECA + ∠EAC + ∠EAB = 180°$。
∵ $△ ACE$为等边三角形，
∴ $∠ECA = ∠EAC = 60°$（等边三角形三个内角均为$60°$），
又已知$∠DCE = 40°$，
∴ $∠EAB = 180° - 40° - 60° - 60° = 20°$。
另解：
过点E作$EF // CD$，
∴ $∠CEF = ∠DCE = 40°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $△ ACE$为等边三角形，
∴ $∠CEA = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠CEA - ∠CEF = 60° - 40° = 20°$。
∵ $AB // CD$，$EF // CD$，
∴ $EF // AB$（平行于同一直线的两直线互相平行），
∴ $∠EAB = ∠AEF = 20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练应用平行线和等边三角形的性质，可灵活选择直接拆分角度或作辅助线的方法求解，能有效检验学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：思路一，先利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，得到∠DCA与∠CAB的和为180°，再将这两个角分别拆分为已知的∠DCE、等边三角形的内角∠ECA，以及等边三角形的内角∠EAC、待求的∠EAB，结合等边三角形内角均为60°的性质，代入已知角度即可计算结果；思路二，过点E作EF平行于CD，利用平行线的传递性得到EF也平行于AB，再结合“两直线平行，内错角相等”的性质，配合等边三角形的内角特征计算待求角度。
【解析】
通解：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠DCA + ∠CAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
观察角的组成可得：$∠DCA = ∠DCE + ∠ECA$，$∠CAB = ∠EAC + ∠EAB$，
代入得：$∠DCE + ∠ECA + ∠EAC + ∠EAB = 180°$。
∵ $△ ACE$为等边三角形，
∴ $∠ECA = ∠EAC = 60°$（等边三角形三个内角均为$60°$），
又已知$∠DCE = 40°$，
∴ $∠EAB = 180° - 40° - 60° - 60° = 20°$。
另解：
过点E作$EF // CD$，
∴ $∠CEF = ∠DCE = 40°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $△ ACE$为等边三角形，
∴ $∠CEA = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠CEA - ∠CEF = 60° - 40° = 20°$。
∵ $AB // CD$，$EF // CD$，
∴ $EF // AB$（平行于同一直线的两直线互相平行），
∴ $∠EAB = ∠AEF = 20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练应用平行线和等边三角形的性质，可灵活选择直接拆分角度或作辅助线的方法求解，能有效检验学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
2. [2026无锡梁溪区期中]如图，已知等边三角形ABC，点D在BC的延长线上，点E在AC上.若CE=CD，则∠D=
30
°.答案
2. 30
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ACB = 60°.
∵ CE = CD,
∴ ∠D = ∠CED.
∵ ∠ACB是△CED的外角,
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D,
∴ 2∠D = 60°,
∴ ∠D = 30°.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ACB = 60°.
∵ CE = CD,
∴ ∠D = ∠CED.
∵ ∠ACB是△CED的外角,
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D,
∴ 2∠D = 60°,
∴ ∠D = 30°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到△ABC是等边三角形，可先推出它的内角∠ACB的度数；再结合CE=CD可知△CED是等腰三角形，得到∠D和∠CED相等的关系；最后利用三角形外角的性质，建立∠ACB和∠D的数量关系，即可计算出∠D的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°。
∵ CE = CD，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CED的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D，
∴ 2∠D = 60°，
∴ ∠D = 30°。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质和三角形外角定理，通过角度的等量代换建立关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到△ABC是等边三角形，可先推出它的内角∠ACB的度数；再结合CE=CD可知△CED是等腰三角形，得到∠D和∠CED相等的关系；最后利用三角形外角的性质，建立∠ACB和∠D的数量关系，即可计算出∠D的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°。
∵ CE = CD，
∴ ∠D = ∠CED。
∵ ∠ACB是△CED的外角，
∴ ∠ACB = ∠D + ∠CED = 2∠D，
∴ 2∠D = 60°，
∴ ∠D = 30°。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质和三角形外角定理，通过角度的等量代换建立关系即可求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，延长$BC$到点$E$，使$CE = CD$，连接$BD$，$DE$.
(1)用尺规作图的方法，过点$D$作$DM ⊥ BE$，垂足是$M$；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证:$BM = EM$.
(1)用尺规作图的方法，过点$D$作$DM ⊥ BE$，垂足是$M$；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证:$BM = EM$.
