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1 [2024 宿豫期末]下列关于反比例函数$y=\frac{2}{x}$的说法正确的是（
A.它的图象在第二、四象限
B.它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C.当$x=-\sqrt{2}$时，$y=-1$
D.$y$随$x$的增大而减小
B
）A.它的图象在第二、四象限
B.它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C.当$x=-\sqrt{2}$时，$y=-1$
D.$y$随$x$的增大而减小
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，再结合反比例函数的图象位置、对称性、增减性规律，以及代入求值的方法，对四个选项逐一判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，逐一分析选项：
A选项：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），也是中心对称图形（对称中心为坐标原点），故B正确；
C选项：将$x=-\sqrt{2}$代入函数得$y=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}≠-1$，故C错误；
D选项：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，选项未限定“在每个象限内”，表述错误，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数的对称性
3.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础考查题，易错点为忽略反比例函数增减性的适用前提是“在同一象限内”，需熟练掌握比例系数$k$的取值对图象和性质的影响。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，再结合反比例函数的图象位置、对称性、增减性规律，以及代入求值的方法，对四个选项逐一判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，逐一分析选项：
A选项：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），也是中心对称图形（对称中心为坐标原点），故B正确；
C选项：将$x=-\sqrt{2}$代入函数得$y=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}≠-1$，故C错误；
D选项：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，选项未限定“在每个象限内”，表述错误，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数的对称性
3.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础考查题，易错点为忽略反比例函数增减性的适用前提是“在同一象限内”，需熟练掌握比例系数$k$的取值对图象和性质的影响。
【难度系数】
0.8
2[2025天津]若点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
2. D
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：利用反比例函数的性质判断。首先确定反比例函数中k的正负，明确图象所在象限和增减性，再根据三个点横坐标的正负判断所属象限：第二象限的点的纵坐标恒为正，第四象限的点的纵坐标恒为负，先区分出正负，再对同象限内的点利用增减性比较函数值大小。思路2：代入求值法。将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，直接计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$中$k=-9＜0$，
∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，
∴ 点$A$在第二象限，$y_1＞0$。
∵ 点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，
∴ 点B、C在第四象限，$y_2＜0$，$y_3＜0$。
∵ 第四象限内$1＜3$，根据增减性得$y_2＜y_3$。
综上，$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=-\dfrac{9}{x}$得：
$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$，
$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$，
$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
∵ $-9＜-3＜3$，
∴ $y_2＜y_3＜y_1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题考查反比例函数相关知识的应用，两种解题方法都较为常用，解题时需注意：若用增减性比较函数值大小，必须保证是同一象限内的点，跨象限比较时可先通过正负性快速判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路1：利用反比例函数的性质判断。首先确定反比例函数中k的正负，明确图象所在象限和增减性，再根据三个点横坐标的正负判断所属象限：第二象限的点的纵坐标恒为正，第四象限的点的纵坐标恒为负，先区分出正负，再对同象限内的点利用增减性比较函数值大小。思路2：代入求值法。将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，直接计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的具体数值，再比较大小即可。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$中$k=-9＜0$，
∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，
∴ 点$A$在第二象限，$y_1＞0$。
∵ 点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，
∴ 点B、C在第四象限，$y_2＜0$，$y_3＜0$。
∵ 第四象限内$1＜3$，根据增减性得$y_2＜y_3$。
综上，$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入$y=-\dfrac{9}{x}$得：
$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$，
$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$，
$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
∵ $-9＜-3＜3$，
∴ $y_2＜y_3＜y_1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题考查反比例函数相关知识的应用，两种解题方法都较为常用，解题时需注意：若用增减性比较函数值大小，必须保证是同一象限内的点，跨象限比较时可先通过正负性快速判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
