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11. [2026 南京玄武区四校联考] 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ C = 30°$,作$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$.若$DE = 2$,则$BC$的长度是
12
.答案
11. 12 连接AE.
∵ AB = AC,∠C = 30°,
∴ ∠B = ∠C = 30°,
∴ ∠BAC = 120°.
∵ DE垂直平分AB,
∴ AE = BE,
∴ ∠BAE = ∠B = 30°,
∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 90°. 在Rt△ADE中,AE = 2DE = 4,
∴ BE = AE = 4. 在Rt△AEC中,CE = 2AE = 8,
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12.
∵ AB = AC,∠C = 30°,
∴ ∠B = ∠C = 30°,
∴ ∠BAC = 120°.
∵ DE垂直平分AB,
∴ AE = BE,
∴ ∠BAE = ∠B = 30°,
∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 90°. 在Rt△ADE中,AE = 2DE = 4,
∴ BE = AE = 4. 在Rt△AEC中,CE = 2AE = 8,
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理图形性质：首先由△ABC是等腰三角形，利用等边对等角得到∠B的度数；再看到AB的垂直平分线，可通过连接AE，利用垂直平分线的性质得到AE=BE，进而推导得到∠EAC为直角，将BC拆分为BE和CE两段；最后借助含30°角的直角三角形的性质分别计算BE、CE的长度，相加即可得到BC的长度。
【解析】
连接AE，
∵ AB = AC，∠C = 30°，
∴ ∠B = ∠C = 30°，
∴ ∠BAC = 180° - 2×30° = 120°，
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ ∠BAE = ∠B = 30°，
∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 120° - 30° = 90°，
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=2，
∴ BE = 2DE = 4，即AE=BE=4，
在Rt△AEC中，∠C=30°，
∴ CE = 2AE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是合理添加辅助线AE，把分散的条件结合起来，通过角度推导构造出特殊直角三角形，将线段关系转化求解，注重考查基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件梳理图形性质：首先由△ABC是等腰三角形，利用等边对等角得到∠B的度数；再看到AB的垂直平分线，可通过连接AE，利用垂直平分线的性质得到AE=BE，进而推导得到∠EAC为直角，将BC拆分为BE和CE两段；最后借助含30°角的直角三角形的性质分别计算BE、CE的长度，相加即可得到BC的长度。
【解析】
连接AE，
∵ AB = AC，∠C = 30°，
∴ ∠B = ∠C = 30°，
∴ ∠BAC = 180° - 2×30° = 120°，
∵ DE垂直平分AB，
∴ AE = BE，
∴ ∠BAE = ∠B = 30°，
∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 120° - 30° = 90°，
在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=2，
∴ BE = 2DE = 4，即AE=BE=4，
在Rt△AEC中，∠C=30°，
∴ CE = 2AE = 8，
∴ BC = BE + CE = 4 + 8 = 12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是合理添加辅助线AE，把分散的条件结合起来，通过角度推导构造出特殊直角三角形，将线段关系转化求解，注重考查基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
12. [2025扬州江都区期中] 如图,等边三角形ABC的边长为3,过点B的直线$l ⊥ AB$,且$△ ABC$与$△ A'BC'$关于直线$l$对称,$D$为线段$BC'$上一动点,连接$AD$,$CD$,则$AD + CD$的最小值是
6
.答案
12. 6 如图,连接A'D. 由对称的性质及等边三角形的性质,得∠ABC = ∠A'BC' = 60°,A'B = AB = BC = 3,
∴ ∠CBC' = 60°,
∴ ∠CBC' = ∠A'BC'. 又
∵ BD = BD,
∴ △CBD≌△A'BD(SAS),
∴ CD = A'D,
∴ AD + CD = AD + A'D. 由“两点之间,线段最短”得,当A,D,A'三点共线时,AD + CD取最小值,最小值为A'B + AB = 3 + 3 = 6.