答案
3. (1)解:作图如下：
(2)证明:
∵ △ABC是等边三角形,D是AC的中点,
∴ ∠ABC = ∠ACB,BD平分∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠DBE.
∵ CE = CD,
∴ ∠E = ∠CDE.
又
∵ ∠ACB = ∠E + ∠CDE,
∴ ∠ACB = 2∠E.
又
∵ ∠ABC = ∠ACB,
∴ 2∠DBC = 2∠E,
∴ ∠DBC = ∠E,
∴ BD = DE.
又
∵ DM ⊥ BE,
∴ BM = EM.
解析
【分析】
(1) 作图思路：过直线外一点作已知直线的垂线，可先以点D为圆心，适当长为半径画弧，交BE于两个点，再分别以这两个点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BE下方一点，连接点D和该交点，与BE的交点即为垂足M，保留作图痕迹即可。
(2) 证明思路：要证BM=EM，已知DM⊥BE，可优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，即只需证明BD=DE。接下来通过角的等量转化推导两角相等：先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点得到BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠DBC；再由CE=CD得∠E=∠CDE，结合三角形外角的性质得∠ACB=2∠E；最后结合等边三角形内角相等∠ABC=∠ACB，即可推出∠DBC=∠E，得到BD=DE，进而通过三线合一证得BM=EM。
【解析】
(1) 按照过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图要求完成作图，保留作图痕迹。
(2) 证明过程如下：
∵ △ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ∠ABC = ∠ACB，BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠DBE。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又
∵ ∠ACB是△CDE的外角，即∠ACB = ∠E + ∠CDE，
∴ ∠ACB = 2∠E。
又
∵ ∠ABC = ∠ACB，
∴ 2∠DBC = 2∠E，即∠DBC = ∠E，
∴ BD = DE。
又
∵ DM ⊥ BE，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ BM = EM。
【答案】
(1)解:作图如下：
(2)证明:
∵ △ABC是等边三角形,D是AC的中点,
∴ ∠ABC = ∠ACB,BD平分∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠DBE.
∵ CE = CD,
∴ ∠E = ∠CDE.
又
∵ ∠ACB = ∠E + ∠CDE,
∴ ∠ACB = 2∠E.
又
∵ ∠ABC = ∠ACB,
∴ 2∠DBC = 2∠E,
∴ ∠DBC = ∠E,
∴ BD = DE.
又
∵ DM ⊥ BE,
∴ BM = EM.
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.等腰三角形的判定与性质
3.尺规作垂线
【点评】
本题综合考查了基础尺规作图能力和特殊三角形性质的应用，解题关键是通过角的等量关系证明△BDE为等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质推导结论，属于几何基础综合题，需要熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：过直线外一点作已知直线的垂线，可先以点D为圆心，适当长为半径画弧，交BE于两个点，再分别以这两个点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BE下方一点，连接点D和该交点，与BE的交点即为垂足M，保留作图痕迹即可。
(2) 证明思路：要证BM=EM，已知DM⊥BE，可优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，即只需证明BD=DE。接下来通过角的等量转化推导两角相等：先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点得到BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠DBC；再由CE=CD得∠E=∠CDE，结合三角形外角的性质得∠ACB=2∠E；最后结合等边三角形内角相等∠ABC=∠ACB，即可推出∠DBC=∠E，得到BD=DE，进而通过三线合一证得BM=EM。
【解析】
(1) 按照过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图要求完成作图，保留作图痕迹。
(2) 证明过程如下：
∵ △ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴ ∠ABC = ∠ACB，BD平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠DBE。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
又
∵ ∠ACB是△CDE的外角，即∠ACB = ∠E + ∠CDE，
∴ ∠ACB = 2∠E。
又
∵ ∠ABC = ∠ACB，
∴ 2∠DBC = 2∠E，即∠DBC = ∠E，
∴ BD = DE。
又
∵ DM ⊥ BE，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ BM = EM。
【答案】
(1)解:作图如下：
(2)证明:
∵ △ABC是等边三角形,D是AC的中点,
∴ ∠ABC = ∠ACB,BD平分∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠DBE.
∵ CE = CD,
∴ ∠E = ∠CDE.
又
∵ ∠ACB = ∠E + ∠CDE,
∴ ∠ACB = 2∠E.
又
∵ ∠ABC = ∠ACB,
∴ 2∠DBC = 2∠E,
∴ ∠DBC = ∠E,
∴ BD = DE.