3 [2025 泗洪期末]若函数$y=\frac{2m-3}{x}$的图象在第二、四象限，则m的取值范围是
$m＜\frac{3}{2}$
。答案
3. $m＜\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质应用，解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象分布规律：当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；接下来对应题中函数的比例系数为$2m-3$，令其小于0，解一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
已知该函数图象在第二、四象限，因此比例系数$k＜0$。
本题中$k=2m-3$，代入得不等式：
$2m - 3 ＜ 0$
移项得：$2m ＜ 3$
两边同时除以2得：$m ＜ \frac{3}{2}$
【答案】
$m＜\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象分布与比例系数的对应关系，只需牢记相关性质并正确求解简单不等式即可得分，是反比例函数章节的常规考查题。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象性质应用，解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象分布规律：当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；接下来对应题中函数的比例系数为$2m-3$，令其小于0，解一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
已知该函数图象在第二、四象限，因此比例系数$k＜0$。
本题中$k=2m-3$，代入得不等式：
$2m - 3 ＜ 0$
移项得：$2m ＜ 3$
两边同时除以2得：$m ＜ \frac{3}{2}$
【答案】
$m＜\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象分布与比例系数的对应关系，只需牢记相关性质并正确求解简单不等式即可得分，是反比例函数章节的常规考查题。
【难度系数】
0.8
4 [2025 陕西]如图，过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于A(m,n)，B(m−6,n−6)两点，则k的值为
（第4题）
9
。（第4题）答案
4. 9
解析
【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数与过原点的直线的交点性质：两者的两个交点关于原点对称，即两个交点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。结合题目给出的A、B两点的坐标表达式，可列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值，最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，两点的横、纵坐标分别互为相反数。
已知$A(m,n)$，$B(m-6,n-6)$，因此可得：
$\begin{cases}m-6=-m\\n-6=-n\end{cases}$
解第一个方程：移项得$2m=6$，解得$m=3$；
解第二个方程：移项得$2n=6$，解得$n=3$。
即点A的坐标为$(3,3)$，将其代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=xy=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
1.反比例函数图象性质
2.关于原点对称的点的坐标特征
3.待定系数法求k值
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，核心考点是两类函数交点的对称性，熟练掌握该性质就能快速建立方程求解，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆反比例函数与过原点的直线的交点性质：两者的两个交点关于原点对称，即两个交点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。结合题目给出的A、B两点的坐标表达式，可列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值，最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，两点的横、纵坐标分别互为相反数。
已知$A(m,n)$，$B(m-6,n-6)$，因此可得：
$\begin{cases}m-6=-m\\n-6=-n\end{cases}$
解第一个方程：移项得$2m=6$，解得$m=3$；
解第二个方程：移项得$2n=6$，解得$n=3$。
即点A的坐标为$(3,3)$，将其代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=xy=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
1.反比例函数图象性质
2.关于原点对称的点的坐标特征
3.待定系数法求k值
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，核心考点是两类函数交点的对称性，熟练掌握该性质就能快速建立方程求解，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
5 如图，在平面直角坐标系中，点A在坐标原点O的左边2个单位长度处，过点A作y轴的平行线，交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象于点B，$AB=\frac{3}{2}$。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 若$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，指出点P，Q分别位于哪个象限，并简要说明理由。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 若$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，指出点P，Q分别位于哪个象限，并简要说明理由。
答案
5. (1) 由题意,得点 B 的坐标为$(-2,\frac{3}{2})$. 把$(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-3$.$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$
(2) 点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限 理由:$\because k=-3＜0$,$\therefore$ 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限.
(2) 点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限 理由:$\because k=-3＜0$,$\therefore$ 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限.