解析
【分析】
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先结合轴对称的性质和等边三角形的性质，寻找与CD相等的线段，将AD+CD的和转化为两条共端点的线段之和；再根据“两点之间，线段最短”的原理，确定两线段和取最小值时点D的位置；最后结合已知边长计算最小值即可。第一步，先利用轴对称性质得到△ABC和△A'BC'的对应边、对应角相等，结合等边三角形内角为60°、三边相等的性质推导角的关系；第二步，连接A'D，通过SAS证明△CBD与△A'BD全等，得到CD=A'D，将AD+CD转化为AD+A'D；第三步，分析AD+A'D的最小值：当A、D、A'三点共线时，和最小，即为AA'的长度，计算可得结果。
【解析】
如图，连接A'D。
∵ △ABC与△A'BC'关于直线l对称，△ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠A'BC' = 60°，A'B = AB = BC = 3，
∴ ∠CBC' = 180° - ∠ABC - ∠A'BC' = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ ∠CBC' = ∠A'BC'。
在△CBD和△A'BD中，
$\{\begin{array}{l} BC=A'B\\ ∠ CBD=∠ A'BD\\ BD=BD\end{array} $
∴ △CBD≌△A'BD（SAS），
∴ CD = A'D，
∴ AD + CD = AD + A'D。
根据“两点之间，线段最短”可知，当A、D、A'三点共线时，AD + A'D取得最小值，最小值为线段AA'的长度。
∵ AA' = AB + A'B = 3 + 3 = 6，
∴ AD + CD的最小值是6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质；等边三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了轴对称、等边三角形、全等三角形和最短路径的相关知识，解题的核心是通过全等三角形将待求的两条线段和转化为可直接求最值的共端点线段和，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先结合轴对称的性质和等边三角形的性质，寻找与CD相等的线段，将AD+CD的和转化为两条共端点的线段之和；再根据“两点之间，线段最短”的原理，确定两线段和取最小值时点D的位置；最后结合已知边长计算最小值即可。第一步，先利用轴对称性质得到△ABC和△A'BC'的对应边、对应角相等，结合等边三角形内角为60°、三边相等的性质推导角的关系；第二步，连接A'D，通过SAS证明△CBD与△A'BD全等，得到CD=A'D，将AD+CD转化为AD+A'D；第三步，分析AD+A'D的最小值：当A、D、A'三点共线时，和最小，即为AA'的长度，计算可得结果。
【解析】
如图，连接A'D。
∵ △ABC与△A'BC'关于直线l对称，△ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠A'BC' = 60°，A'B = AB = BC = 3，
∴ ∠CBC' = 180° - ∠ABC - ∠A'BC' = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ ∠CBC' = ∠A'BC'。
在△CBD和△A'BD中，
$\{\begin{array}{l} BC=A'B\\ ∠ CBD=∠ A'BD\\ BD=BD\end{array} $
∴ △CBD≌△A'BD（SAS），
∴ CD = A'D，
∴ AD + CD = AD + A'D。
根据“两点之间，线段最短”可知，当A、D、A'三点共线时，AD + A'D取得最小值，最小值为线段AA'的长度。
∵ AA' = AB + A'B = 3 + 3 = 6，
∴ AD + CD的最小值是6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质；等边三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了轴对称、等边三角形、全等三角形和最短路径的相关知识，解题的核心是通过全等三角形将待求的两条线段和转化为可直接求最值的共端点线段和，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
13. [2026 福州闽清期中] 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE//AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=12,CE=8,求CF的长.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=12,CE=8,求CF的长.
答案
13. 解:(1)△DEF是等边三角形. 理由如下：
∵ AB = AD,∠A = 60°,
∴ △ABD是等边三角形,
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°.
∵ CE//AB,
∴ ∠CED = ∠A = 60°,∠DFE = ∠ABD = 60°,
∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE,
∴ △DEF是等边三角形.
(2)如图,连接AC交BD于点O.