又
∵ DM ⊥ BE,
∴ BM = EM.
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.等腰三角形的判定与性质
3.尺规作垂线
【点评】
本题综合考查了基础尺规作图能力和特殊三角形性质的应用，解题关键是通过角的等量关系证明△BDE为等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质推导结论，属于几何基础综合题，需要熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
4. 新趋势·条件开放 [2025资阳中考] 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE//DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是
第4题图 第5题图
∠BCE = ∠B(答案不唯一)
.第4题图 第5题图
答案
4. ∠BCE = ∠B(答案不唯一)
解析
【分析】
首先从已知条件推导△BCE的现有形状：①由CE//AD，根据平行线的同位角相等性质可得∠BEC=∠A；②结合题目给出的∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边可得CE=BC，即△BCE已经是等腰三角形。要使等腰三角形变为等边三角形，只需满足等边三角形的判定条件即可，可选择添加“有一个角为60°”“第三组边相等”“第三个角与已知等角相等”等任意符合要求的条件。
【解析】
解：
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC（等角对等边），即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则∠B=∠BEC=∠BCE，△BCE三个内角都相等，因此是等边三角形。（答案不唯一，∠B=60°、BC=BE等均为正确答案）
【答案】
∠BCE = ∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题是条件开放类题目，需要先根据已知条件推导出三角形为等腰三角形，再结合等边三角形的判定规则补充合适的条件，答案不唯一，侧重考查对几何性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件推导△BCE的现有形状：①由CE//AD，根据平行线的同位角相等性质可得∠BEC=∠A；②结合题目给出的∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边可得CE=BC，即△BCE已经是等腰三角形。要使等腰三角形变为等边三角形，只需满足等边三角形的判定条件即可，可选择添加“有一个角为60°”“第三组边相等”“第三个角与已知等角相等”等任意符合要求的条件。
【解析】
解：
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC（等角对等边），即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则∠B=∠BEC=∠BCE，△BCE三个内角都相等，因此是等边三角形。（答案不唯一，∠B=60°、BC=BE等均为正确答案）
【答案】
∠BCE = ∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题是条件开放类题目，需要先根据已知条件推导出三角形为等腰三角形，再结合等边三角形的判定规则补充合适的条件，答案不唯一，侧重考查对几何性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. [2026徐州丰县期中]如图,有一根长2.4 m的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上,此时晾衣杆EF的倾斜角为$65°$.若晾衣杆底端不动,顶端靠在阳台另一侧的墙上,此时晾衣杆$EF'$的倾斜角为$55°$,则$FF'$的长是
2.4
m.答案
5. 2.4 由题意,得∠FEF' = 180° - 65° - 55° = 60°.
∵ EF = EF',
∴ △FEF'是等边三角形,
∴ FF' = EF = 2.4 m.
∵ EF = EF',
∴ △FEF'是等边三角形,
∴ FF' = EF = 2.4 m.
解析
【分析】
解题时首先结合题意明确晾衣杆长度不变，即$EF=EF'=2.4\ \mathrm{m}$；再根据平角的度数为$180°$，计算出$∠ FEF'$的度数；最后根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”判定$△ FEF'$的形状，即可得到$FF'$的长度。
【解析】
解：由题意可知，晾衣杆长度不变，因此$EF=EF'=2.4\ \mathrm{m}$。
根据平角的定义，$∠ FEF' = 180° - 65° - 55° = 60°$。
$\because EF=EF'$，且$∠ FEF'=60°$，
$\therefore △ FEF'$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore FF'=EF=2.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.4
【知识点】
平角的定义，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是抓住晾衣杆长度不变的隐含条件，结合角度计算得到等边三角形，进而求出线段长度，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合题意明确晾衣杆长度不变，即$EF=EF'=2.4\ \mathrm{m}$；再根据平角的度数为$180°$，计算出$∠ FEF'$的度数；最后根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”判定$△ FEF'$的形状，即可得到$FF'$的长度。
【解析】
解：由题意可知，晾衣杆长度不变，因此$EF=EF'=2.4\ \mathrm{m}$。
根据平角的定义，$∠ FEF' = 180° - 65° - 55° = 60°$。
$\because EF=EF'$，且$∠ FEF'=60°$，
$\therefore △ FEF'$是等边三角形（有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore FF'=EF=2.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.4
【知识点】
平角的定义，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是抓住晾衣杆长度不变的隐含条件，结合角度计算得到等边三角形，进而求出线段长度，解题思路直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
6. 一题多解 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$D$为$AC$的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ BC$,垂足分别为$E$,$F$,且$DE = DF$.求证:$△ ABC$是等边三角形.
