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13. 对 $ x,y $ 定义一种新运算，规定：$ θ(x,y)=2ax - by + 1 $（其中 $ a,b $ 均为非零常数）。
例如：$ θ(2,1)=2a × 2 - b × 1 + 1 = 4a - b + 1 $。
(1) 已知 $ θ(-1,1)=-2, θ(3,-1)=12 $。
① 求 $ a,b $ 的值；
② 若关于 $ m $ 的不等式组
$\begin{cases}θ(2 - m, m + 1) ≤ 1, \\θ( \frac{m}{4}, \frac{1 - m}{2} ) ＜ p\end{cases}$
恰好有2024个整数解，求实数 $ p $ 的取值范围；
(2) 若不论 $ m,n $ 取何值时，$ θ(n - m, 3m + 2) + n $ 的值都是一个定值，请求出该定值。
例如：$ θ(2,1)=2a × 2 - b × 1 + 1 = 4a - b + 1 $。
(1) 已知 $ θ(-1,1)=-2, θ(3,-1)=12 $。
① 求 $ a,b $ 的值；
② 若关于 $ m $ 的不等式组
$\begin{cases}θ(2 - m, m + 1) ≤ 1, \\θ( \frac{m}{4}, \frac{1 - m}{2} ) ＜ p\end{cases}$
恰好有2024个整数解，求实数 $ p $ 的取值范围；
(2) 若不论 $ m,n $ 取何值时，$ θ(n - m, 3m + 2) + n $ 的值都是一个定值，请求出该定值。
答案
解:(1) ① 因为 $θ(-1,1)=-2,θ(3,-1)=12$,
所以$\begin{cases}-2a-b+1=-2, \\6a+b+1=12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2, \\b=-1;\end{cases}$
② 由①,得 $θ(x,y)=4x+y+1$,
因为$\begin{cases}θ(2-m,m+1)≤1, \\θ( \dfrac{m}{4}, \dfrac{1-m}{2} ) ＜ p,\end{cases}$
所以$\begin{cases}4(2-m)+(m+1)+1≤1, \\4×\dfrac{m}{4}+\dfrac{1-m}{2}+1＜p,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m≥3, \\m＜2p-3.\end{cases}$
因为 关于 $m$ 的不等式组
$\begin{cases}θ(2-m,m+1)≤1, \\θ( \dfrac{m}{4}, \dfrac{1-m}{2} ) ＜ p\end{cases}$ 恰好有 2024 个整数解,
所以 $2026＜2p-3≤2027$,
所以 $1014.5＜p≤1015$.
(2)$θ(n-m,3m+2)+n=2a(n-m)-b(3m+2)+1+n=(2a+1)n-(2a+3b)m-2b+1$.
因为不论 $m,n$ 取何值时,$θ(n-m,3m+2)+n$ 的值都是一个定值,
所以$\begin{cases}2a+1=0, \\2a+3b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}, \\b=\dfrac{1}{3},\end{cases}$
所以 $θ(n-m,3m+2)+n=-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$,所以该定值为$\dfrac{1}{3}$.
所以$\begin{cases}-2a-b+1=-2, \\6a+b+1=12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2, \\b=-1;\end{cases}$
② 由①,得 $θ(x,y)=4x+y+1$,
因为$\begin{cases}θ(2-m,m+1)≤1, \\θ( \dfrac{m}{4}, \dfrac{1-m}{2} ) ＜ p,\end{cases}$
所以$\begin{cases}4(2-m)+(m+1)+1≤1, \\4×\dfrac{m}{4}+\dfrac{1-m}{2}+1＜p,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m≥3, \\m＜2p-3.\end{cases}$
因为 关于 $m$ 的不等式组
$\begin{cases}θ(2-m,m+1)≤1, \\θ( \dfrac{m}{4}, \dfrac{1-m}{2} ) ＜ p\end{cases}$ 恰好有 2024 个整数解,
所以 $2026＜2p-3≤2027$,
所以 $1014.5＜p≤1015$.
(2)$θ(n-m,3m+2)+n=2a(n-m)-b(3m+2)+1+n=(2a+1)n-(2a+3b)m-2b+1$.
