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1 [2024 陕西改编] $\sqrt{\dfrac{9}{4}}$ 的值为 （
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$\pm\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{81}{16}$
A
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$\pm\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{81}{16}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，据此可先排除不符合非负要求的选项；再根据算术平方根的定义，找到平方等于$\frac{9}{4}$的正数，即可得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，且算术平方根的结果一定是非负数。
1. 先排除错误选项：B选项为负数，C选项包含正负两个值，均不符合算术平方根非负的要求，直接排除；D选项是$(\frac{9}{4})^2$的结果，和算术平方根计算无关，排除。
2. 计算验证：因为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，所以$\frac{9}{4}$的算术平方根为$\frac{3}{2}$，即$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查对算术平方根概念的理解，解题时需注意区分算术平方根和平方根的差异，避免因混淆二者的取值要求而选错答案。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，据此可先排除不符合非负要求的选项；再根据算术平方根的定义，找到平方等于$\frac{9}{4}$的正数，即可得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，且算术平方根的结果一定是非负数。
1. 先排除错误选项：B选项为负数，C选项包含正负两个值，均不符合算术平方根非负的要求，直接排除；D选项是$(\frac{9}{4})^2$的结果，和算术平方根计算无关，排除。
2. 计算验证：因为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，所以$\frac{9}{4}$的算术平方根为$\frac{3}{2}$，即$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查对算术平方根概念的理解，解题时需注意区分算术平方根和平方根的差异，避免因混淆二者的取值要求而选错答案。
【难度系数】
0.9
2 [2025 苏州工业园区段考]下列各式中，正确的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-3)^2}=9$
C.$\sqrt{(-9)^2}=\pm3$
D.$\sqrt{(-13)^2}=13$
D
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-3)^2}=9$
C.$\sqrt{(-9)^2}=\pm3$
D.$\sqrt{(-13)^2}=13$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果为非负数，且是唯一的正的平方根（0的算术平方根为0）。解题时先计算每个选项中根号内的乘方结果，再对得到的正数求算术平方根，将计算结果和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$（$a≥0$），算术平方根的结果一定是非负的。我们逐一分析选项：
A选项：先计算根号内：$(-2)^2=4$，则$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
B选项：先计算根号内：$(-3)^2=9$，则$\sqrt{9}=3≠9$，故B错误；
C选项：先计算根号内：$(-9)^2=81$，则$\sqrt{81}=9$，算术平方根只有非负的唯一结果，不存在$\pm$的情况，故C错误；
D选项：先计算根号内：$(-13)^2=169$，则$\sqrt{169}=13$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，注意不要将算术平方根和平方根混淆，也不要出现开方运算和乘方运算混淆的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果为非负数，且是唯一的正的平方根（0的算术平方根为0）。解题时先计算每个选项中根号内的乘方结果，再对得到的正数求算术平方根，将计算结果和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$（$a≥0$），算术平方根的结果一定是非负的。我们逐一分析选项：
A选项：先计算根号内：$(-2)^2=4$，则$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
B选项：先计算根号内：$(-3)^2=9$，则$\sqrt{9}=3≠9$，故B错误；
C选项：先计算根号内：$(-9)^2=81$，则$\sqrt{81}=9$，算术平方根只有非负的唯一结果，不存在$\pm$的情况，故C错误；
D选项：先计算根号内：$(-13)^2=169$，则$\sqrt{169}=13$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是牢记算术平方根的非负性，注意不要将算术平方根和平方根混淆，也不要出现开方运算和乘方运算混淆的错误。
【难度系数】
0.8
3 [2025 常州改编]$\frac{16}{49}$的算术平方根是
$\dfrac{4}{7}$
.答案
3. $\dfrac{4}{7}$
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。本题要求$\frac{16}{49}$的算术平方根，我们只需要找到一个非负的数，它的平方等于$\frac{16}{49}$即可，可以分别计算分子、分母的算术平方根，再组合得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义，设$x$是$\frac{16}{49}$的算术平方根，则满足：
1. $x＞0$
2. $x^2=\frac{16}{49}$
我们知道$(\frac{4}{7})^2=\frac{4^2}{7^2}=\frac{16}{49}$，且$\frac{4}{7}＞0$，符合算术平方根的非负要求，因此$\frac{16}{49}$的算术平方根是$\frac{4}{7}$。
【答案】
$\dfrac{4}{7}$
【知识点】
算术平方根的定义；开平方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对算术平方根非负性的理解，解题时注意不要和平方根混淆，避免出现正负两个结果的错误。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。本题要求$\frac{16}{49}$的算术平方根，我们只需要找到一个非负的数，它的平方等于$\frac{16}{49}$即可，可以分别计算分子、分母的算术平方根，再组合得到结果。
【解析】
根据算术平方根的定义，设$x$是$\frac{16}{49}$的算术平方根，则满足：