答案
6. 证明:
通解
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,
∴ ∠DEA = ∠DFC = 90°.
∵ D为AC的中点,
∴ DA = DC.
又
∵ DE = DF,
∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴ ∠A = ∠C,
∴ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ △ABC是等边三角形.
另解1 如图,连接BD.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,
∴ S△ABD = 1/2 AB · DE,S△BCD = 1/2 BC · DF.
∵ D为AC的中点,
∴ S△ABD = S△BCD,
∴ 1/2 AB · DE = 1/2 BC · DF.
又
∵ DE = DF,
∴ AB = BC.
又
∵ AB = AC,
∴ AB = AC = BC,
∴ △ABC是等边三角形.
另解2 如图,连接BD.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,DE = DF,
∴ ∠DBE = ∠DBF.
易证明△BDE≌△BDF(AAS)和Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),从而BE = BF,AE = CF,进而可得BE + AE = BF + CF,即AB = BC.
又
∵ AB = AC,
∴ AB = BC = AC,
∴ △ABC是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等边三角形，已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，只需再证明一组边相等（如AB=BC）或三个内角相等即可。结合题目给出的DE⊥AB、DF⊥BC、DE=DF、D是AC中点的条件，可从三个方向切入解题：①利用HL证明Rt△ADE和Rt△CDF全等，推导三个内角相等；②连接BD，利用三角形中线平分面积的性质，结合面积公式推导AB=BC；③利用角平分线的判定定理，结合全等三角形的性质推导AB=BC。
【解析】
通解
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ ∠DEA = ∠DFC = 90°。
∵ D为AC的中点，
∴ DA = DC。
又
∵ DE = DF，
∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = ∠B = ∠C，
∴ △ABC是等边三角形。
另解1
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BC · DF$。
∵ D为AC的中点，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2} AB · DE = \frac{1}{2} BC · DF$。
又
∵ DE = DF，
∴ AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = AC = BC，
∴ △ABC是等边三角形。
另解2
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，DE = DF，
∴ ∠DBE = ∠DBF。
易证明△BDE≌△BDF(AAS)和Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，从而BE = BF，AE = CF，进而可得BE + AE = BF + CF，即AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = BC = AC，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
通解
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ ∠DEA = ∠DFC = 90°。
∵ D为AC的中点，
∴ DA = DC。
又
∵ DE = DF，
∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = ∠B = ∠C，
∴ △ABC是等边三角形。
另解1
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BC · DF$。
∵ D为AC的中点，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2} AB · DE = \frac{1}{2} BC · DF$。
又
∵ DE = DF，
∴ AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = AC = BC，
∴ △ABC是等边三角形。
另解2
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，DE = DF，
∴ ∠DBE = ∠DBF。
易证明△BDE≌△BDF(AAS)和Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，从而BE = BF，AE = CF，进而可得BE + AE = BF + CF，即AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = BC = AC，
∴ △ABC是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形判定的经典习题，通过一题多解的形式，考查了学生对全等三角形、面积法、角平分线判定等知识的综合运用能力，能有效帮助学生梳理几何证明的不同思路，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是等边三角形，已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，只需再证明一组边相等（如AB=BC）或三个内角相等即可。结合题目给出的DE⊥AB、DF⊥BC、DE=DF、D是AC中点的条件，可从三个方向切入解题：①利用HL证明Rt△ADE和Rt△CDF全等，推导三个内角相等；②连接BD，利用三角形中线平分面积的性质，结合面积公式推导AB=BC；③利用角平分线的判定定理，结合全等三角形的性质推导AB=BC。
【解析】
通解
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ ∠DEA = ∠DFC = 90°。
∵ D为AC的中点，
∴ DA = DC。
又
∵ DE = DF，
∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = ∠B = ∠C，
∴ △ABC是等边三角形。
另解1
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BC · DF$。
