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一、单项选择题
1. 下列是二元一次方程的是 （
A.$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$
B.$4x^2 - 7y = 11$
C.$y + 6 = x$
D.$\dfrac{1}{x} + y = 4$
1. 下列是二元一次方程的是 （
C
）A.$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$
B.$4x^2 - 7y = 11$
C.$y + 6 = x$
D.$\dfrac{1}{x} + y = 4$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断方程是否为二元一次方程，需先明确二元一次方程的三个判定标准：①含有2个不同的未知数；②含未知数的项的次数均为1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时用这三个标准逐一排查选项，不符合任意一条即可排除，最终选出完全符合条件的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$仅含x1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元的要求，排除；
B. 方程$4x^2 - 7y = 11$中x的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，排除；
C. 方程$y + 6 = x$变形为$x-y=6$，含x、y两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
D. 方程$\dfrac{1}{x} + y = 4$的分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考察对二元一次方程判定标准的记忆与应用，紧扣三个判定要点筛选即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断方程是否为二元一次方程，需先明确二元一次方程的三个判定标准：①含有2个不同的未知数；②含未知数的项的次数均为1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时用这三个标准逐一排查选项，不符合任意一条即可排除，最终选出完全符合条件的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$2x + 3 = \dfrac{5}{2}$仅含x1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元的要求，排除；
B. 方程$4x^2 - 7y = 11$中x的次数是2，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，排除；
C. 方程$y + 6 = x$变形为$x-y=6$，含x、y两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义；
D. 方程$\dfrac{1}{x} + y = 4$的分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考察对二元一次方程判定标准的记忆与应用，紧扣三个判定要点筛选即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列各组数中，是方程$x+2y=4$的解的是（
A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$
答案
2.C
解析
【分析】
判断一组数是不是二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将每组未知数的值分别代入方程的左边计算结果，若结果和方程右边的数值相等，则这组数是该方程的解，反之则不是。本题我们只需要把四个选项的x、y值依次代入方程x+2y=4的左边计算，再和右边的4比较即可选出正确答案。
【解析】
根据二元一次方程解的定义，将各选项逐一代入方程验证：
A. 把$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$代入方程左边得：$-1 + 2×3 = 5$，$5≠4$，故不是方程的解；
B. 把$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程左边得：$2 + 2×(-1) = 0$，$0≠4$，故不是方程的解；
C. 把$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$代入方程左边得：$0 + 2×2 = 4$，和右边相等，故是方程的解；
D. 把$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入方程左边得：$4 + 2×1 = 6$，$6≠4$，故不是方程的解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入检验法
【点评】
本题是基础类题型，考查二元一次方程解的判定方法，只要熟练掌握代入验证的步骤，计算过程中细心避免符号错误，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
判断一组数是不是二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将每组未知数的值分别代入方程的左边计算结果，若结果和方程右边的数值相等，则这组数是该方程的解，反之则不是。本题我们只需要把四个选项的x、y值依次代入方程x+2y=4的左边计算，再和右边的4比较即可选出正确答案。
【解析】
根据二元一次方程解的定义，将各选项逐一代入方程验证：
A. 把$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$代入方程左边得：$-1 + 2×3 = 5$，$5≠4$，故不是方程的解；
B. 把$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程左边得：$2 + 2×(-1) = 0$，$0≠4$，故不是方程的解；
C. 把$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$代入方程左边得：$0 + 2×2 = 4$，和右边相等，故是方程的解；
D. 把$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入方程左边得：$4 + 2×1 = 6$，$6≠4$，故不是方程的解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 代入检验法
【点评】
本题是基础类题型，考查二元一次方程解的判定方法，只要熟练掌握代入验证的步骤，计算过程中细心避免符号错误，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 下列是二元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 3y + z = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 5x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases}$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断哪个是二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；②方程组总共只含2个不同的未知数；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需用这三个条件逐一核对选项，不符合任意一个就排除，全部符合即为正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的判定要求：含2个未知数、含未知数的项的次数都是1、均为整式方程。
选项A：第一个方程中$\frac{1}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不符合整式方程的要求，排除；
选项B：两个方程都是整式方程，仅含$x$、$y$2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，正确；
选项C：方程组中含有$x$、$y$、$z$共3个未知数，属于三元方程组，不符合“二元”的要求，排除；