∵ AB = AD,CB = CD,
∴ AC是BD的垂直平分线,即AC ⊥ BD.
∵ AB = AD,∠BAD = 60°,
∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°.
∵ CE//AB,
∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°,
∴ AE = CE = 8,
∴ DE = AD - AE = 12 - 8 = 4.
∵ △DEF是等边三角形,
∴ EF = DE = 4,
∴ CF = CE - EF = 8 - 4 = 4.
解析
【分析】
(1) 要判断△DEF的形状，首先根据已知AB=AD、∠A=60°，可先判定△ABD为等边三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数；再结合CE//AB的条件，利用平行线的同位角相等性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判断其形状。
(2) 要求CF的长，已知CE=8，只需先求出EF的长度即可。首先连接AC，由AB=AD、CB=CD可推出AC垂直平分BD且平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°；再结合CE//AB推出∠ACE=∠BAC=∠DAC，可得AE=CE，进而求出DE的长度；结合(1)中△DEF是等边三角形的结论，得EF=DE，最后用CE减去EF即可求出CF的长。
【解析】
(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB = AD，∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED = ∠A = 60°，∠DFE = ∠ABD = 60°，
∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE，
∴ △DEF是等边三角形。
(2)如图，连接AC交BD于点O。
∵ AB = AD，CB = CD，
∴ AC是BD的垂直平分线，即AC ⊥ BD。
∵ AB = AD，∠BAD = 60°，
∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°，
∴ AE = CE = 8，
∴ DE = AD - AE = 12 - 8 = 4。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ EF = DE = 4，
∴ CF = CE - EF = 8 - 4 = 4。
【答案】
(1)△DEF是等边三角形；
(2)CF的长为4。
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，需要结合已知条件逐步推导边角关系，解题的关键是合理作出辅助线，灵活运用特殊三角形、平行线的性质完成边角转化，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△DEF的形状，首先根据已知AB=AD、∠A=60°，可先判定△ABD为等边三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数；再结合CE//AB的条件，利用平行线的同位角相等性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判断其形状。
(2) 要求CF的长，已知CE=8，只需先求出EF的长度即可。首先连接AC，由AB=AD、CB=CD可推出AC垂直平分BD且平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°；再结合CE//AB推出∠ACE=∠BAC=∠DAC，可得AE=CE，进而求出DE的长度；结合(1)中△DEF是等边三角形的结论，得EF=DE，最后用CE减去EF即可求出CF的长。
【解析】
(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵ AB = AD，∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°。
∵ CE//AB，
∴ ∠CED = ∠A = 60°，∠DFE = ∠ABD = 60°，
∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE，
∴ △DEF是等边三角形。
(2)如图，连接AC交BD于点O。
∵ AB = AD，CB = CD，
∴ AC是BD的垂直平分线，即AC ⊥ BD。
∵ AB = AD，∠BAD = 60°，
∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°。
∵ CE//AB，
∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°，
∴ AE = CE = 8，
∴ DE = AD - AE = 12 - 8 = 4。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ EF = DE = 4，
∴ CF = CE - EF = 8 - 4 = 4。
【答案】
(1)△DEF是等边三角形；
(2)CF的长为4。
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，需要结合已知条件逐步推导边角关系，解题的关键是合理作出辅助线，灵活运用特殊三角形、平行线的性质完成边角转化，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
14. 推理能力 数学课上,李老师出了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在线段AB上,点D在CB的延长线上,且ED = EC,如图1,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图2,确定线段AE与DB的大小关系,直接写出结论:AE
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED = EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图2,确定线段AE与DB的大小关系,直接写出结论:AE
=
DB.(填“＞”“＜”或“=”)(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE
=
DB(填“＞”“＜”或“=”).理由如下:如图3,过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED = EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.
答案
14. 解:(1)=
(2)=
解答过程:
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠A = 60°,AB = AC = BC.