∵ D为AC的中点，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2} AB · DE = \frac{1}{2} BC · DF$。
又
∵ DE = DF，
∴ AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = AC = BC，
∴ △ABC是等边三角形。
另解2
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，DE = DF，
∴ ∠DBE = ∠DBF。
易证明△BDE≌△BDF(AAS)和Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，从而BE = BF，AE = CF，进而可得BE + AE = BF + CF，即AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = BC = AC，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
通解
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ ∠DEA = ∠DFC = 90°。
∵ D为AC的中点，
∴ DA = DC。
又
∵ DE = DF，
∴ Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴ ∠A = ∠C，
∴ ∠A = ∠B = ∠C，
∴ △ABC是等边三角形。
另解1
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BC · DF$。
∵ D为AC的中点，
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2} AB · DE = \frac{1}{2} BC · DF$。
又
∵ DE = DF，
∴ AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = AC = BC，
∴ △ABC是等边三角形。
另解2
如图，连接BD。
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，DE = DF，
∴ ∠DBE = ∠DBF。
易证明△BDE≌△BDF(AAS)和Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，从而BE = BF，AE = CF，进而可得BE + AE = BF + CF，即AB = BC。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = BC = AC，
∴ △ABC是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形判定的经典习题，通过一题多解的形式，考查了学生对全等三角形、面积法、角平分线判定等知识的综合运用能力，能有效帮助学生梳理几何证明的不同思路，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
7. [2026 南通如皋期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$∠ B=30°$,点$P$是$BC$边上的动点,则$AP$的长不可能是 (
A.3
B.4
C.5
D.7
D
)A.3
B.4
C.5
D.7
答案
7. D 根据垂线段最短,知AP的长不可能小于3. 在△ABC中,∠C = 90°,AC = 3,∠B = 30°,
∴ AB = 6,
∴ AP的长不能大于6.
∴ AB = 6,
∴ AP的长不能大于6.
解析
【分析】
要判断AP的长不可能是哪个值，需先确定AP的取值范围：①根据垂线段最短，可得到AP的最小值；②当点P与点B重合时，AP取最大值，利用直角三角形中30°角的性质求出AB的长，即可得到AP的最大值，最后对比选项选出不在取值范围内的结果即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，即AC⊥BC，根据垂线段最短可知，AP的最小值等于AC的长，即AP≥3。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2AC=2×3=6，
当点P与点B重合时，AP取最大值6，即AP≤6。
综上，AP的取值范围为3≤AP≤6，
观察选项，只有7不在该范围内，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合动点场景考查几何性质的应用，解题的核心是找准动点线段的最值边界，这类题是几何基础部分的常见题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断AP的长不可能是哪个值，需先确定AP的取值范围：①根据垂线段最短，可得到AP的最小值；②当点P与点B重合时，AP取最大值，利用直角三角形中30°角的性质求出AB的长，即可得到AP的最大值，最后对比选项选出不在取值范围内的结果即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，即AC⊥BC，根据垂线段最短可知，AP的最小值等于AC的长，即AP≥3。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2AC=2×3=6，
当点P与点B重合时，AP取最大值6，即AP≤6。
综上，AP的取值范围为3≤AP≤6，
观察选项，只有7不在该范围内，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合动点场景考查几何性质的应用，解题的核心是找准动点线段的最值边界，这类题是几何基础部分的常见题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. [2025南京求真中学期中] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, CD$ 是边 $AB$ 上的高, $∠ A=30°$.若 $BD=2$, 则 $AB$ 的长为
8
.答案
8. 8
∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴ AB = 2BC,∠B = 60°.
∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°,
∴ BC = 2BD.
∵ BD = 2,
∴ BC = 4,
∴ AB = 8.
∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴ AB = 2BC,∠B = 60°.
∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°,
∴ BC = 2BD.
∵ BD = 2,
∴ BC = 4,
∴ AB = 8.
