13. (2025·南岗区)等边△ABC中，边长为6，D在射线CA上，AD=3，点E在射线BC上，BD=ED，则BE的长为.

13. 9或3

14. (2010·雅安)如图,点C是线段AB上除点A,B外的任意一点,分别以AC,BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:AE=BD;
(2)求证:MN//AB.

14. 证明:(1)
∵ △ACD 和△BCE 是等边三角形,
∴ AC = DC,CE = CB,∠DCA = 60°,∠ECB = 60°.
∵ ∠DCA = ∠ECB = 60°,
∴ ∠DCA + ∠DCE = ∠ECB + ∠DCE,∠ACE = ∠DCB,在△ACE 与△DCB 中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB, \end{cases}$
∴ △ACE ≌ △DCB(SAS),
∴ AE = BD；
(2)
∵ 由(1)得,△ACE ≌ △DCB,
∴ ∠CAM = ∠CDN.
∵ ∠ACD = ∠ECB = 60°,而A,C,B 三点共线,
∴ ∠DCN = 60°,在△ACM与△DCN 中,$\begin{cases} ∠MAC=∠NDC, \\ AC=DC, \\ ∠ACM=∠DCN=60°, \end{cases}$
∴ △ACM≌△DCN ( ASA ),
∴ MC = NC.
∵ ∠MCN = 60°,
∴ △MCN 为等边三角形,
∴ ∠NMC = ∠DCN = 60°,
∴ ∠NMC = ∠DCA,
∴ MN // AB.

15.（2024秋·天河区期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE//AB.
（1）若△ABD为等边三角形，请判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD=12，CE=9，求CF的长.

15. (1) △DEF 是等边三角形,理由如下:
∵ △ABD为等边三角形,
∴ ∠ADB=60°,∠ABD=60°.
∵ CE//AB,
∴ ∠DEF = ∠A = 60°,∠EFD = ∠ABD = 60°,
∴ △DEF 是等边三角形；
(2) 连接AC 交BD 于点O,,
∵ AB=AD,CB=CD,
∴ AC 垂直平分BD,
∴ AO⊥BD,
∴ ∠BAO=∠DAO=30°.
∵ CE//AB,
∴ ∠ACE = ∠BAO = ∠DAO,
∴ AE = CE = 9,
∴ DE=AD-AE=12-9=3,
∵ △DEF 是等腰三角形,
∴ EF = DE = 3,
∴ CF = CE - EF = 6.

16. (2024春·景泰县期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=α(0°＜α＜60°)$,点$D$在$△ ABC$内,$BD=BC$,$∠ DBC=60°$,点$E$在$△ ABC$外,$∠ BCE=150°$,$∠ ABE=60°$.
(1)求$∠ ADB$的度数;
(2)判断$△ ABE$的形状并加以证明;
(3)连接$DE$,若$DE⊥ BD$,$DE=10$,直接写出$AD$的长.

16. (1)
∵ BD=BC,∠DBC=60°,
∴ △DBC 是等边三角形,
∴ DB = DC,∠BDC = ∠DBC = ∠DCB = 60°,在△ADB 和△ADC 中,AB = AC,AD = AD,DB=DC,
∴ △ADB≌△ADC(SSS),
∴ ∠ADB=∠ADC,
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$(360°-60°)=150°；
(2) 结论:△ABE 是等边三角形. 理由如下:
∵ ∠ABE = ∠DBC = 60°,
∴ ∠ABD = ∠CBE,在△ABD 和△EBC 中,∠ADB = ∠BCE = 150°, BD = BC,∠ABD = ∠CBE,
∴ △ABD ≌ △EBC ( ASA ),
∴ AB=BE.
∵ ∠ABE=60°,
∴ △ABE 是等边三角形；
(3) 连接DE,,
∵ ∠BCE=150°,∠DCB=60°,
∴ ∠DCE=90°.
∵ ∠EDB=90°,∠BDC=60°,
∴ ∠EDC=30°,
∴ EC = $\frac{1}{2}$ DE = 5.
∵ △ABD≌△EBC,
∴ AD=EC=5.