1. $x＞0$
2. $x^2=\frac{16}{49}$
我们知道$(\frac{4}{7})^2=\frac{4^2}{7^2}=\frac{16}{49}$，且$\frac{4}{7}＞0$，符合算术平方根的非负要求，因此$\frac{16}{49}$的算术平方根是$\frac{4}{7}$。
【答案】
$\dfrac{4}{7}$
【知识点】
算术平方根的定义；开平方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对算术平方根非负性的理解，解题时注意不要和平方根混淆，避免出现正负两个结果的错误。
【难度系数】
0.9
11是x的算术平方根”，用式子表示为
$\sqrt{x}=11$
。答案
4. $\sqrt{x}=11$
解析
【分析】
首先回忆算术平方根的相关概念：x的算术平方根有固定的符号表示形式，即$\sqrt{x}$。题目明确说明11是x的算术平方根，本质就是x的算术平方根的取值为11，只需把文字表述直接转化为对应的等式即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果正数$a$满足$a^2=x$，那么$a$叫做$x$的算术平方根，记作$\sqrt{x}=a$。
本题中11是x的算术平方根，即x的算术平方根等于11，对应写成数学式子就是$\sqrt{x}=11$。
【答案】
$\sqrt{x}=11$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的表示
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对算术平方根符号表示的理解，熟练掌握算术平方根的记法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆算术平方根的相关概念：x的算术平方根有固定的符号表示形式，即$\sqrt{x}$。题目明确说明11是x的算术平方根，本质就是x的算术平方根的取值为11，只需把文字表述直接转化为对应的等式即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果正数$a$满足$a^2=x$，那么$a$叫做$x$的算术平方根，记作$\sqrt{x}=a$。
本题中11是x的算术平方根，即x的算术平方根等于11，对应写成数学式子就是$\sqrt{x}=11$。
【答案】
$\sqrt{x}=11$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的表示
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对算术平方根符号表示的理解，熟练掌握算术平方根的记法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5 教材P62例1变式 求下列各数的算术平方根：
(1) 0.04；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $6\frac{1}{4}$；
(4) $145^2 - 144^2$。
(1) 0.04；
(2) $\frac{1}{9}$；
(3) $6\frac{1}{4}$；
(4) $145^2 - 144^2$。
答案
5. (1) 0.2 (2) $\dfrac{1}{3}$ (3) $\dfrac{5}{2}$ (4) 17
解析
【分析】
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个正数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时按小问逐一处理：(1)直接寻找平方等于0.04的正数；(2)寻找平方等于$\frac{1}{9}$的正数；(3)先将带分数化为假分数，再找对应平方的正数；(4)先利用平方差公式简化计算求出算式的结果，再求该结果的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.2^2=0.04$，根据算术平方根的定义，可得0.04的算术平方根是0.2，即$\sqrt{0.04}=0.2$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{1}{9}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$。
(3) 先将带分数$6\frac{1}{4}$化为假分数：$6\frac{1}{4}=\frac{6×4+1}{4}=\frac{25}{4}$，又因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$6\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}$。
(4) 先计算$145^2-144^2$，利用平方差公式可得：$145^2-144^2=(145-144)×(145+144)=1×289=289$，又因为$17^2=289$，所以$145^2-144^2$的算术平方根是17，即$\sqrt{145^2-144^2}=17$。
【答案】
(1) 0.2；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) 17
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 平方差公式；3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题是算术平方根的基础运算题，解题关键是牢记算术平方根的非负性，遇到带分数先转化为假分数，遇到平方差形式的算式可先利用公式简化计算再求解，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个正数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时按小问逐一处理：(1)直接寻找平方等于0.04的正数；(2)寻找平方等于$\frac{1}{9}$的正数；(3)先将带分数化为假分数，再找对应平方的正数；(4)先利用平方差公式简化计算求出算式的结果，再求该结果的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$0.2^2=0.04$，根据算术平方根的定义，可得0.04的算术平方根是0.2，即$\sqrt{0.04}=0.2$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{1}{9}$的算术平方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$。
(3) 先将带分数$6\frac{1}{4}$化为假分数：$6\frac{1}{4}=\frac{6×4+1}{4}=\frac{25}{4}$，又因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$6\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}$。
(4) 先计算$145^2-144^2$，利用平方差公式可得：$145^2-144^2=(145-144)×(145+144)=1×289=289$，又因为$17^2=289$，所以$145^2-144^2$的算术平方根是17，即$\sqrt{145^2-144^2}=17$。
【答案】
(1) 0.2；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) 17