解析
【分析】
本题可通过两次运用含30°角的直角三角形的性质求解：首先要求AB的长度，观察到△ABC是直角三角形且∠A=30°，可知AB=2BC，因此只需先求出BC的长度；再看△BCD是CD为高形成的直角三角形，先由△ABC的内角关系求出∠B=60°，进而得到∠BCD=30°，可得BC=2BD，结合已知BD=2即可依次求出BC、AB的长度。
【解析】
解：
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 60°，AB = 2BC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠BDC = 90°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ BC = 2BD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ BD = 2，
∴ BC = 2×2 = 4，
∴ AB = 2×4 = 8。
【答案】
8
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形高的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的常规基础题，解题关键是准确找到不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边的数量关系，通过两次性质运用即可推导出结果，是对特殊直角三角形边角关系的典型考查。
【难度系数】
0.75
本题可通过两次运用含30°角的直角三角形的性质求解：首先要求AB的长度，观察到△ABC是直角三角形且∠A=30°，可知AB=2BC，因此只需先求出BC的长度；再看△BCD是CD为高形成的直角三角形，先由△ABC的内角关系求出∠B=60°，进而得到∠BCD=30°，可得BC=2BD，结合已知BD=2即可依次求出BC、AB的长度。
【解析】
解：
∵ ∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - ∠A = 60°，AB = 2BC（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠BDC = 90°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ BC = 2BD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ BD = 2，
∴ BC = 2×2 = 4，
∴ AB = 2×4 = 8。
【答案】
8
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形高的定义
【点评】
本题是直角三角形性质的常规基础题，解题关键是准确找到不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边的数量关系，通过两次性质运用即可推导出结果，是对特殊直角三角形边角关系的典型考查。
【难度系数】
0.75
9. ▶一题多解 已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°.求证:AB = 2BC. 
答案
9. 证明:
通解 如图1,在AB上截取BD = BC,连接CD.
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°.
又
∵ BD = BC,
∴ △BDC是等边三角形,
∴ ∠BDC = 60°,BC = DC.
∵ ∠BDC = ∠A + ∠DCA = 60°,
∴ ∠DCA = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠DCA = ∠A,
∴ AD = DC,
∴ AD = BC = BD,
∴ AB = AD + BD = 2BC.
另解 如图2,延长BC到点D,使CD = CB,连接AD.
∵ ∠ACB = 90°,∠ACD + ∠ACB = 180°,
∴ ∠ACD = 180° - 90° = 90°,
∴ ∠ACD = ∠ACB.
在△ACD和△ACB中,
{
AC = AC,
∠ACD = ∠ACB,
CD = CB,
}
∴ △ACD≌△ACB(SAS),
∴ AD = AB,∠CAD = ∠CAB = 30°,
∴ ∠BAD = ∠CAD + ∠CAB = 60°,
∴ △BAD是等边三角形,
∴ AB = BD.
∵ BD = BC + CD = 2BC,
∴ AB = 2BC.
解析
【分析】
要证明AB=2BC属于线段倍半关系证明，常用“截长补短”的思路：①截长法：在较长边AB上截取一段等于BC，结合已知∠B=60°，可得到等边三角形，再通过角度关系证明剩余线段也等于BC，即可得AB=2BC；②补短法：延长较短边BC到D，使CD=BC得到BD=2BC，再通过全等三角形证明AB=BD，结合角度推出△ABD为等边三角形，即可得证。
【解析】
通解（截长法）
如图1，在AB上截取BD = BC，连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°。
又
∵ BD = BC，
∴ △BDC是等边三角形，
∴ ∠BDC = 60°，BC = DC。
∵ ∠BDC是△ADC的外角，即∠BDC = ∠A + ∠DCA = 60°，
∴ ∠DCA = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠DCA = ∠A，
∴ AD = DC，
∴ AD = BC = BD，
∴ AB = AD + BD = 2BC。
另解（补短法）
如图2，延长BC到点D，使CD = CB，连接AD。
∵ ∠ACB = 90°，∠ACD + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACD = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠ACD = ∠ACB。
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}AC = AC\\∠ACD = ∠ACB\\CD = CB\end{array} $
∴ △ACD≌△ACB(SAS)，
∴ AD = AB，∠CAD = ∠CAB = 30°，
∴ ∠BAD = ∠CAD + ∠CAB = 60°，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ AB = BD。
∵ BD = BC + CD = 2BC，
∴ AB = 2BC。
【答案】
证明:
通解 如图1,在AB上截取BD = BC,连接CD.
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°.
又
∵ BD = BC,
∴ △BDC是等边三角形,
∴ ∠BDC = 60°,BC = DC.
∵ ∠BDC = ∠A + ∠DCA = 60°,
∴ ∠DCA = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠DCA = ∠A,
∴ AD = DC,
∴ AD = BC = BD,
∴ AB = AD + BD = 2BC.
另解 如图2,延长BC到点D,使CD = CB,连接AD.
∵ ∠ACB = 90°,∠ACD + ∠ACB = 180°,
∴ ∠ACD = 180° - 90° = 90°,
∴ ∠ACD = ∠ACB.