选项D：第二个方程中$xy$项的次数为$1+1=2$，属于二次项，不符合“一次”的要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组判定；整式方程概念；项的次数判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是紧扣二元一次方程组的三个核心定义要素逐一排查选项，常见易错点包括误将分母含未知数的分式方程当作整式方程、忽略两个未知数乘积项的次数为2、数错未知数的总个数。
【难度系数】
0.75
要判断哪个是二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①所有方程都是整式方程（分母不含未知数）；②方程组总共只含2个不同的未知数；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需用这三个条件逐一核对选项，不符合任意一个就排除，全部符合即为正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的判定要求：含2个未知数、含未知数的项的次数都是1、均为整式方程。
选项A：第一个方程中$\frac{1}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不符合整式方程的要求，排除；
选项B：两个方程都是整式方程，仅含$x$、$y$2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，正确；
选项C：方程组中含有$x$、$y$、$z$共3个未知数，属于三元方程组，不符合“二元”的要求，排除；
选项D：第二个方程中$xy$项的次数为$1+1=2$，属于二次项，不符合“一次”的要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组判定；整式方程概念；项的次数判定
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是紧扣二元一次方程组的三个核心定义要素逐一排查选项，常见易错点包括误将分母含未知数的分式方程当作整式方程、忽略两个未知数乘积项的次数为2、数错未知数的总个数。
【难度系数】
0.75
4. 解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=-4\end{cases}$的方程组可以是 （ ）
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x-y=-1, \\ 3x-y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=3, \\ 3x-y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x-2y=-3, \\ 3x+y=5 \end{cases}$
答案
4.C
解析
【分析】要判断给定的解是哪个方程组的解，核心是利用二元一次方程组解的定义：能同时满足方程组中所有方程的未知数的值，就是方程组的解。解题时我们可以采用代入验证法，把$x=-1$，$y=-4$依次代入每个选项的两个方程中，若两个方程左右两边都相等就是正确选项，只要有一个方程不相等就可以直接排除该选项。
【解析】将$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$分别代入各选项验证：
选项A：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=-1$，左边≠右边，不符合要求，排除；
选项B：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=1$，左边≠右边，不符合要求，排除；
选项C：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=3$，左边=右边；再代入第二个方程$3x-y$，左边$=3×(-1)-(-4)=1$，右边$=1$，左边=右边，两个方程都成立，符合要求；
选项D：代入第一个方程$x-2y$，左边$=-1-2×(-4)=7$，右边$=-3$，左边≠右边，不符合要求，排除。
【答案】C
【知识点】1.二元一次方程组的解 2.代入验证法
【点评】本题属于基础题型，代入验证法是解决这类题的最简便方法，做题时注意符号运算规则，避免因计算错误失分。
【难度系数】0.8
【解析】将$\begin{cases}x=-1 \\ y=-4\end{cases}$分别代入各选项验证：
选项A：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=-1$，左边≠右边，不符合要求，排除；
选项B：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=1$，左边≠右边，不符合要求，排除；
选项C：代入第一个方程$x-y$，左边$=-1-(-4)=3$，右边$=3$，左边=右边；再代入第二个方程$3x-y$，左边$=3×(-1)-(-4)=1$，右边$=1$，左边=右边，两个方程都成立，符合要求；
选项D：代入第一个方程$x-2y$，左边$=-1-2×(-4)=7$，右边$=-3$，左边≠右边，不符合要求，排除。
【答案】C
【知识点】1.二元一次方程组的解 2.代入验证法
【点评】本题属于基础题型，代入验证法是解决这类题的最简便方法，做题时注意符号运算规则，避免因计算错误失分。
【难度系数】0.8
5.《算法统宗》中有一首数学诗:好酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人,共同饮了一十九,三十三客醉醺醺,试问高明能算士,几多醾酒几多醇? 译文:好酒一瓶,可以醉倒三个客人;薄酒三瓶,可以醉倒一个客人,如今三十三个客人醉倒了,他们总共饮十九瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶? 设有好酒$x$瓶,薄酒$y$瓶.根据题意,可列方程组为 (
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
答案
5.A
解析
【分析】
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题思路是先从题干中找到两个独立的等量关系：一是总饮酒瓶数为19，二是醉倒的总人数为33。再分别用含x、y的式子表示两个等量关系中的量，即可列出对应的方程组，最后匹配选项即可。
【解析】
首先提取题目中的两个等量关系：
1. 好酒瓶数+薄酒瓶数=总饮酒瓶数19，已知好酒x瓶，薄酒y瓶，因此可得方程：$\boldsymbol{x+y=19}$；
2. 好酒喝倒的人数+薄酒喝倒的人数=总醉客数33：好酒1瓶醉3人，x瓶好酒可醉倒$3x$人；薄酒3瓶醉1人，即1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$人，y瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$人，因此可得方程：$\boldsymbol{3x+\frac{1}{3}y=33}$。
联立两个方程可得对应的方程组，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题以古代数学诗为背景，考查从实际问题中抽象出二元一次方程组的能力，解题的核心是准确理解题意，找准总瓶数、总人数两个不变的总量，属于基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题思路是先从题干中找到两个独立的等量关系：一是总饮酒瓶数为19，二是醉倒的总人数为33。再分别用含x、y的式子表示两个等量关系中的量，即可列出对应的方程组，最后匹配选项即可。
【解析】
首先提取题目中的两个等量关系：
1. 好酒瓶数+薄酒瓶数=总饮酒瓶数19，已知好酒x瓶，薄酒y瓶，因此可得方程：$\boldsymbol{x+y=19}$；
2. 好酒喝倒的人数+薄酒喝倒的人数=总醉客数33：好酒1瓶醉3人，x瓶好酒可醉倒$3x$人；薄酒3瓶醉1人，即1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$人，y瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$人，因此可得方程：$\boldsymbol{3x+\frac{1}{3}y=33}$。
联立两个方程可得对应的方程组，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题以古代数学诗为背景，考查从实际问题中抽象出二元一次方程组的能力，解题的核心是准确理解题意，找准总瓶数、总人数两个不变的总量，属于基础类常考题型。
【难度系数】
0.8