【知识点】
1. 算术平方根的定义；2. 平方差公式；3. 带分数与假分数的互化
【点评】
本题是算术平方根的基础运算题，解题关键是牢记算术平方根的非负性，遇到带分数先转化为假分数，遇到平方差形式的算式可先利用公式简化计算再求解，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
6 计算：
(1) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(2) $(\sqrt{17})^2$；
(3) $\sqrt{10^8}$；
(4) $\sqrt{16}-\sqrt{81}$。
(1) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(2) $(\sqrt{17})^2$；
(3) $\sqrt{10^8}$；
(4) $\sqrt{16}-\sqrt{81}$。
答案
6. (1) $-\dfrac{6}{5}$ (2) 17 (3) $10^4$ (4) $-5$
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：(1)计算带分数的算术平方根时，先将带分数化为假分数，再求出其算术平方根，最后加上原式的负号即可；(2)直接运用算术平方根的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$求解；(3)根据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的非负数即可，对于幂的形式可通过指数运算简化计算；(4)先分别求出两个数的算术平方根，再做减法运算。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{25+11}{25}=\dfrac{36}{25}$，
则$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\sqrt{\dfrac{36}{25}}=-\dfrac{6}{5}$；
(2) 根据算术平方根的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，
可得$(\sqrt{17})^2=17$；
(3) 因为$(10^4)^2=10^{4×2}=10^8$，根据算术平方根的定义，
可得$\sqrt{10^8}=10^4$；
(4) 先分别计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{81}=9$，
则$\sqrt{16}-\sqrt{81}=4-9=-5$。
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$ (2) 17 (3) $10^4$ (4) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；有理数的运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，核心是对算术平方根概念和性质的理解运用，计算时需注意带分数要先化为假分数，不要漏掉原式的符号，熟练掌握相关性质可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.85
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：(1)计算带分数的算术平方根时，先将带分数化为假分数，再求出其算术平方根，最后加上原式的负号即可；(2)直接运用算术平方根的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$求解；(3)根据算术平方根的定义，找到平方后等于被开方数的非负数即可，对于幂的形式可通过指数运算简化计算；(4)先分别求出两个数的算术平方根，再做减法运算。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{25+11}{25}=\dfrac{36}{25}$，
则$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\sqrt{\dfrac{36}{25}}=-\dfrac{6}{5}$；
(2) 根据算术平方根的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，
可得$(\sqrt{17})^2=17$；
(3) 因为$(10^4)^2=10^{4×2}=10^8$，根据算术平方根的定义，
可得$\sqrt{10^8}=10^4$；
(4) 先分别计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{81}=9$，
则$\sqrt{16}-\sqrt{81}=4-9=-5$。
【答案】
(1) $-\dfrac{6}{5}$ (2) 17 (3) $10^4$ (4) $-5$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；有理数的运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，核心是对算术平方根概念和性质的理解运用，计算时需注意带分数要先化为假分数，不要漏掉原式的符号，熟练掌握相关性质可大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.85
7 [2025 南京]$10^{-6}$ 的算术平方根是（
A.0.0001
B.0.001
C.$\pm0.0001$
D.$\pm0.001$
B
）A.0.0001
B.0.001
C.$\pm0.0001$
D.$\pm0.001$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果是非负数，因此可以先排除带有正负号的错误选项；接下来先将$10^{-6}$转化为常规的小数形式，再根据算术平方根的定义，找到平方后等于该数的正数，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定为非负数，因此可直接排除带正负号的选项C、D。
2. 先换算$10^{-6}=\frac{1}{10^6}=0.000001$。
3. 计算可得$0.001^2=0.000001=10^{-6}$，符合算术平方根的定义，因此$10^{-6}$的算术平方根是$0.001$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负结果，避免混淆概念选错答案，同时要熟练掌握负指数幂和小数的换算。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果是非负数，因此可以先排除带有正负号的错误选项；接下来先将$10^{-6}$转化为常规的小数形式，再根据算术平方根的定义，找到平方后等于该数的正数，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定为非负数，因此可直接排除带正负号的选项C、D。
2. 先换算$10^{-6}=\frac{1}{10^6}=0.000001$。
3. 计算可得$0.001^2=0.000001=10^{-6}$，符合算术平方根的定义，因此$10^{-6}$的算术平方根是$0.001$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负结果，避免混淆概念选错答案，同时要熟练掌握负指数幂和小数的换算。
【难度系数】
0.8