在△ACD和△ACB中,
{
AC = AC,
∠ACD = ∠ACB,
CD = CB,
}
∴ △ACD≌△ACB(SAS),
∴ AD = AB,∠CAD = ∠CAB = 30°,
∴ ∠BAD = ∠CAD + ∠CAB = 60°,
∴ △BAD是等边三角形,
∴ AB = BD.
∵ BD = BC + CD = 2BC,
∴ AB = 2BC.
【知识点】
截长补短法，等边三角形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是线段倍半关系证明的典型习题，提供了截长、补短两种常用几何证明思路，既考查了等边三角形的判定与性质，也考查了全等三角形的应用，能帮助学生掌握多角度解题的技巧，夯实几何证明的基础。
【难度系数】
0.8
要证明AB=2BC属于线段倍半关系证明，常用“截长补短”的思路：①截长法：在较长边AB上截取一段等于BC，结合已知∠B=60°，可得到等边三角形，再通过角度关系证明剩余线段也等于BC，即可得AB=2BC；②补短法：延长较短边BC到D，使CD=BC得到BD=2BC，再通过全等三角形证明AB=BD，结合角度推出△ABD为等边三角形，即可得证。
【解析】
通解（截长法）
如图1，在AB上截取BD = BC，连接CD。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°。
又
∵ BD = BC，
∴ △BDC是等边三角形，
∴ ∠BDC = 60°，BC = DC。
∵ ∠BDC是△ADC的外角，即∠BDC = ∠A + ∠DCA = 60°，
∴ ∠DCA = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠DCA = ∠A，
∴ AD = DC，
∴ AD = BC = BD，
∴ AB = AD + BD = 2BC。
另解（补短法）
如图2，延长BC到点D，使CD = CB，连接AD。
∵ ∠ACB = 90°，∠ACD + ∠ACB = 180°，
∴ ∠ACD = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠ACD = ∠ACB。
在△ACD和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}AC = AC\\∠ACD = ∠ACB\\CD = CB\end{array} $
∴ △ACD≌△ACB(SAS)，
∴ AD = AB，∠CAD = ∠CAB = 30°，
∴ ∠BAD = ∠CAD + ∠CAB = 60°，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ AB = BD。
∵ BD = BC + CD = 2BC，
∴ AB = 2BC。
【答案】
证明:
通解 如图1,在AB上截取BD = BC,连接CD.
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°.
又
∵ BD = BC,
∴ △BDC是等边三角形,
∴ ∠BDC = 60°,BC = DC.
∵ ∠BDC = ∠A + ∠DCA = 60°,
∴ ∠DCA = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠DCA = ∠A,
∴ AD = DC,
∴ AD = BC = BD,
∴ AB = AD + BD = 2BC.
另解 如图2,延长BC到点D,使CD = CB,连接AD.
∵ ∠ACB = 90°,∠ACD + ∠ACB = 180°,
∴ ∠ACD = 180° - 90° = 90°,
∴ ∠ACD = ∠ACB.
在△ACD和△ACB中,
{
AC = AC,
∠ACD = ∠ACB,
CD = CB,
}
∴ △ACD≌△ACB(SAS),
∴ AD = AB,∠CAD = ∠CAB = 30°,
∴ ∠BAD = ∠CAD + ∠CAB = 60°,
∴ △BAD是等边三角形,
∴ AB = BD.
∵ BD = BC + CD = 2BC,
∴ AB = 2BC.
【知识点】
截长补短法，等边三角形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是线段倍半关系证明的典型习题，提供了截长、补短两种常用几何证明思路，既考查了等边三角形的判定与性质，也考查了全等三角形的应用，能帮助学生掌握多角度解题的技巧，夯实几何证明的基础。
【难度系数】
0.8
10. 新情境[2025潍坊中考]如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地. 甲:$A→C→B$,路程为$l_甲$. 乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_乙$. 丙:$A→G→H→B$,路程为$l_丙$. 下列关系正确的是 (
A.$l_甲 ＞ l_乙 ＞ l_丙$
B.$l_乙 ＞ l_甲 ＞ l_丙$
C.$l_甲 ＞ l_丙 ＞ l_乙$
D.$l_甲 = l_乙 ＞ l_丙$
D
)A.$l_甲 ＞ l_乙 ＞ l_丙$
B.$l_乙 ＞ l_甲 ＞ l_丙$
C.$l_甲 ＞ l_丙 ＞ l_乙$
D.$l_甲 = l_乙 ＞ l_丙$
答案
10. D 设AB = a. 图甲:
∵ ∠A = ∠B = 60°,
∴ ∠C = 180° - 60° - 60° = 60°,
∴ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ △ABC是等边三角形,
∴ l甲 = 2AB = 2a. 图乙:同图甲可证明△ADE,△BEF都是等边三角形,
∴ l乙 = 2AE + 2BE = 2AB = 2a. 图丙:如图,分别延长AG,BH,交于点P,则易证△ABP是等边三角形. 在△PGH中,由三角形三边关系,得PG + PH ＞ GH,
∴ l丙 = AG + GH + BH ＜ AG + PG + PH + BH = 2AB = 2a. 综上所述,l甲 = l乙 ＞ l丙.
