8. (2024·利川市模拟)如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM交于点Q.
(1) 求证：△BAN≌△ACM；
(2) 求∠BQM的大小.

8. (1)
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ AB = BC = CA,∠BAC = ∠BCA = 60°.
∵ BM=CN,
∴ CM=AN,又
∵ ∠BAN = ∠ACM,
∴ △BAN ≌ △ACM；
(2)
∴ ∠CAM = ∠ABN,
∴ ∠BQM = ∠ABN + ∠BAQ = ∠CAM + ∠BAQ = ∠BAC=60°.

9. (2024秋·周村区期中)已知△ABC是等边三角形,将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置,让三角尺在BC所在的直线上向右平移.如图1,当点E与点B重合时,点A恰好落在三角尺的斜边DF上.
(1) 利用图1证明:EF=2BC;
(2) 如图2,在三角尺平移过程中,设AB,AC与三角尺的斜边的交点分别为G,H,猜想线段AH与BE存在怎样的数量关系?并证明你的结论.

9. (1) 证明:由题意得,∠F = 30°,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AC = BC,∠ACB = 60°,
∴ ∠CAF = ∠ACB - ∠F = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠CAF=∠F = 30°,
∴ CA = CF,
∴ BC = CF,
∴ EF = 2BC；
(2) 解:AH = BE,证明如下:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AC = BC,∠ACB = 60°,
∴ ∠CHF = ∠ACB - ∠F = 60° - 30° = 30°,
∴ ∠CHF=∠F,
∴ CF = CH.
∵ EF = 2BC,
∴ BE + CF = BC,又
∵ AC = AH + CH,AC = BC,
∴ AH=BE.

10. (2025·南昌模拟)如图，△ABC是等边三角形，分别以A和C点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交AC于点D，又以C为圆心，以CD的长度为半径画弧交BC的延长线于E点，连接ED并延长交AB于点F，经过此操作后，下列结论错误的是（）

A.MN平分∠ABC
B.∠BEF=30°
C.CD=DF
D.BE=2BF

10. C

11. (2024秋·苍梧县期末)如图,已知$∠ MON=30°$,点$A_1,A_2,A_3,···$在射线$ON$上,点$B_1,B_2,B_3,···$在射线$OM$上,$△ A_1B_1A_2,△ A_2B_2A_3,△ A_3B_3A_4,···$均为等边三角形,若$OA_1=2$,则$△ A_6B_6A_7$的边长为 ()

A.16
B.32
C.64
D.128

11. C

12. (2024秋·鄂伦春自治旗期末)如图,已知$△ ABC$是等边三角形,且$AC=CE$,$DF=DE$,点$G$,$D$,$F$分别为$AC$,$CE$,$GD$的中点,则$∠ E=$$°$.

12. 15