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式核心是求k值，需先得到函数图象上一个点的坐标：首先根据点A的位置确定其横坐标为-2，AB平行y轴则点B横坐标和A一致，再结合AB长度和点B所在象限确定其纵坐标，得到B点坐标后代入解析式即可算出k。
(2) 判断两点所在象限需结合反比例函数增减性分析：k＜0时，反比例函数在每个象限内y随x增大而增大，若两点在同一象限，x1＜x2时必然y1＜y2，题目给出x1＜x2时y1＞y2，说明两点不在同一象限，结合x的正负即可判断对应象限。
【解析】
(1) 由题意得，点A在原点左侧2个单位，坐标为$(-2,0)$，AB平行于y轴，$AB=\frac{3}{2}$，且点B在第二象限，因此点B坐标为$(-2,\frac{3}{2})$。
将$B(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$\frac{3}{2}=\frac{k}{-2}$
解得$k=-2×\frac{3}{2}=-3$
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由：
$\because k=-3＜0$，$\therefore$ 该反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，不符合同一象限内的增减规律，$\therefore$ 点P、Q位于不同象限，且$x_1＜0＜x_2$，即点P在第二象限，点Q在第四象限。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{x}$
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由：$\because k=-3＜0$，$\therefore$ 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限。
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的增减性，反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，通过坐标分析求解析式、结合增减性判断点的位置，能够帮助学生巩固反比例函数图象与性质的核心知识点。
【难度系数】
0.8
(1) 求反比例函数表达式核心是求k值，需先得到函数图象上一个点的坐标：首先根据点A的位置确定其横坐标为-2，AB平行y轴则点B横坐标和A一致，再结合AB长度和点B所在象限确定其纵坐标，得到B点坐标后代入解析式即可算出k。
(2) 判断两点所在象限需结合反比例函数增减性分析：k＜0时，反比例函数在每个象限内y随x增大而增大，若两点在同一象限，x1＜x2时必然y1＜y2，题目给出x1＜x2时y1＞y2，说明两点不在同一象限，结合x的正负即可判断对应象限。
【解析】
(1) 由题意得，点A在原点左侧2个单位，坐标为$(-2,0)$，AB平行于y轴，$AB=\frac{3}{2}$，且点B在第二象限，因此点B坐标为$(-2,\frac{3}{2})$。
将$B(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$\frac{3}{2}=\frac{k}{-2}$
解得$k=-2×\frac{3}{2}=-3$
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由：
$\because k=-3＜0$，$\therefore$ 该反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，不符合同一象限内的增减规律，$\therefore$ 点P、Q位于不同象限，且$x_1＜0＜x_2$，即点P在第二象限，点Q在第四象限。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{x}$
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由：$\because k=-3＜0$，$\therefore$ 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限。
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的增减性，反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，通过坐标分析求解析式、结合增减性判断点的位置，能够帮助学生巩固反比例函数图象与性质的核心知识点。
【难度系数】
0.8
6 [2025 沭阳一模]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象经过点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$。如果$x_1＜0＜x_2$，那么下列判断正确的是 （
A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_2＜y_1＜0$
D.$0＜y_2＜y_1$
A
）A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_2＜y_1＜0$
D.$0＜y_2＜y_1$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先根据反比例函数中k的取值判断函数图象所在的象限，再结合两个点横坐标的正负，分别判断两点所在的象限，最后根据不同象限内点的纵坐标的符号特征，即可比较y₁和y₂的大小关系。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 该函数的图象分布在第二、第四象限。
∵ $x_1＜0$，
∴ 点$P_1(x_1,y_1)$在第二象限，第二象限内点的纵坐标为正，故$y_1＞0$。
∵ $x_2＞0$，
∴ 点$P_2(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，故$y_2＜0$。
综上可得$y_1＞0＞y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的图象性质，解题的关键是先由k的正负确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标特征判断纵坐标的符号，熟练掌握反比例函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据反比例函数中k的取值判断函数图象所在的象限，再结合两个点横坐标的正负，分别判断两点所在的象限，最后根据不同象限内点的纵坐标的符号特征，即可比较y₁和y₂的大小关系。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 该函数的图象分布在第二、第四象限。
∵ $x_1＜0$，
∴ 点$P_1(x_1,y_1)$在第二象限，第二象限内点的纵坐标为正，故$y_1＞0$。
∵ $x_2＞0$，
∴ 点$P_2(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，故$y_2＜0$。
综上可得$y_1＞0＞y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的图象性质，解题的关键是先由k的正负确定函数图象所在象限，再结合点的横坐标特征判断纵坐标的符号，熟练掌握反比例函数的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