因为不论 $m,n$ 取何值时,$θ(n-m,3m+2)+n$ 的值都是一个定值,
所以$\begin{cases}2a+1=0, \\2a+3b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}, \\b=\dfrac{1}{3},\end{cases}$
所以 $θ(n-m,3m+2)+n=-2×\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1}{3}$,所以该定值为$\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是新定义运算的综合题型，解题思路如下：
1. 求解(1)①：根据新运算规则，将已知的两个θ值代入运算公式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
2. 求解(1)②：先将①求得的a、b代入新运算公式，得到θ(x,y)的具体表达式，再把不等式组中的两个θ运算展开，分别解两个一元一次不等式得到m的取值范围。结合恰好有2024个整数解的条件，确定解集右端点的取值范围，进而求出p的范围。
3. 求解(2)：先把θ(n-m,3m+2)+n按新运算规则展开，整理为分别含n、含m的项和常数项的形式，因取值与m、n无关，故m、n的系数均为0，联立方程组求出a、b后代入常数项，即可得到定值。
【解析】
(1) ① 由题意，将θ(-1,1)=-2、θ(3,-1)=12代入θ(x,y)=2ax - by + 1，得：
$\begin{cases}-2a - b + 1 = -2 \\6a + b + 1 = 12\end{cases}$
整理为$\begin{cases}-2a - b = -3 \\6a + b = 11\end{cases}$，两式相加消去b得4a=8，解得a=2，将a=2代入-2a -b=-3，解得b=-1。
② 由①得θ(x,y)=4x + y + 1，将不等式组展开：
第一个不等式：$4(2-m)+(m+1)+1 ≤1$
计算得：$8-4m+m+2 ≤1$，即$-3m ≤-9$，解得$m≥3$
第二个不等式：$4×\frac{m}{4}+\frac{1-m}{2}+1 ＜ p$
计算得：$m+\frac{1-m}{2}+1 ＜ p$，两边同乘2得$2m+1-m+2 ＜ 2p$，解得$m＜2p-3$
因此不等式组解集为$3≤m＜2p-3$，恰好有2024个整数解，整数解为3、4、…、2026，故$2026＜2p-3≤2027$，解得$1014.5 ＜ p ≤1015$。
(2) 展开整理θ(n-m,3m+2)+n：
$\begin{aligned}θ(n-m,3m+2)+n&=2a(n-m)-b(3m+2)+1+n\\&=(2a+1)n-(2a+3b)m-2b+1\end{aligned}$
因取值与m、n无关，故$\begin{cases}2a+1=0 \\2a+3b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=\frac{1}{3}\end{cases}$，代入常数项得$-2×\frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) ① $\begin{cases}a=2 \\b=-1\end{cases}$；② $1014.5 ＜ p ≤1015$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组求解，一元一次不等式组整数解
【点评】
本题结合新定义运算，综合考查方程、不等式的相关知识，既需要准确理解新运算规则，也需要熟练掌握方程组、不等式组的求解方法，第二问对“定值”的理解是解题关键，对逻辑分析和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算的综合题型，解题思路如下：
1. 求解(1)①：根据新运算规则，将已知的两个θ值代入运算公式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
2. 求解(1)②：先将①求得的a、b代入新运算公式，得到θ(x,y)的具体表达式，再把不等式组中的两个θ运算展开，分别解两个一元一次不等式得到m的取值范围。结合恰好有2024个整数解的条件，确定解集右端点的取值范围，进而求出p的范围。
3. 求解(2)：先把θ(n-m,3m+2)+n按新运算规则展开，整理为分别含n、含m的项和常数项的形式，因取值与m、n无关，故m、n的系数均为0，联立方程组求出a、b后代入常数项，即可得到定值。
【解析】
(1) ① 由题意，将θ(-1,1)=-2、θ(3,-1)=12代入θ(x,y)=2ax - by + 1，得：
$\begin{cases}-2a - b + 1 = -2 \\6a + b + 1 = 12\end{cases}$
整理为$\begin{cases}-2a - b = -3 \\6a + b = 11\end{cases}$，两式相加消去b得4a=8，解得a=2，将a=2代入-2a -b=-3，解得b=-1。
② 由①得θ(x,y)=4x + y + 1，将不等式组展开：
第一个不等式：$4(2-m)+(m+1)+1 ≤1$
计算得：$8-4m+m+2 ≤1$，即$-3m ≤-9$，解得$m≥3$
第二个不等式：$4×\frac{m}{4}+\frac{1-m}{2}+1 ＜ p$
计算得：$m+\frac{1-m}{2}+1 ＜ p$，两边同乘2得$2m+1-m+2 ＜ 2p$，解得$m＜2p-3$
因此不等式组解集为$3≤m＜2p-3$，恰好有2024个整数解，整数解为3、4、…、2026，故$2026＜2p-3≤2027$，解得$1014.5 ＜ p ≤1015$。
(2) 展开整理θ(n-m,3m+2)+n：
$\begin{aligned}θ(n-m,3m+2)+n&=2a(n-m)-b(3m+2)+1+n\\&=(2a+1)n-(2a+3b)m-2b+1\end{aligned}$
因取值与m、n无关，故$\begin{cases}2a+1=0 \\2a+3b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=\frac{1}{3}\end{cases}$，代入常数项得$-2×\frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) ① $\begin{cases}a=2 \\b=-1\end{cases}$；② $1014.5 ＜ p ≤1015$；(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组求解，一元一次不等式组整数解
【点评】
本题结合新定义运算，综合考查方程、不等式的相关知识，既需要准确理解新运算规则，也需要熟练掌握方程组、不等式组的求解方法，第二问对“定值”的理解是解题关键，对逻辑分析和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