又
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°,∠AFE = ∠ACB = 60°,
即∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°,
∴ △AEF是等边三角形,
∴ AE = EF = AF.
∵ ∠ABC = ∠ACB = ∠AFE = 60°,
∴ ∠DBE = ∠EFC = 120°,∠D + ∠BED = ∠FCE + ∠ECD = 60°.
∵ DE = EC,
∴ ∠D = ∠ECD,
∴ ∠BED = ∠ECF.
在△DEB和△ECF中,
{
∠DEB = ∠ECF,
∠DBE = ∠EFC,
DE = EC,
}
∴ △DEB≌△ECF(AAS),
∴ BD = EF = AE,即AE = BD.
(3)分为两种情况:
①如图1,过点A作AM ⊥ BC于点M,过点E作EN ⊥ BC于点N,则AM//EN.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB = BC = AC = 1.
∵ AM ⊥ BC,
∴ BM = CM = 1/2 BC = 1/2.
∵ DE = CE,EN ⊥ BC,
∴ CD = 2CN.
∵ AB = 1,AE = 2,
∴ AB = BE = 1.
∵ EN ⊥ DC,AM ⊥ BC,
∴ ∠AMB = ∠ENB = 90°.
在△ABM和△EBN中,
{
∠ABM = ∠EBN,
∠AMB = ∠ENB,
AB = EB,
}
∴ △ABM≌△EBN(AAS),
∴ BN = BM = 1/2,
∴ CN = 1 + 1/2 = 3/2,
∴ CD = 2CN = 3.
②如图2,过点E作EF//BC,延长CA交EF于点G.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B = ∠ACB = ∠BAC = 60°.
∵ EF//BC,
∴ ∠GEA = ∠B = 60°,∠EGA = ∠ACB = 60°.
又
∵ ∠GAE = ∠BAC = 60°,
∴ ∠GAE = ∠GEA = ∠EGA = 60°,
∴ △AEG是等边三角形,
∴ EG = AE = 2.
∵ EF//BC,
∴ ∠CEG = ∠ECD.
∵ EC = ED,
∴ ∠D = ∠ECD,
∴ ∠CEG = ∠D.
在△CEG和△EDB中,
{
∠CGE = ∠B = 60°,
∠CEG = ∠D,
CE = ED,
}
∴ △CEG≌△EDB(AAS),
∴ EG = BD = 2.
∵ BC = 1,
∴ CD = BD - BC = 1.
综上所述,CD的长为3或1.
解析
【分析】
(1) 当点E为AB中点时，结合等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，由ED=EC得∠D=30°，再利用三角形外角性质推出∠BED=30°，可得DB=BE，结合E是中点AE=BE，即可得出结论；
(2) 一般情况时，先利用EF//BC和等边三角形内角为60°的性质，证得△AEF是等边三角形，得到AE=EF，再通过角的等量推导证明△DEB和△ECF全等，可得BD=EF，即可推出AE和DB的等量关系；
(3) 点E在直线AB上需分两种情况讨论：①E在AB的延长线上，通过作垂线构造全等三角形，求出CN的长度，结合等腰三角形三线合一可得CD=2CN；②E在BA的延长线上，作平行线构造等边三角形和全等三角形，求出BD长度，再计算CD，最后汇总结果即可。
【解析】
(1) 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，又E是AB中点，AE=BE，故AE=DB。
(2) AE=DB，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠A = 60°,AB = AC = BC。
∵ EF//BC，
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°,∠AFE = ∠ACB = 60°,
即∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°,
∴ △AEF是等边三角形，
∴ AE = EF = AF。
∵ ∠ABC = ∠ACB = ∠AFE = 60°,
∴ ∠DBE = ∠EFC = 120°,∠D + ∠BED = ∠FCE + ∠ECD = 60°。
∵ DE = EC，
∴ ∠D = ∠ECD，
∴ ∠BED = ∠ECF。
在△DEB和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB = ∠ ECF\\ ∠ DBE = ∠ EFC\\ DE = EC\end{array} $
∴ △DEB≌△ECF(AAS)，
∴ BD = EF = AE，即AE = BD。
(3) 分两种情况：
① 如图1，过点A作AM ⊥ BC于点M，过点E作EN ⊥ BC于点N，则AM//EN。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = 1。
∵ AM ⊥ BC，
∴ BM = CM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$。
∵ DE = CE，EN ⊥ BC，
∴ CD = 2CN。
∵ AB = 1，AE = 2，
∴ AB = BE = 1。
∵ EN ⊥ DC，AM ⊥ BC，
∴ ∠AMB = ∠ENB = 90°。