解析
【分析】
要比较三条路线的长度，我们可先设AB的长度为a：首先观察甲路线对应的△ABC，两个底角均为60°，可判定为等边三角形，算出甲的路程；再看乙路线对应的两个小三角形△ADE、△BEF，二者底角也都是60°，均为等边三角形，通过线段和转化可算出乙的路程，和甲的路程对比；最后处理丙的路线，通过延长AG、BH构造等边三角形，再利用三角形三边关系比较丙的路程与前两者的大小，即可得出结论。
【解析】
设$ AB = a $。
1. 计算$ l_甲 $：
在图甲的$ △ ABC $中，$ ∠ A = ∠ B = 60° $，
因此$ ∠ C = 180° - 60° - 60° = 60° $，即$ ∠ A = ∠ B = ∠ C $，
可得$ △ ABC $是等边三角形，$ AC = BC = AB = a $，
故$ l_甲 = AC + BC = 2a $。
2. 计算$ l_乙 $：
同理可证，图乙中$ △ ADE $和$ △ BEF $都是等边三角形，
因此$ AD = DE = AE $，$ EF = FB = BE $，
故$ l_乙 = AD + DE + EF + FB = 2AE + 2BE = 2(AE + BE) = 2AB = 2a $。
3. 比较$ l_丙 $的大小：
如图，分别延长AG、BH交于点P，易证$ △ ABP $是等边三角形，因此$ AP = BP = AB = a $，即$ AP + BP = 2a $。
在$ △ PGH $中，根据三角形三边关系可得$ PG + PH ＞ GH $，
因此$ l_丙 = AG + GH + BH ＜ AG + PG + PH + BH = AP + BP = 2a $。
综上可得$ l_甲 = l_乙 ＞ l_丙 $。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题结合实际行程情境考查几何知识的应用，解题核心是利用等边三角形的性质转化线段长度，结合三角形三边关系比较路线长度，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要比较三条路线的长度，我们可先设AB的长度为a：首先观察甲路线对应的△ABC，两个底角均为60°，可判定为等边三角形，算出甲的路程；再看乙路线对应的两个小三角形△ADE、△BEF，二者底角也都是60°，均为等边三角形，通过线段和转化可算出乙的路程，和甲的路程对比；最后处理丙的路线，通过延长AG、BH构造等边三角形，再利用三角形三边关系比较丙的路程与前两者的大小，即可得出结论。
【解析】
设$ AB = a $。
1. 计算$ l_甲 $：
在图甲的$ △ ABC $中，$ ∠ A = ∠ B = 60° $，
因此$ ∠ C = 180° - 60° - 60° = 60° $，即$ ∠ A = ∠ B = ∠ C $，
可得$ △ ABC $是等边三角形，$ AC = BC = AB = a $，
故$ l_甲 = AC + BC = 2a $。
2. 计算$ l_乙 $：
同理可证，图乙中$ △ ADE $和$ △ BEF $都是等边三角形，
因此$ AD = DE = AE $，$ EF = FB = BE $，
故$ l_乙 = AD + DE + EF + FB = 2AE + 2BE = 2(AE + BE) = 2AB = 2a $。
3. 比较$ l_丙 $的大小：
如图，分别延长AG、BH交于点P，易证$ △ ABP $是等边三角形，因此$ AP = BP = AB = a $，即$ AP + BP = 2a $。
在$ △ PGH $中，根据三角形三边关系可得$ PG + PH ＞ GH $，
因此$ l_丙 = AG + GH + BH ＜ AG + PG + PH + BH = AP + BP = 2a $。
综上可得$ l_甲 = l_乙 ＞ l_丙 $。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题结合实际行程情境考查几何知识的应用，解题核心是利用等边三角形的性质转化线段长度，结合三角形三边关系比较路线长度，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