在△ABM和△EBN中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABM = ∠ EBN\\ ∠ AMB = ∠ ENB\\ AB = EB\end{array} $
∴ △ABM≌△EBN(AAS)，
∴ BN = BM = $\frac{1}{2}$，
∴ CN = $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴ CD = 2CN = 3。
② 如图2，过点E作EF//BC，延长CA交EF于点G。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ EF//BC，
∴ ∠GEA = ∠B = 60°,∠EGA = ∠ACB = 60°。
又
∵ ∠GAE = ∠BAC = 60°,
∴ ∠GAE = ∠GEA = ∠EGA = 60°,
∴ △AEG是等边三角形，
∴ EG = AE = 2。
∵ EF//BC，
∴ ∠CEG = ∠ECD。
∵ EC = ED，
∴ ∠D = ∠ECD，
∴ ∠CEG = ∠D。
在△CEG和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}∠ CGE = ∠ B = 60°\\ ∠ CEG = ∠ D\\ CE = ED\end{array} $
∴ △CEG≌△EDB(AAS)，
∴ EG = BD = 2。
∵ BC = 1，
∴ CD = BD - BC = 1。
综上所述，CD的长为3或1。
【答案】
(1)=
(2)=，解答过程见上述解析；
(3)CD的长为1或3，对应图示：
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题从特殊情况入手探究线段等量关系，再推广到一般情况，最后拓展到动点的多情况讨论，既考查了等边三角形、全等三角形的核心知识点，也锻炼了由特殊到一般的推理能力，解题时需注意不要遗漏动点的不同位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 当点E为AB中点时，结合等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，由ED=EC得∠D=30°，再利用三角形外角性质推出∠BED=30°，可得DB=BE，结合E是中点AE=BE，即可得出结论；
(2) 一般情况时，先利用EF//BC和等边三角形内角为60°的性质，证得△AEF是等边三角形，得到AE=EF，再通过角的等量推导证明△DEB和△ECF全等，可得BD=EF，即可推出AE和DB的等量关系；
(3) 点E在直线AB上需分两种情况讨论：①E在AB的延长线上，通过作垂线构造全等三角形，求出CN的长度，结合等腰三角形三线合一可得CD=2CN；②E在BA的延长线上，作平行线构造等边三角形和全等三角形，求出BD长度，再计算CD，最后汇总结果即可。
【解析】
(1) 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，又E是AB中点，AE=BE，故AE=DB。
(2) AE=DB，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠A = 60°,AB = AC = BC。
∵ EF//BC，
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°,∠AFE = ∠ACB = 60°,
即∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°,
∴ △AEF是等边三角形，
∴ AE = EF = AF。
∵ ∠ABC = ∠ACB = ∠AFE = 60°,
∴ ∠DBE = ∠EFC = 120°,∠D + ∠BED = ∠FCE + ∠ECD = 60°。
∵ DE = EC，
∴ ∠D = ∠ECD，
∴ ∠BED = ∠ECF。
在△DEB和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB = ∠ ECF\\ ∠ DBE = ∠ EFC\\ DE = EC\end{array} $
∴ △DEB≌△ECF(AAS)，
∴ BD = EF = AE，即AE = BD。
(3) 分两种情况：
① 如图1，过点A作AM ⊥ BC于点M，过点E作EN ⊥ BC于点N，则AM//EN。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = 1。
∵ AM ⊥ BC，
∴ BM = CM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$。
∵ DE = CE，EN ⊥ BC，
∴ CD = 2CN。
∵ AB = 1，AE = 2，
∴ AB = BE = 1。
∵ EN ⊥ DC，AM ⊥ BC，
∴ ∠AMB = ∠ENB = 90°。
在△ABM和△EBN中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABM = ∠ EBN\\ ∠ AMB = ∠ ENB\\ AB = EB\end{array} $
∴ △ABM≌△EBN(AAS)，
∴ BN = BM = $\frac{1}{2}$，
∴ CN = $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴ CD = 2CN = 3。
② 如图2，过点E作EF//BC，延长CA交EF于点G。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ EF//BC，
∴ ∠GEA = ∠B = 60°,∠EGA = ∠ACB = 60°。
又
∵ ∠GAE = ∠BAC = 60°,
∴ ∠GAE = ∠GEA = ∠EGA = 60°,
∴ △AEG是等边三角形，
∴ EG = AE = 2。
∵ EF//BC，
∴ ∠CEG = ∠ECD。
∵ EC = ED，
∴ ∠D = ∠ECD，
∴ ∠CEG = ∠D。
在△CEG和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}∠ CGE = ∠ B = 60°\\ ∠ CEG = ∠ D\\ CE = ED\end{array} $
∴ △CEG≌△EDB(AAS)，
∴ EG = BD = 2。
∵ BC = 1，
∴ CD = BD - BC = 1。
综上所述，CD的长为3或1。
【答案】
(1)=
(2)=，解答过程见上述解析；
(3)CD的长为1或3，对应图示：
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题从特殊情况入手探究线段等量关系，再推广到一般情况，最后拓展到动点的多情况讨论，既考查了等边三角形、全等三角形的核心知识点，也锻炼了由特殊到一般的推理能力，解题时需注意不要遗漏动点的不同位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
1. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.若BD+AC=24,则BD-AC=
8
.答案
1. 8 如图,连接AD. 根据题意,得AD = BD,
∴ ∠DAB = ∠B.
∵ ∠C = 90°,∠B = 15°,∠ADC = ∠DAB + ∠B,
∴ ∠ADC = 2∠B = 30°,
∴ AD = BD = 2AC.
∵ BD + AC = 24,
∴ 3AC = 24,
∴ AC = 8,
∴ BD = AD = 16,
∴ BD - AC = 16 - 8 = 8.
解析
【分析】
遇到线段垂直平分线相关问题，首先想到其核心性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此先连接AD，可得AD=BD，进而得到对应角相等；再利用三角形外角的性质，可求出∠ADC的度数为30°；最后结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，建立BD和AC的数量关系，代入已知的BD+AC=24即可求出两个线段的长度，最终计算差值。
【解析】
如图，连接AD。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠DAB = ∠B。
∵ ∠C = 90°，∠B = 15°，∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠DAB + ∠B = 2∠B = 30°，
∴ 在Rt△ACD中，AD = 2AC，即BD = 2AC。
∵ BD + AC = 24，
∴ 2AC + AC = 24，即3AC = 24，
解得AC = 8，
∴ BD = 2AC = 16，
∴ BD - AC = 16 - 8 = 8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过添加辅助线AD，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中，利用几何性质建立线段间的数量关系求解，是考察几何基础性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到线段垂直平分线相关问题，首先想到其核心性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此先连接AD，可得AD=BD，进而得到对应角相等；再利用三角形外角的性质，可求出∠ADC的度数为30°；最后结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，建立BD和AC的数量关系，代入已知的BD+AC=24即可求出两个线段的长度，最终计算差值。
【解析】
如图，连接AD。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠DAB = ∠B。
∵ ∠C = 90°，∠B = 15°，∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠DAB + ∠B = 2∠B = 30°，
∴ 在Rt△ACD中，AD = 2AC，即BD = 2AC。
∵ BD + AC = 24，
∴ 2AC + AC = 24，即3AC = 24，
解得AC = 8，
∴ BD = 2AC = 16，
∴ BD - AC = 16 - 8 = 8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过添加辅助线AD，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中，利用几何性质建立线段间的数量关系求解，是考察几何基础性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. [2026 南京江宁区联考] 如图,在△ABC中,AB = AC,∠BAC = 120°,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,AE = 2,则CE的长为
6
.答案
2. 6 如图,连接AD.
∵ AB = AC,∠BAC = 120°,D为BC的中点,
∴ AD ⊥ BC,AD平分∠BAC,∠B = ∠C = 30°,
∴ ∠DAC = 60°.
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AED = 90°,
∴ ∠ADE = 30°,
∴ AD = 2AE = 4.
∵ ∠ADC = 90°,∠C = 30°,
∴ AC = 2AD = 8,
∴ CE = AC - AE = 8 - 2 = 6.
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件：△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先连接辅助线AD。已知∠BAC=120°，结合等腰三角形两底角相等，可先算出底角∠B=∠C=30°，同时AD平分∠BAC，可得∠DAC=60°。再结合DE⊥AC的条件，可得到两个含特殊角的直角三角形：Rt△ADE和Rt△ADC，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，先由AE的长度算出AD的长度，再由AD的长度算出AC的长度，最后用AC减去AE即可得到CE的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC，$∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2}=30°$，
∴ $∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 60°$，
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠ADE = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2AE = 2×2 = 4，
∵ 在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∠C = 30°，
∴ AC = 2AD = 2×4 = 8，
∴ CE = AC - AE = 8 - 2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形30°角性质，三角形内角和
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质结合的典型基础题，解题核心是利用等腰三角形三线合一作出辅助线，构造含特殊角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的边的关系逐步推导计算，能够很好地考察学生对特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察已知条件：△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先连接辅助线AD。已知∠BAC=120°，结合等腰三角形两底角相等，可先算出底角∠B=∠C=30°，同时AD平分∠BAC，可得∠DAC=60°。再结合DE⊥AC的条件，可得到两个含特殊角的直角三角形：Rt△ADE和Rt△ADC，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，先由AE的长度算出AD的长度，再由AD的长度算出AC的长度，最后用AC减去AE即可得到CE的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC，$∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2}=30°$，
∴ $∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 60°$，
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠ADE = 90° - 60° = 30°，
∴ AD = 2AE = 2×2 = 4，
∵ 在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∠C = 30°，
∴ AC = 2AD = 2×4 = 8，
∴ CE = AC - AE = 8 - 2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形30°角性质，三角形内角和
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质结合的典型基础题，解题核心是利用等腰三角形三线合一作出辅助线，构造含特殊角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的边的关系逐步推导计算，能够很好地考察学生对特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. [2026 南通海门区期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 30°, ∠ C = 90°$,等边三角形$DEF$的三个顶点分别落在$AC,AB,BC$上.若$CD = 5,BE = 8$,则$AB$的长为
14
. 答案
3. 14 如图,过点D作DH ⊥ AB于点H,则∠DHE = ∠C = 90°. 在△ABC中,∠B = 30°,∠C = 90°,
∴ ∠A = 60°,AB = 2AC,
∴ ∠2 + ∠ADE = 120°.
∵ △DEF是等边三角形,
∴ DE = DF,∠EDF = 60°,
∴ ∠1 + ∠ADE = 120°,
∴ ∠2 = ∠1. 在△DHE和△FCD中,
{
∠DHE = ∠C,
∠2 = ∠1,
DE = FD,
}
∴ △DHE≌△FCD(AAS),
∴ HE = CD = 5,
∴ HB = HE + BE = 5 + 8 = 13,
∴ AB = BH + AH = 13 + AH. 在Rt△ADH中,∠A = 60°,
∴ ∠ADH = 30°,
∴ AD = 2AH,
∴ AC = CD + AD = 5 + 2AH.
∵ AB = 2AC,
∴ 13 + AH = 2(5 + 2AH),
∴ AH = 1,
∴ AB = 13 + AH = 14.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理图形性质：首先△ABC是含30°角的直角三角形，可得∠A=60°、AB=2AC；其次△DEF是等边三角形，可得DE=DF、∠EDF=60°。观察角的关系可推出∠1=∠2，此时可通过作辅助线DH⊥AB构造直角三角形，证明△DHE和△FCD全等，得到HE=CD；再利用含30°角的直角三角形的性质设AH为未知数，结合AB=2AC的等量关系列方程求解，即可得到AH的长度，最终算出AB的长。
【解析】
如图，过点D作DH ⊥ AB于点H，则∠DHE = ∠C = 90°。
在△ABC中，∠B = 30°，∠C = 90°，
∴ ∠A = 60°，AB = 2AC，
∴ ∠2 + ∠ADE = 120°。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ DE = DF，∠EDF = 60°，
∴ ∠1 + ∠ADE = 120°，
∴ ∠2 = ∠1。
在△DHE和△FCD中，
$\{\begin{array}{l}∠ DHE = ∠ C\\ ∠ 2 = ∠ 1\\ DE = FD\end{array} $
∴ △DHE≌△FCD(AAS)，
∴ HE = CD = 5，
∴ HB = HE + BE = 5 + 8 = 13，
∴ AB = BH + AH = 13 + AH。
在Rt△ADH中，∠A = 60°，
∴ ∠ADH = 30°，
∴ AD = 2AH，
∴ AC = CD + AD = 5 + 2AH。
∵ AB = 2AC，
∴ 13 + AH = 2(5 + 2AH)，
解得AH = 1，
∴ AB = 13 + AH = 14。
【答案】
14
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过构造辅助线得到全等三角形，结合特殊直角三角形的性质，利用方程思想求解线段长度，很好地考查了几何图形性质的综合应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件梳理图形性质：首先△ABC是含30°角的直角三角形，可得∠A=60°、AB=2AC；其次△DEF是等边三角形，可得DE=DF、∠EDF=60°。观察角的关系可推出∠1=∠2，此时可通过作辅助线DH⊥AB构造直角三角形，证明△DHE和△FCD全等，得到HE=CD；再利用含30°角的直角三角形的性质设AH为未知数，结合AB=2AC的等量关系列方程求解，即可得到AH的长度，最终算出AB的长。
【解析】
如图，过点D作DH ⊥ AB于点H，则∠DHE = ∠C = 90°。
在△ABC中，∠B = 30°，∠C = 90°，
∴ ∠A = 60°，AB = 2AC，
∴ ∠2 + ∠ADE = 120°。
∵ △DEF是等边三角形，
∴ DE = DF，∠EDF = 60°，
∴ ∠1 + ∠ADE = 120°，
∴ ∠2 = ∠1。
在△DHE和△FCD中，
$\{\begin{array}{l}∠ DHE = ∠ C\\ ∠ 2 = ∠ 1\\ DE = FD\end{array} $
∴ △DHE≌△FCD(AAS)，
∴ HE = CD = 5，
∴ HB = HE + BE = 5 + 8 = 13，
∴ AB = BH + AH = 13 + AH。
在Rt△ADH中，∠A = 60°，
∴ ∠ADH = 30°，
∴ AD = 2AH，
∴ AC = CD + AD = 5 + 2AH。
∵ AB = 2AC，
∴ 13 + AH = 2(5 + 2AH)，
解得AH = 1，
∴ AB = 13 + AH = 14。
【答案】
14
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过构造辅助线得到全等三角形，结合特殊直角三角形的性质，利用方程思想求解线段长度，很好地考查了几何图形性质的综合应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
